IV

et où A‘o est connu. Les conditions accessoires sont, aux surfaces S, et S 2,

U J — i; , = IV J = 0

et, en outre.

e- s g d X d y d z zz: 0.

Lorsque est déjà déterminé de telle sorte que cette quantité prenne en la valeur prescrite les quantités A:, , etc. doivent, en aSj et être égales à 0. Or, il suit de {C^):

de sorte qu’on a partout

ensuite

Ak.;, = — (C'a;

X hn

ce qui détermine k^ , après qu’on a trouvé au moyen de {A,) et de {B,).

§ 9. Les équations' qui viennent d’être établies éprouvent encore une simplification notable si l’on admet que les dimen-

sions de l’espace rempli de gaz est petit comparativement à —

Cette supposition revient à dire que, lorsqu’une molécule se meut sous l’influence de l’accélération g sur une distance l du même ordre que les dimensions précitées, la vitesse acquise par elle est très petite par rapport à la vitesse moléculaire ; or , dans des expériences telles que celles de MM. Kundt et Warburg ou de M. Winkelmann, cela est certainement le cas.

On peut maintenant, en premier lieu, omettre dans {A^) le terme e Car, disparaissant aux limites de l’espace,

cette

quantité est partout ailleurs du même ordre que l — î-,

et le terme lui-même est de l’ordre l e * ; or , comme l e est

très petit, et que dans K. se trouve le terme - , on peut

écrire, pour (^3),

Les équations [B^) peuvent également être simplifiées. Si

H. A. LORENTZ. SUR LES MOUVEMENTS QUI SE

l’on pose , pour

abréger ,

- — Hq (5q + k^) ~ P, . . . .

0 fl

on a d’abord:

Au, =—, Av,= . . . .

dx dy

De la dernière des équations (^3), il résulte ensuite

Aw^zzz ^

OU, en exprimant s^^ en à l’aide de (13),

Aw ^ ^ — e P -i- ^ k..

' dz M

Comme les variations de e P, sur l’espace occupé par le gaz ,

sont de l’ordre el , et que est très petit, on peut né-

gliger ces variations et poser, par conséquent,

eP=C, (15)

C étant une constante provisoirement indéterminée. L’équation devient alors

•d Z fl

OÙ l’on a fait , en outre , — 1 , ce qui est permis lorsqu’on

choisit l’origine de façon que le plan y z coupe la masse gazeuse. Si l’on pose P — Cz=zQ^ les équations deviennent

A Wj

d Q dx ’

A îv J

PRODUISENT DANS UNE MASSE GAZEUSE, ETC. 207

Il est facile de montrer que par ces équations, combinées avec (12). iv ^ sont déterminés complètement et Ç à une

constante additive près. Q prenant ainsi la forme Q' + C\ où Q' est entièrement déterminé, on obtient:

A (s„ + h„) — Cz = Q' + C.

Si par la constante (7, introduite en (15), on entend la valeur dé 6 P pour 0 0 , on a

attendu que C z peut être négligé vis-à-vis de — . La constante

C, enfin, est déterminée par la condition

dx dy dz =z 0.

Dès que w,, ^j, sont connus au moyen de (12), (17) et (18), on trouve par l’équation (P3), pour laquelle on peut écrire :

Afc, = — l±w, (19)

X JIq

§ 10. Nous exécuterons maintenant le calcul de k^ pour le cas où et sont des sphères concentriques, de rayons et R^. L’origine des coordonnées sera supposée placée au centre et P, <-R^.

D’abord, de AA^^zziO, combiné avec les conditions accessoires, on déduit:

okr = -i- z'K

H. A. LORENTZ. SUR LES MOUVEMENTS QUI SE

Il n’y a maintenant qu’à chercher, n’importe par quelle voie, un système de valeurs de w,, qui satisfasse à (12),

(17) et (18), il étant déjà démontré que ces équations ne comportent qu’une solution unique.

Un pareil système s’obtient de la manière suivante.

Posons

dydz \D ^ /

où I est une fonction inconnue de r. L’équation (12) est alors satisfaite.

De (17), il suit

d y dy dz

donc

où f est une fonction provisoirement inconnue.

De (18) on obtient ensuite, en substituant la valeur de

A(aJ)=:?1

d’où il ressort que f (z) ne peut être qu’une constante.

On trouve donc , en réunissant les constantes ,

La solution générale de cette équation est

I ffj r j C, r-» - 1 + C, + C\ r +

U R,— R, Li20 ■

inconnues.

PRODUISENT DANS UNE MASSE GAZEUSE , ETC

§ 11. Pour déterminer ces quantités, nous avons la condition qu’à la surface des sphères, c’est-à-dire pour r =:=/?, etrziz on doit avoir u^ ■=: v ^ w ^ 0. Or on peut exprimer les

vitesses en — et — ; il est par conséquent necessaire, mais dr dr‘^

aussi suffisant, que ces dernières quantités disparaissent pour r = et r=:R.,. Cela donne quatre relations entre les con-

stantes C,, C,, et C- qui figurent dans — et , de

dr dr‘^

sorte que ces constantes peuvent précisément être déterminées. Quant à elle reste indéterminée, mais cette quantité est sans influence sur les valeurs de w^.

Pour obtenir le résultat sous une forme simple, nous procédons de la manière suivante. Comme et son coefficient dif-

férentiel relativement à r doivent disparaître pour rz=zR^ et

r et que ^ est, d’après l’équation (20), une fonction

algébrique rationnelle de r , celle-ci doit contenir le facteur {r—R^y{r~R^y, Mais de (20) on déduit:

I gj R^R, r 1 f,

r fl R 2 — Ri

r^-|- 2 Co r -h C,

Evidemment — ne peut donc avoir que la forme d r

dr r^

où 77 et 0- sont des constantes. Celles-ci doivent être déterminées de façon que (22) s’accorde avec (21), et pour cela il suffit que dans le développement de (21) le coefficient de

Il . i O yt '1 ta 1

De la pre-

de vienne 0 et celui de :

8‘ g • Ri— R,

mière condition il résulte

Ri R,

2{Ri+R,)

Archives Néerlandaises, T. XVII.

H. A. LORENTZ. SUR LES MOUVEMENTS QUI SE

et de la seconde

4*V * (4jR,"+7i?2,^i"i-4 7?;-)(^2— ^i) * ■ ‘ ^

et par conséquent se trouvent ainsi complè-

tement déterminés. Les résultats sont entièrement d’accord avec ceux que M. Oberbeck obtient pour les vitesses des courants, de sorte que, pour la discussion détaillée de la nature du mouvement, je puis renvoyer à son Mémoire.

§ 12. Pour déterminer on a maintenant, d’après (19), l’équation suivante

laquelle, dès que I, est une fonction de r satisfaisant à l’équation

Al, =7,

est vérifiée par

ÎA (ÇL + ÇA)

kHq \ d O y^ /

On peut toutefois poser aussi

yihA

dy‘-

\ rV

puisque les termes contenant les constantes inconnues 7),, 7),, T>3, 7)4 donnent 0 lorsqu’on y applique l’opération indiquée par A. Ces constantes peuvent alors être déterminées au moyen de la condition que, pour r = i?, et r = k^ doit disparaître.

§ 13. Une fois k^ et k^ obtenus de cette manière, on peut calculer les deux premiers termes de l’expression pour la cha-

PRODUISENT DANS UNE MASSE GAZEUSE, ETC

leur perdue par 5, dans Tunité de temps. Le premier terme est, en vertu de (11),

et le second

4cnah(^q -^2^1

e J dn

valeur pour laquelle on trouve

W.=, — nq^q — ^ — •

18 fl '4lR.^-\-1R^R^-{-A^R^

Si l’on veut juger du degré d’importance de ce terme, on n’a qu’à considérer le rapport

JV, ^ 1 R,R,{R,-R,)^

où Tq est la température absolue correspondant à

§ 14. Dans un des appareils de MM. Kundt et Warburg, i?,, le rayon de la boule du thermomètre qui se refroidissait dans une enceinte maintenue à 0^, mesurait 0,461 cm., R^, le rayon de l’enceinte elle-même, 2,972 cm. Calculons la valeur de W

— - pour cet appareil dans la supposition qu’à 0® il était

rempli d’air ayant une tension de 760 mm. Nous avons alors, en employant le système d’unités C. Gr. S.,

et, puisque l’enceinte était maintenue à 0®,

On a , en outre ,

H. A. LORENTZ. SUR LES MOUVEMENTS QUI SE

et quant au coefficient de la conductibilité calorifique, il peut être pris =: 0,000052. Ce coefficient, toutefois, est exprimé en calories , tandis que dans nos formules x doit être exprimé en unités de travail. Nous avons donc à poser

En substituant ces diverses valeurs , on obtient

de sorte que dans cet appareil , pour des différences de température infiniment petites, l’influence des courants dus à la chaleur, même sous la pression d’une atmosphère , doit être insensible. Cela n’empêche pas, toutefois, que dans d’autres appareils le résultat ne puisse être tout différent. Quand est pris

plus grand, — - devient aussi plus grand; et si la même boule

de thermomètre était placée dans une enceinte sphérique d’un rayon de 30 cm., on aurait

et l’influence des courants calorifiques serait donc , même pour des différences de température infiniment petites, parfaitement appréciable.

§ 15. Il est clair maintenant que, dans des expériences telles que celles de MM. Kundt et Warburg , l’influence des courants occasionnés par la chaleur ne peut nullement être expliquée si l’on regarde la différence de température comme infiniment petite. Aussi est-il facile de montrer que les vitesses , qui prennent naissance dans ces expériences, sont beaucoup trop grandes pour qu’on puisse parler encore d’un dérangement infiniment petit de l’équilibre.

Afin de me rendre compte de la grandeur de ces vitesses , j’ai calculé, pour l’appareil dont il a été question au paragraphe

PRODUISENT DANS UNE MASSE GAZEUSE, ETC

précédent, la valeur de la vitesse D en un point situé dans le plan horizontal passant par le centre de la boule, à une distance de 1 cm. de ce centre. En prenant, pour simplifier, zz:0,5 et =3, je trouve approximativement

et par conséquent, dans le cas où Pair a (à 0®) une tension de 1 atmosphère

Pour q —

valeur correspondant à une différence de tem-

pérature de 2^,73, cette vitesse serait de 3 cm. par seconde.

Au point choisi pour ce calcul, la vitesse est plus grande qu’en la . plupart des autres points ; mais on n’en peut pas moins conclure du résultat que, déjà pour des différences de température de quelques degrés, il peut se produire des vitesses dépassant 1 cm. par seconde.

§ 16. Dans les problèmes où le frottement interne et la conductibilité calorifique n’entrent pas en jeu, par exemple, lorsqu’il s’agit du mouvement du son dans un espace de grandes dimensions, on peut, sans inconvénient, regarder de pareilles vitesses comme infiniment petites. Mais cela n’est plus permis dès que, comme ici , tout dépend du frottement interne et de la conductibilité. Pour s’en assurer , on n’a qu’à comparer les termes négligés au § 6 avec ceux que nous avons conservés.

Considérons, par exemple, la quantité ayant rapport à la différence des quantités de chaleur qui passent dans les deux sens, par unité de temps, à travers un plan perpendiculaire à l’axe des x. Dans l'expression complète de entrent le terme

relatif à la convection de la chaleur, et le terme

X 0 à e D ic’

H. A. LORENTZ. SUR LES MOUVEMENTS QUI SE

qui se rapporte à la conductibilité. Après avoir posé h = Uq (1 + ^•), nous avons négligé le terme

(pour simplifier nous ne tenons pas compte de & (h) ) et par suite la convection proprement dite; le terme

au contraire, a été conservé.

Comparons ces deux termes. Si quelque part dans l’espace rempli de gaz on a A: = 0, et que l soit une ligne du même ordroi

que les dimensions de cet espace, k est de l’ordre l — , et par

conséquent le rapport des deux termes précités est de l’ordre

D ule

Si l’on veut que le premier terme ne dépasse pas le dixième du second, il faudra, donc, approximativement, qu’on ait

lODle

A Tq 10 Dl h,

Pour l’air à la pression atmosphérique et à Oq C, cette inégalité devient, si l’on pose Izzz. 5 cm.,

U < 0,004 cm. par sec.

On voit donc que des vitesses réellement petites, inférieures de beaucoup à celles qui se produisent à la suite de différences de température de quelques degrés , ne peuvent plus être regardées comme infiniment petites.

D’après ce résultat il est très possible que, même dans le cas des vibrations sonores, provenant par exemple d’un dia-

PRODUISENT DANS UNE MASSE GAZEUSE, ETC. 215

pason, le dérangement d’équilibre ne puisse plus être supposé infiniment petit , lorsqu’on tient compte du frottement et de la conductibilité calorifique. Plus tard, j’examinerai jusqu’à quel point cette considération peut contribuer à expliquer le retard des ondes sonores dans les tuyaux étroits.

§ 17. Dès que le dérangement d’équilibre ne peut plus être regardé comme infiniment petit, la solution des problèmes sur le mouvement des gaz devient très difficile. On peut toutefois rechercher si , sans élaborer cette solution pour un cas spécial , il ne serait pas possible d’indiquer comment elle dépend de différentes circonstances.

Figurons-nous, dans un cas A, une masse gazeuse dont l’état de mouvement satisfait aux équations (^,), (B,) et (C,), ainsi qu’aux conditions accessoires. Définissons ensuite, de la manière suivante, un second état de mouvement B, pour une autre masse gazeiise. Soient, dans cet état 5, toutes les dimensions a fois plus grandes que dans A, et entendons par points correspondants,- en ^ et J5, ceux dont les coordonnées sont dans le rapport de 1 à «. De même, appelons moments correspondants, en ^ et 5, ceux pour lesquels les temps, écoulés à partir d’un instant fixe , sont entre eux comme 1 et (5.

Représentons-nous , enfin , que dans l’état en un point donné et à un moment donné, les vitesses w, v, w soient / fois, le

carré moyen de la vitesse moléculaire t fois , et les quantités ^ ~

et r respectivement ^,0, C fois plus grandes qu’au point correspondant et au temps correspondant dans l’état A. Les quantités «, (5, /. d, 6, 7/, 19-,^ sont des constantes, et il s’agit de savoir si on peut les déterminer de manière que le second état de mouvement soit également possible, c’est-à-dire, qu’il satisfasse aux équations du mouvement.

Or, en premier lieu, il ressort de (1) et (2) que, lorsqu’on a

H. A. LORENTZ. SUR LES MOUVEMENTS QUI SE

Pj;’> Pÿ") P-') iv >/ X ^ grands

que dans A.

De (3) il suit de même, que, lorsqu’on a

{h) —Ch

(C étant pour les deux cas une même constante) et en outre

B est, dans 5, d 6 fois plus grand que dans A.

Enfin, de (4), il résulte que, dès qu’on a

&=fj,

S S S sont, dans B.

fois plus grands que dans A,

De la considération des équations du mouvement on peut ensuite déduire que, lorsque les accélérations dues aux forces extérieures doivent être les mêmes en B qu’en A, on doit avoir

pour que l’état B satisfasse également aux équations du mouvement.

Les conditions trouvées peuvent être résumées ainsi:

Quand ces conditions sont remplies, les quantités de chaleur qui, dans les états A et B ^ passent dans l’unité de temps par des surfaces homologues, sont entre elles comme 1 à

PRODUISENT DANS UNE MASSE GAZEUSE, ETC

§ 18. La première question est maintenant de savoir si l’on peut comparer de cette manière des expériences où le même gaz , avec des densités différentes , est introduit dans le même appareil, entre des surfaces ayant dans les deux cas la même température. On devrait avoir alors a = 1 et f = 1 , donc aussi |9z=/=l. Or comme, à température égale, le coefficient de frottement ne change pas avec la densité, il faudrait qu’on eût de même rjzzzX ^ et alors notre dernière condition donne aussi ^ HZ 1 , de sorte que l’application dont il s’agit n’est pas possible. Même en modifiant simultanément les dimensions de l’appareil , on ne peut augmenter la densité du gaz , aussi longtemps du moins que les températures doivent rester les mêmes. Car de cette dernière condition il suit ^ = 1 , ce qui exige de nouveau « = 1 et d=l.

Mais deux expériences dans lesquelles le même gaz, pris successivement à des températures et à des densités différentes, est introduit dans des appareils de dimensions différentes , mais de formes semblables, peuvent être comparées entre elles , pourvu que les coefficients x et ^ dépendent de la même manière de la température, de sorte qu’on ait ^ zz: ^ zz: 0-. Si alors les températures absolues dans les deux appareils sont entre elles comme 1 et f , les dimensions dans le même rapport, et les densités comme

^ et {fl et fl étant les coefficients du frottement dans les

deux cas), on peut, à l’aide des formules ci-dessus communiquées, déduire les vitesses hydrodynamiques et la quantité de chaleur transmise dans l’un des deux cas, des valeurs qu’elles ont dans l’autre.

On peut aussi comparer des expériences où , dans des appareils différents, sont employés des gaz différents qui se trouvent aux

mêmes températures, du moins, lorsque - —

pour les deux

gaz la même valeur C (en d’autres termes, quand le rapport des chaleurs spécifiques à pression constante et à volume constant est le même pour les deux gaz) et lorsque les valeurs de

H. A. LORENTZ. SUR LES MOUVEMENTS QUI SE

fl, - et P pour l’un des gaz se déduisent de celles pour l’autre

au moyen de la multiplication par un même facteur indépendant de la température (ce qui est le cas quand les molécules des deux gaz peuvent être regardées comme des sphères élastiques). Ce facteur est alors la valeur de C et &. Pour ^ on doit évidemment prendre le rapport inverse des densités des gaz à pression égale et à température égale, et les formules font alors connaître dans quel rapport doivent être les dimensions des appareils et les densités du gaz dont ils sont remplis, pour que les deux cas soient entièrement comparables.

Enfin, il est facile de voir que, lorsqu’on expérimente avec deux gaz différents dans le même appareil, on obtiendra des cas comparables entre eux, en réglant les températures de telle sorte que h ait la même valeur dans les deux cas et en prenant les densités proportionnelles au coefficient du frottement.

§ 19. Cette considération des états correspondants peut , naturellement , être employée aussi dans d’autres problèmes sur le mouvement des gaz. Remarquons, à cet .égard, que, dès qu’il n’y a pas à tenir compte de forces extérieures , la condition a — (y résultant de (Rj), est supprimée, ce qui rend possible une plus large application du principe.

En terminant, qu’il me soit permis de faire observer que la considération des états de mouvement correspondants peut être rendue entièrement indépendante des équations du mouvement, si l’on considère les molécules gazeuses comme des sphères élastiques, n’exercant pas d’attraction les unes sur les autres. On peut alors raisonner comme le fait M. Kamerlingh Onnes, dans sa „Théorie générale des fluides”. Lors, en effet, qu’un gaz, donc un système de sphères élastiques, se meut entre ou autour d’autres corps, qui eux-mêmes peuvent être en mouvement ou en repos , on peut , de différentes manières , déduire d’autres états de mouvement. Premièrement , on peut faire s’opérer les mêmes changements de lieu en une durée qui soit un certain nombre de fois plus grande ou plus petite que dans

PRODUISENT DANS UNE MASSE GAZEUSE, ETC. 219

le premier état. En second lieu, un état de mouvement est possible dans lequel le système mobile reste à chaque instant semblable de forme au système dans le premier état Les dimensions des molécules et celles de l’espace dans lequel elles se meuvent sont alors toutes agrandies ou réduites un certain nombre de fois, et les vitesses du mouvement sont aussi changées dans le même rapport. Enfin , on peut encore , lorsqu’un système possède un certain état de mouvement, attribuer les mêmes mouvements à un second système, qui ne se distingue du premier qu’en ce que toutes les masses y sont changées dans le même rapport.

Quand des forces extérieures agissent, comme dans le cas des courants calorifiques que nous venons de considérer, il faut faire attention que, lors du passage d’un état de mouvement à l’autre, ces forces ne doivent pas, en général, rester les mêmes.