H. A. LO RE NT Z
§ 1. Dans un Mémoire antérieur >), j’ai déduit des principes fondamentaux de la théorie cinétique des gaz les équations du mouvement des corps gazeux. Parmi les problèmes auxquels ces équations peuvent être appliquées, il y en a un qui tout d’abord avait spécialement attiré mon attention, celui des courants produits par une inégale distribution de température et de l’influence que ces mouvements exercent sur la transmission de la chaleur entre des corps de températures différentes.
Les physiciens qui se sont occupés de la détermination expérimentale du coefiîcient de conductibilité calorifique des gaz ont
reconnu que, lorsque la tension de ceux-ci atteint une atmosphère,
') Lorentz: Les équations du mouvement des gaz et la propagation du son suivant la théorie cinétique des gaz {Arch. néerl., t. XVI).
Archives Néerlandaises, T. XVII. 13
H. A. LORENTZ. SUR LES MOUVEMENTS QUI SE
OU reste peu au-dessous , l’influence en question est très considérable; pour la rendre inolFensive, ils ont dû avoir recours à la raréfaction des gaz. Or j’espérais que, en soumettant au calcul les courants déterminés par la chaleur, on pourrait employer aussi les expériences faites pour des densités supérieures dans la détermination du coefficient de conductibilité ; ces expériences conduiraient alors, en outre, à la connaissance du coefficient du frottement interne, attendu que celui-ci doit évidemment influer sur l’intensité des courants qui se produisent dans le gaz.
J’avais commencé cette étude, quand parut sur le même sujet un mémoire de M. Oberbeck * *), et tout récemment un calcul a été exécuté dans le même dessein par M. L. Lorenz ^). Ni l’un ni l’autre de ces deux physiciens n’a toutefois résolu complètement le problème. La quantité de chaleur transmise par les courants est trouvée par M. Oberbeck sous la forme d’une série, dont le premier terme est proportionnel au cube de la différence de température, tandis que les termes suivants en contiennent des puissances encore plus élevées. Or, un examen sommaire des résultats des expériences de MM. Kundt et Warburg et de celles de M. Winkelmann suffit à montrer que la partie de la chaleur transmise, qui dépend des courants, ne peut pas renfermer de terme proportionnel au cube de la différence de température; aussi M. Oberbeck pense-t-il que, pour des densités qui ne sont pas très petites, la série établie par lui divergera et ne pourra par conséquent représenter la réalité.
Le résultat auquel arrive M. Lorenz est mieux en harmonie avec les faits. Il traite le cas particulier des courants produits le long d’une plaque verticale chauffée , et il trouve pour la vitesse de refroidissement une expression dans laquelle la différence de température est affectée de l’exposant f , ce qui est
0 Oberbeck, Wied. Ann.^ t. VII, p, 27i.
0 Lorenz, Wied. Ann..^ t. XIII, p. 583.
») Kundt U. Warburg, Wied. Ann.., t! CLVI , p. 177.
*) Winkelmann, Wied. Ann.., t. CLVI, p. 497.
PRODUISENT DANS UNE MASSE GAZEUSE, ETC
en accord satisfaisant avec le résultat des expériences de Diilong et Petit. Celles de MM. Kundt et Warburg et de M. Winkelinann ne contredisent pas non plus l’hypothèse que la vitesse de refroidissement, — en tant qu’elle dépend des mouvements du gaz, — est proportionnelle à une pareille puissance de la différence de température. Toutefois, un examen spécial sera nécessaire avant que le résultat obtenu par M. Lorenz puisse être appliqué à d’autres cas.
Moi non plus je n’ai pas réussi à résoudre le problème , et l’espoir que j’avais en entreprenant le calcul ne s’est pas réalisé. Néanmoins , je crois opportun de communiquer mes considérations, bien qu’elles ne doivent être regardées que comme une préparation à un traitement plus complet de la question.
§ 2. Les équations du mouvement des gaz, sous leur forme générale, sont assez compliquées.* Aussi se borne-t-on généralement, par exemple dans l’étude des phénomènes du son, aux dérangements infiniment petits de l’état d’équilibre. De la même manière, dans le problème qui nous occupe ici, les différences de température et les courants qui en résultent peuvent d’abord être supposés infiniment petits, ce qui fait disparaître différents termes dans les équations du mouvement. Même alors, on trouve encore quelque influence des courants sur la transmission de la chaleur. Il est vrai que la convection proprement dite de la chaleur disparaît, comme quantité du second ordre , mais les courants donnent pourtant lieu à une modification dans la forme des surfaces isothermes et par conséquent aussi dans la quantité de chaleur transmise par conductibilité. Le calcul montre toutefois que, dans des expériences telles que celles de MM. Kundt et Warburg, cette modification est très légère et absolument incapable d’expliquer l’influence qu’ils ont reconnue aux courants. Il ne sera donc plus permis, dans ces expériences, de regarder les différences de température comme infiniment petites. Effectivement, on trouve que déjà pour de petites différences, de quelques degrés par exemple , différents termes , qui d’abord avaient été négligés dans les équations du mouvement, devien-
H. A. LORENTZ SUR LES MOUVEMENTS QUI SE
nenfc égaux ou supérieurs à ceux qu’on avait conservés. La considération des équations du mouvement apprend en effet que, du moment où il faut tenir compte du frottement interne et de la conductibilité thermique des gaz , de petites vitesses , par exemple de 1 mm. par seconde, ne peuvent plus être traitées comme infiniment petites. Or si l’on a recours aux équations obtenues pour un dérangement infiniment petit de l’état d’équilibre, pour apprécier les vitesses qui se produisent dans les courants dus à la chaleur, on reconnaît que , même en cas de très faibles différences de température, ces vitesses sont déjà beaucoup trop grandes pour qu’on pùisse les regarder comme infiniment petites.
A la page 12 du Mémoire ci-dessus cité, les équations du mouvement des gaz ont d’abord été établies sous la forme générale suivante :
d{Nu) d {N y) D {Nw) D N __ ^
d IfJ
OP
Zx +
dy
0 ip
dx
Zy
Z t [Niv)
dt
/ d ifj d \fj d ip\ 0 /S'^ d
( 'if' T + ^ + 'ff^ ^ “ j -f- -\-
\ dx d y d Z P d X d y
ds^ d R
li + 17 = ®
(Cj)
Dans ces équations, a?, 2 représentent les coordonnées
d’un point dans l’espace, t le temps , les accélé-
PRODUISENT DANS UNE MASSE GAZEUSE, ETC. 197
rations qu’une molécule acquiert par l’action des forces extérieures, m la masse d’une molécule, tandis que w ^
P,,, P., P, P,, P, sont des quan-
tités qui dépendent de l’état du gaz au point [x^ 0) et au
temps t. Si l’on considère un élément de volume c?r, le nombre des molécules qui y sont contenues est de sorte que N
est le nombre des molécules par unité de volume. Désignons encore par (|, C) la vitesse avec laquelle se nieut le centre de gravité d’une molécule, et par E' l’énergie de cette molécule (c’est-à-dire la somme de l’énergie du mouvement de translation et de l’énergie interne) ; nous avons alors , en prenant les sommes pour toutes les molécules contenues dans dr:
N U d T J f] — N V d T ^ E Z — N IV d T ^ y^i^P^dr^ 2: 7]- := P^dr^ 2^^z=P^dT,
2 Q^^^dr, 2ij^-=zQ^^^dT, 2^^= Q^^^dr ,
2 ^ E S ^d T ^ 2 rj E'-^z S^d r , 2'QE ~ d t.
Remarquons que u, w sont les vitesses, dans la direction des axes des coordonnées, que l’élément dr paraît posséder dans son ensemble, les vitesses hydrodynamiques du gaz, et que R représente l’énergie par unité de volume. Les quantités' P^., P^^, P^, „ sont en rapport avec les diffé-
rences entre les quantités de mouvement qui sont transmises dans les deux sens , à travers des plans perpendiculaires aux axes des coordonnées, en vertu du mouvement des molécules; de même , les quantités S ^ représentent l’énergie transmise par de pareils plans.
En ce qui concerne les équations du mouvement elles-mêmes , la première, celle de la continuité, exprime comment le nombre des molécules contenues dans un élément de volume d t varie à raison de l’entrée et de la sortie de molécules par les faces latérales. La première des équations (ô,) détermine, d’une
H. A. LORENTZ. SUR LES MOUVEMENTS QUI SE
manière analogue, la variation de la quantité de mouvement dans la direction de l’axe des x pour les molécules qui se trouvent à l’intérieur de d r. Cette variation est représentée par le
terme — - (multiplié par mdr) et elle est due en partie à
Faction des forces extérieures ^le terme — , en partie
à l’entrée et à la sortie de molécules par les faces latérales de
/ d P d Q ^ dQ
l’élément { d’où proviennent les termes — — ^ — fil]
Les autres équations (èj ont, naturellement, une signification analogue. Enfin, (Cj) exprime comment l’énergie à l’intérieur
'dT
Faction des forces extérieures (le premier terme) , en partie par
l’entrée et la sortie de molécules à travers les faces latérales
ds, dS^ ds^
les termes — 1 — - — ^
J , en partie par
de
l’élément d r varie avec le temps ^
Les équations prennent une forme plus commode lorsque , après avoir multiplié (a^) et (èj) par m, on introduit la densité m N z=z O. Si, 'en outre, les produits de P^, etc. par m sont
représentés par les petites lettres correspondantes, on obtient:
î) X d y Os 0< ’
D \p dp
d X d ip
0 y d Ip
dq
dy
dy
dp
dq
dû dû
dg d Z
~dT
d [qîv)
PRODUISENT DANS UNE MASSE GAZEUSE, ETC
/ d \p d IfJ
dS
00 dt
ic,)
§ 4. A elles seules, toutefois, ces équations ne suffisent pas pour la solution des problèmes sur le mouvement des gaz; on doit les combiner, à cet effet, avec celles qui expriment etc. en fonction de la densité, de la température et de la vitesse hydrodynamique du gaz.
Désignons par h la valeur moyenne du carré de la vitesse du mouvement calorifique des molécules gazeuses, valeur qui est liée par la relation h zz: e T [e constant) à la température absolue T ; par 0- (li) l’énergie intramoléculaire de' l’unité de masse du gaz, par le coefficient du frottement, par x celui de la conductibilité calorifique (exprimé en unités de travail), par V le troisième coefficient, dont la signification a été exposée dans mon précédent Mémoire ; posons en outre , pour abréger ,
0 U d V d IV
1 1 =zK ,
d X dy d Z
on a alors [Arch. néerl.^ XVI, p. 45):
P zzz J O /î -f- — 2 y ■+• I fl K , etc (1)
q =zQUo-~fi[~~-^ — ], etc (2)
\d y dxj
R zzz 2 Q -f- -{- 10“^ 4“ f Q \J^ A- 2 & (/i)J “h AT, . . (3)
2 'J Vs + 2 ^ (h) 4- {11‘^ -h + tv^)]~
~~~ 2 fl U 4“ ( 3 y ~i~ 5 etc. ....
H, A. LORENTZ. SUR LES MOUVEMENTS QUI SE
§ 5. Lorsque la pesanteur agit sur le gaz, et que l’axe des ^ est dirigé verticalement vers le bas, on a:
d Ip d IjJ
d Ip
Le gaz peut alors présenter un état d’équilibre, dans lequel la température est partout la même, et où, par conséquent, h aussi a partout la même valeur h^. On doit avoir, en ce cas,
Px —Py —Pz
Bz=io[h,+2»{h,)l
et les équations du mouvement {A^) — (.^3) se réduisent à do do
dx ^ d IJ ^
auxquelles, si l’on pose.
il est satisfait par
OÙ la constante D représente la densité du gaz pour 2; = 0.
§ 6. Considérons maintenant des écarts infiniment petits de cet état d’équilibre. Si l’on représente alors la densité par
O zzz D (1 -h 6*) , et qu’on pose pour la valeur de li
h ziz. h Q (1 + k) J
s et A;, ainsi que w ^ sont infiniment petits.
PRODUISEiNT DANS UNE MASSE GAZEUSE, ETC.
On a alors
P zz: ^ Z) â/q (1 -H iî -1“ A;) — 2 p r— -t- | iT, etc. . . , (6)
•V O oc
R-=i\ D 6'- j [Aq -f- 2 0- (/iy)] +
+ [h,-h2 0{h,)]s^h,[l -i-2&'{h,)\k\^pK.. (8)
*- D w[| Ay -t- 2 0- (Ao)J— ^ , etc (9)
où P, y a doivent être regardés comme des constantes.
En substituant ces valeurs dans les équations du mouvement, on obtient, si l’on introduit en outre l’hypothèse que l’état du gaz est devenu stationnaire,
K -f- c w zz 0... (-^2)
I ^ ^0 {s -i- k)] — f^Au — i P zz 0, j
^ ^ ^ A t; I jn ^ ^ — 0, . . (i?^)
I ^ [e- (i>* H- A:)] ~ A to — • {.i — —g De^^sz=zO, '
§ 7. Nous supposerons le gaz entièrement compris entre deux surfaces et <S.,, et nous admettrons que les expressions du § 5 se rapportent à l’état d’équilibre du gaz lorsque les deux surfaces ont la même température Ty, correspondant àùy.
Représentons-nous l’état de perturbation, dont il a été question au § 6 , comme dû à ce que la surface est constamment maintenue à une température Ty (1 -h ^), qui diffère infiniment peu de la température primitive. Il faut alors déterminer w,
H. A. LORENTZ. SUR LES MOUVEMENTS QUI SE
w et k par les équations (^2) — ^2) l^s conditions
qu’en 5, et S 2 on ait u =: v = w =: 0 (nous admettons qu’il ne s’opère pas de glissement du gaz le long de ces surfaces) , et que k devienne 0 en So, mais prenne en Sj la valeur prescrite Enfin , si la quantité totale de gaz est restée la même , on doit avoir
où l’intégration doit être étendue sur tout l’espace compris entre S, et 5^.
Xous démontrerons d’abord que par ces conditions le problème est complètement déterminé. Si, en effet, deux systèmes de valeurs de ic ^ s, k étaient possibles, les différences de
ces valeurs devraient également représenter un état de mouvement et dans ce dernier on devrait aussi avoir, tant en Sj qu’en 8, , k — 0. Or il est facile de prouver qu’on a alors nécessairement , partout , u — v — w z=i s z=i k zn Q.
A cet effet , résolvons les équations [B 2) et (C^) par rapport aux
X /Îq 7
quantités .1 A if?, A^•, multiplions par ü, r, if?, — k,
e II
prenons la somme, puis, après avoir multiplié encore une fois par dx d ij dz, intégrons sur tout l’espace occupé par le gaz. Il vient alors :
I JJ if A if 4- ü A i? -h if? A if? H- kAkJdx d y d z
=z ^ D h^( l f ff« ^ -i- — H- if? ^*)] —
Appliquons maintenant aux trois premières intégrales l’intégration par parties , dans laquelle les intégrales sur les surfaces
PRODUISENT DANS UNE MASSE GAZEUSE, ETC
disparaissent, puisque en et S 2 on a uzzzv'=ziv'=zkz=zO, En ayant égard, en outre, à l’équation (^2)) trouve:
z=i I j j j d X dy dz.
d y dzz=.
Si l’on fait passer tous les termes de cette équation dans le second membre , celui-ci présente une somme de carrés , d’où l’on peut conclure que y, k doivent être constants et par conséquent , en vertu des conditions établies pour les surfaces , partout — 0. Il n’est ensuite pas difficile de déduire des équations {B 2) et (10), qu’on doit avoir aussi szzrO, et par là se trouve démontré que les équations (^12) — (^2)? combinées avec les conditions accessoires , n’admettent qu’une seule solution.
Quand une fois on connaît partout k et conséquemment la nouvelle distribution de température, la quantité de chaleur que le corps limité par cède au gaz dans l’unité de temps est déterminée par l’intégrale:
où n représente la normale menée vers le côté du gaz.
§ 8. La solution générale des équations (^2) — (^2) paraît difficile à trouver, même quand les surfaces S, et S 2 ont une forme simple.
Les variables u, k peuvent toutefois, si la densité et
par conséquent aussi la quantité D sont suffisamment petites , être développées en séries suivant les puissances ascendantes de D.
Lorsque D est très petit , w , v , iv tendent vers 0 , et k vers la valeur qui est déterminée par l’équation
A HZ 0 ,
204 H. A. LORENTZ. SUR LES MOUVEMENTS QUI SE
combinée avec les conditions accessoires. La distribution de température est alors celle qui s’établit sous la seule influence de la conductibilité caloriflque.
Les séries pour u, v, lü et k doivent donc avoir la forme:
Il U J D -f- U 2 ^ ^ ~î“ ^ Z
De même, nous posons:
Ces expressions étant substituées dans(J 2) — on obtient, en égalant entre eux les coefficients de la même puissance de D dans les deux membres de chaque équation ,* une série d’équations, au moyen desquelles etc., k^^k^^ • • • j
Sq , s, , . . . peuvent être déterminés.
Pour la détermination de Wj , ^ ^ , on a d’abord
ex
où
dy
