PARIS LEIPSIG GAUTHIER-VILLARS. | | G. E. SCHULZE

Selences exactes et naturelles,

PAR

D. J. KORTEWEG. ;)

Introduction.

1: À l’occasion d’un travail sur les forces centrales ?), mon attention fut attirée par une classe particulière des trajectoires décrites sous l'influence de ces forces, savoir, les trajectoires

spirales à cercle asymptotique *). Celles-ci accompagnent des

deux côtés et en nombre infini toute orbite circulaire instable: elles s'en rapprochent d’une manière continue, sans jamais, en un temps fini, arriver à coïncider avec elle. En un temps infini, par contre, un point matériel se mouvant sur une trajectoire spirale à cercle asymptotique peut passer sur l’orbite circulaire, sans que les équations du mouvement cessent un seul instant d’être satisfaites.

1) A l’exception du dernier paragraphe, qui a été ajouté par l'auteur, ce travail est traduit des Wiener Sitzungsber., Bd. 93, Mai 1886.

2) Verslagen en Mededeelingen der Kon. Akad. te Amsterdam, T. XX, 2e sér.; Arch. néerl., T. XIX.

3) L'existence de ces trajectoires a été établie pour la première fois, à ma Connaissance, pour une force obéissant à la loi Fa sn > 3, par M. van Geer (Beschouwingen over de rechtliÿnige en kromlijnige beweging van een punt, 1874).

ARCHIves NÉERLANDAISES, T, XXI. 13

202 D. J. KORTEWEG. SUR LA STAPBILITÉ

L’intime relation entre l'existence ou la non-existence de ces trajectoires et l'instabilité ou la stabilité du mouvement circulaire correspondant, m’a conduit à présumer que des tratrajectoires de forme analogue pourraient être associées à toute autre orbite périodique instable. En effet, que l’existence de pareilles trajectoires, se rapprochant asymptotiquement de l’orbite périodique et se confondant avec elle au bout d’un temps infini, implique l'instabilité du mouvement périodique, c’est évident en soi; mais que, réciproquement, chaque orbite instable doive nécessairement être accompagnée de semblables trajectoires, voilà qui est moins apparent et qui, en effet, souffre une assez importante exception. Abstraction faite de: celle-ci, ma présomption s’est vérifiée et il a été reconnu qu’une orbite périodique instable possède généralement une infinité de trajectoires qui s’en rapprochent asymptotiquement. Nous leur donnerons dans la suite le nom de trajectoires parasites. Elles se laissent réunir en deux faisceaux. Dans le cas exceptionnel, où il n'existe pas de trajectoires parasites, bien qu'il y aït instabilité, celle-c1 présente un caractère particulier, anormal, et on trouve alors un seul faisceau de trajectoires, qui remplace, en quelque sorte, les deux faisceaux de trajectoires parasites. | |

2. La question de la sta'ilité ou de l'instabilité du mouvement est, comme on sait, l’une des plus difficiles dont la mécanique ait à s'occuper. Lorsqu'il s’agit d’un mou: vement permanent (séetig), elle se laisser ramener à la résolution d’une équation algébrique. Ce cas a été traité avec beaucoup de détail par M. E. J. Routh !). MM. Thomson

1) E. Routh, À Treatise on the stability of motion, London, Mac Millan and Co., 1877. D’après sa définition, un mouvement ést permanent (steady) lorsque l’équation linéaire, qui (si l’on néglige les secondes puissances des : variations) existe toujours entre les variations des coordonnées déterminant ce mouvement et leurs deux premières dérivées par rapportau temps (fluxions). possède des coefficients constants, c’est-à-dire, indépendants du temps. Le mouvement sur une trajectoire plane serait donc permanent

ÉRnR nS ÉSS cOS S

et Tait!) donnent de la stabilité d’un mouvement la définition suivante, qui s’appliquerait aussi aux mouvements non permanents: ,Le mouvement réel d’un système, à partir de quelque configuration particulière, est dit séable lorsque toute A dent conservative et infiniment petite, dont le mouvement à travers cette configuration est susceptible, peut être composée de perturbations conservatives dont chacune déterminerait dans le mouvement un changement qui ramènerait le système, en un temps fini et avec un écart infiniment petit, à une FRE mo appartenant à à la trajectoire non altérée.”?

Cette définition, je n’ai pu la conserver dans ce travail. Pour les trajectoires périodiques il arrive en effet, et cela non pas comme cas exceptionnel, mais dans l’un des cas généraux, que les trajectoires altérées oscillent autour de la trajectoire inaltérée primitive, -c’est-à-dire qu’elles la coupent toujours de nouveau, mais de telle sorte que l’amplitude des oscillations, par conséquent la valeur maximum de l'écart, augmente continuellement et sans limites. Une très petite perturbation peut alors produire à la longue un changement considérable dans la forme de la trajectoire, et il convient, à mon avis, d'appliquer à un pareil mouvement la qualification d’instable.

Pour les mouvements permanents la même circonstance peut se présenter, savoir, lorsque l’équation algébrique correspondante possède des racines complexes à parties réelles positives. Les mouvements de ce genre ont aussi été désignés comme instables par M. Routh.

D’après sa manière de voir, et d’après la mienne, une

lorsque, dans notre équation (17), les coefficients de D a et u sont constants, c’est-à-dire indépendants de s.

1) Thomson and Tait, Treatise on héturnl philosophy, traduction de M. Helmholtz, Braunschweig, 1871; ou: New edition, Cambridge, University Press, $ 347.

LUN ue AR UNE VA

trajectoire n’est stable que lorque les écarts dus à une petite perturbation restent toujours petits. Les trajectoires périodiques

(7h = # sont done stables quand le rapport © , où w, représente la u très petite déviation maximum pendant la première périodeetw,

la déviation maximum pendant la période nième, ne croît pas indéfiniment avec n, mais reste compris entre certaines limites. La petite perturbation est non conservative, ou conserva-

tive. Mais j'ai reconnu que l'étude des perturbations con-

servatives, suffit en général pour décider de la stabilité de l'orbite pour les perturbations non conservatives et même pour des forces perturbatrices périodiques. Il y à toutefois des trajectoires, composant un type très spécial (£), qui sont. stables pour des perturbations conservatives, instables pour des dérangements non conservatifs.

3. Dans ce qui va suivre, je me suis borné, comme il a été dit plus haut, à l’étude des trajectoires planes périodiques, et j'ai en outre admis que les forces, sous l’action desquelles la trajectoire est décrite, possèdent un potentiel. Quelquesunes des considérations exposées sont toutefois directement applicables au cas général du mouvement avec deux degrés de liberté 1\,

. Je n’ai pas réussi à trouver, pour la stabilité des mouvements périodiques, un criterium aisément accessible au calcul, et un pareil criterium sera probablement difficile à obtenir. Néanmoins, il m’a semblé que ce serait une œuvre utile et, à ma connaissance, non encore accomplie, que d'examiner un peu plus en détail la stabilité ou l'instabilité des trajectoires périodiques et de classer ces trajectoires en types, d’après la nature de celles qui en dérivent quand on les dérange infiniment peu. Cet examen m'a montré, chez ces trajectoires,

1) Si s et w sont les deux coordonnées générales, w étant constamment = 0 pour le mouvement originel, périodique relativement à s, on a en général Un +2:= * Un+1+ 3%, Un. ParvVient-on à choisir s et w de telle sorte que T'= à As? +1 Cu, on a, comme plus loin, ;, = — 1.

une plus grande variété de types réellement distincts que je n’avais pu le soupçonner au début; il en est aussi ressorti que, à l’exception de l’orbite circulaire, toutes les trajectoires décrites sous l'influence d’une force centrale appartiennent à un système de transition et sont donc impropres à représenter les cas les plus généraux de la stabilité ou de l'instabilité.

Les trajectoires parcourues sous l’action de la gravitation

DS

universelle durent être rapportées à un type qui, à son tour, parmi les trajectoires centrales, occupe une position exceptionnelle. A cette circonstance sont dues, en partie, les conditions de stabilité propres à notre système solaire.

4, La clé des résaltats obtenus est donnée par ce théorème Un +9 + Un

SH (où Un, Un +1 et Un +1

remarquable, que le quotient

Un+2 désignent, pour l’une quelconque des trajectoires altérées par perturbation conservative, les écarts en des points correspondants des périodes nième, n + ième et n + 2ième) possède pour chaque trajectoire une valeur déterminée, constante. Suivant que ce nombre x se trouve en dedans ou en dehors des limites + 2 et — 2, la trajectoire est stable ou instable. Dans le premier cas, elle est stable tant pour les perturbations non conservatives que pour les perturbations conservatives, et aussi pour des forces perturbatrices périodiques, sauf quand est remplie une condition que fera connaître le $ 23. Lorsque + tombe juste sur l’une des deux limites, trois autres types de trajectoires, de différents degrés de généralité, peuvent prendre naissance.

Equation différentielle du mouvement “troublé.

9, Soient O P, S, la trajectoire du mouvement non troublé, s la longueur de l'arc mesurée à partir d’un point déterminé O, u la longueur PP, d’une droite normale à OP, en P,; la position d’un point P, situé au voisinage de la tra-

om pere qe

jectoire troublée, sera alors déterminée par ses coordonnées s et w; cette dernière, w, est ce que nous appelons l'écart du point. |

Fig. 1. Nous désignons, de plus, par e, le rayon de courbure en P, de la trajectoire non troublée, par v%, la vitesse sur cette trajectoire, par V l’énergie poten-

desquelles un point ayant l’unité de masse peut décrire la trajectoire inalterée. Outre ces forces, nous admettons d’ailleurs l’existence de petites forces perturbatrices, qui ne possèdent pas nécessairement un potentiel. En un point P au voisinage de la trajectoire non troublée, &, représentera la composante suivant P,P de la force perturbatrice agissant sur l’unité de masse, £, sera la composante perpendiculaire à P,P, prise positive dans la direction où s croît.

Si maintenant au point P il y a une particule matérielle de masse un, son énergie cinétique sera exprimée en toute rigueur par

Sexe ail 1 / u «2 ) T=s. à #3 (108 has

Les équations du mouvement sont donc:

U — « Cri) s? — POSER «LENS (2) 20 00 G+=) s+<(1+2 )-". + 1 + +) 00 00 00/ ds 2 SHOT (7 —— (ES)

tielle des forces sous l’influence

Elles possèdent l'intégrale :

L 4 à 1 WN ?. : s uw 1 OPUS rene . f (: LL s+ 5 ( + À) S+ a ot De 1 $s Re S +

| s du + JE. Ts lee At EL (4)

x > / : 1 où nous désignons par Æ£, l’énergie constante V, + Ps VS

du mouvement non troublé, et par £, + « l'énergie du mouvement troublé, cette énergie étant calculée sans avoir égard aux forces perturbatrices, et prise relativement au point de la trajectoire troublée où s = 0.

En substituant $ — v, + À, où A représente une petite ‘ grandeur, vu que les vitesses sur la trajectoire troublée seront peu différentes de celles sur la trajectoire non troublée, et en négligeant les produits de petites quantités, on déduit des équations 2) et 4):