IV sin œ
COS (jp
J^l + iw(ÎJ{cos2q),^+ f w sin^ 2 .jpjJ
COS Cp
La longueur de l’arc elliptique est donnée par l’expression Sz=j Rdx,
dans laquelle R représente le rayon de courbure du méridien à la latitude 9 zr 4- x.
160 CH. M. SCHOLS. LE CALCUL DE LA DISTANCE ET DE l’AZIMUT
A l’aide de la série de Taylor on trouve:
+ i ^''.n + i + A + etc.
d’où il suit par intégration:
=KJ[
+ etc
Par la différentiation on obtient ensuite:
R' ziz \ R w sin 2 œ '
R'' =3 R IV cos 2 œ + R IV ^ sin^ 2 cp
et par conséquent, jusqu’aux quantités de l’ordre près:
+ s *« {cos 2 (]p^^+ I w sin'^ 2 . . (80)
En retranchant de cette valeur les expressions (79), nous avons la correction qui doit être appliquée pour un arc du méridien , savoir :
S-S,z= - .j'f wsin,pjosci, j
^rn
— WSinœ coscf) :
^ R ^ ^ m ^ lit,
S'‘ e‘^{\ — c ^ sin ^(p ) ^sinq^ . çosq)
m,- ’ ûi
S’^ e^(l — e'^sin^q) Ysinq) cosqj.
§ 21. Pour trouver maintenant la correction exigée par la formule (78), il faut, dans l’expression (81), remplacer a et e par le demi-grand axe a et l’excentricité e de la section normale ^4, ^2 7 ^ moyenne des angles que les deux
normales en A, et A 2 à cette section normale font avec le grand axe. En opérant cette substitution , il est toutefois permis de négliger partout les quantités du premier ordre , par
AU MOYEN DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE
rapport aux quantités de l’ordre zéro. Cela observé, on trouve facilement, à l’aide des formules (5), (6), (7) et (8) données aux pages 10 et 11 du Mémoire de M. J. J. Baeijer: Das Messen auf der spharoidischen Erdoberfiache ^ Berlin, 1862, les expressions suivantes :
a^\ — -h (jp^
1^(1— — cos^ <f^ sin^ AJ
1—6 2 cos 2 s^w"- A
1 — c- -h cos"^ CD cos’^ A
1 — c ^ sin^ (jp = -
1 — cos^ (p^^sin^ A^
1— c^ cos^ cp^^sin"^ A^
sin cp'
COS œ zzz
si» %„ cos <f ,„ cos
1+ cos>,/os^
sin CD cos flp cos A^
1— cos’ <ï’,„siw* A J
et, en introduisant ces expressions dans (81):
e’smœ cos(y cosA (1— c’+c’cos’g) cosM )’(1— e’sw’œ )'
=— î'i sin cos cos A^ (l~u> cos^ sin^ AJ’.
De (8T) on obtient d’une manière analogue;
S — s., =z + 5V -- w sin cos q^ cos iv cos^ q^^ sin^ AJ^
Ces corrections étant appliquées aux formules (78) et (78'), celles-ci donnent l’une et l’autre pour l’arc elliptique, aux quantités de l’ordre s^ près:
cos A
s' (1 — s"^ sin‘^ A)
162 CH. M. SCHOLS. LE CALCUL DE LA DISTANCE ET DE l’ AZIMUT
§ 22. A l’aide des expressions qui viennent d’être obtenues pour la longueur de l’arc , nous pouvons maintenant démontrer facilement les formules (31) — (34) et (38), (39) de la section A du présent Mémoire. Prenant en considération les formules relatives à la solution sphérique, et faisant attention que, moyennant omission de termes de l’ordre , la tangente de est
égale à la tangente de A multipliée par^, nous pouvons
écrire :
E sin ^SQsinA^z=N^ sin i l cos cp\
R sin y Sy cos = R^^ sin ^ ^ cos (83)
S,,=zRsq . )
Ce sont là les formules (31), (32) et (33) de la section A, sauf l’indice zéro, que nous avons introduit afin d’établir une distinction entre les valeurs exactes et les valeurs approchées suivant les formules ci-dessus.
La valeur exacte de A^ se trouve par la division des formules (39), si l’on tient compte de ce que les formules (51) et (52), en connexion avec (59) et (60), donnent, aux quantités de l’ordre s^ près:
P+LctffA\^+Ç(^fiSctffA\^=N^ 1^1+ I pw(cos2(p^^+iwsm^2cfJ—.
— I ifi sin^ qp 1 = (1+ }/,) I
P—L tg A'^— Qtg\Stg A\= p -i-i w (ws 2 cf^+iwsin’^ 2qp^)— l
on trouve ainsi :
N sin ^ X CO s Cf)
R sin (5 cos i X
(1+ Vt — Vi)
AU MOYEN DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE
tandis que de (83) il suit :
N sin ^Icosœ ^ tgAo = Ja. —
sin\ /5 cos
Par la combinaison de ces deux formules , on obtient :
^9 Al{\ +7,, —
et de celle-ci on déduit pour la différence de et différence que nous représenterons par e:
tg. = tg{A,-Al)=l-^^-^ (86)
d’où résulte immédiatement la formule (12) de la section A pour l’erreur de
Au moyen des formules (83) et (4), nous trouvons :
R sin i s' cos A' = R sin s f. cos Al,
et à l’aide de celle-ci :
^ s sin ^ Sq sin s'
sin l s
sin i Sq
