W = VX

qui nous apprend que, pour quatre tangentes quelconques d’une R 3, la quatrième puissance du rapport anharmonique est égale au produit des deux rapports analogues appartenant aux deux groupes de quatre points d’intersection qu’on ren- Archives Néerlandaises, T. XXV. 7

J. C. KLUYVER.

contre sur les deux transversales communes de ces quatre tangentes.

13. Finalement, nous déterminerons encore, pour le système des courbes tangentes R 3, les nombres caractéristiques les plus simples. Comme tels, sont immédiatement connus les nombres v et v , qui dans la notation de M. Schubert 1 ) indiquent combien de courbes du système coupent une droite donnée ou font passer un plan osculateur par une droite donnée. D’après ce qui précède, on a v = v = 6.

Nous avons déjà remarqué que la surface réglée F6 est unicursale, et par conséquent du rang 10. Chaque tangente de F6 est toutefois rayon d’osculation de la courbe R3 qui passe par le point de contact, et les rayons d’osculation forment donc un complexe du degré a — 10.

Pour décider combien de courbes sont touchées par un plan donné, il faut considérer que les points où le plan est coupé par les courbes forment une involution cubique, située sur une courbe unicursale, intersection du plan et de la surface F6 .

Une pareille involution possède quatre points doubles, et il y a par conséquent q = 4 courbes qui touchent un plan donné. Mais alors il y en a un nombre égal qui font passer une tangente par un point donné; donc, q =4.

Il reste à déterminer le degré (5 du complexe formé par les cordes des courbes F3. Pour cela, nous adjoindrons à chaque point p de l’une des courbes tout autre point q de la même courbe, et au système ainsi construit, — système du troisième ordre de couples de points p, q, à droite de jonction g , — nous appliquerons la formule de coïncidence * 2)

egp^zp3 -h q3 -h g» .

Les signes p3 et q3, qui impliquent la condition que les

2) Schubert, l. c.. p. 44, forrn. 3.

points p et q soient donnés, ont ici la valeur zéro. Le signe tgï o indique la condition que p et q coïncident et que la droite g passe par un point donné. D’après ce qui précède, il y a quatre courbes dont une tangente passe par un point donné. Mais, en outre, les transversales f et f" forment deux dégênérations, pour lesquelles les intersections avec 1, 2, 3 et 4 doivent être considérées comme des ^sommets.” Les droites menées du point donné à ces huit sommets sont censées remplir la condition tgp.

On a donc egp = 12. Enfin, gs est le signe de la condition qui exprime que la droite g fait partie d’un faisceau donné. Or, chaque faisceau contient p cordes g , sur lesquelles se trouvent deux points de la courbe ; chacun de ces deux points peut être le point p , de sorte que pour gs on aurait à écrire la valeur 2fi. Mais, celles des droites du faisceau qui coupent f et f" satisfont chacune trois fois à la condition gs : nous avons donc gs = 2 fi -f 6. Dès lors, la formule donne = 3, résultat qu’il est facile de vérifier dans le cas particulier où l’on fait passer le plan du faisceau par l’une des droites/ et f". Ajoutons qu’on a la même valeur pour le degré / du complexe que déterminent les axes (intersections mutuelles des plans osculateurs) des courbes R 3.

En résumé, dans l’hypothèse de r = 0, on a, suivant la notation de M. Schubert,

T .oi