R2 2 3 4 P3 ! 4 Lj 2 4 (A j 2 A3 , A2 3 A J

L’échange cyclique de 1, 2, 3 fournit encore deux autres équations de la même forme, savoir :

U n 314^ 1 24A23 ^ 12V1 2 3 4il3 I

Xl 2 3 411 3 1 4Xll 2

l 2 4Xl 2 3 4 Xl3 1

X 1 3 1 4xl l 2

J. C. KLUYVER.

Si, pour abréger, on pose

ces trois équations pourront être remplacées par les suivantes :

Or, ces dernières équations ne peuvent subsister simultanément, à moins qu’on n’ait a — h — g

A' = — à 6 — / =a6c — a/2 — 6#2 — cà2 — 2/#à === 0 . . . (H)

Par là, les relations (F) entre les quatre formes sont finalement ramenées à quatre conditions de la forme A' = 0, dans lesquelles il n’en entre chaque fois que trois. Ces quatre conditions n’équivalent, bien entendu, qu’à trois relations indépendantes. Il est facile d’indiquer des formes spéciales qui y satisfont; par exemple, en partant de la supposition

Veut-on, dans ce cas, avoir des formes réellement différentes, dont les discriminants ne s’annulent pas, et dont il n’y en ait pas trois en involution, il faut prendre a = — 2,

f = -i-— on arrive alors aux quatre formes dites du cube *),

dont le produit est représenté par

x y ( x 6 — 8 a?3 y3 — 8 ?/6), et qui satisfont aux relations identiques

i ) Gordan-Kerschensteiner, Vorlesungen über lnvariantentheorie, II, p.16'1 ,

10. Jusqu’ici, toutefois, la signification géométrique des conditions invariantes (F) ou (H) n’est pas encore trouvée.

Pour simplifier la figure à étudier, prenons, sur la courbe R 3 considérée dans l’article précédent, un point quelconque, et de ce point comme centre projetons sur un plan quelconque la courbe et ses quatre cordes 1, 2, 3 et 4. Par cette opération, on obtient une conique C2, avec quatre de ses sécantes 1, 2, 3 et 4. Les couples de points où 1, 2 et 3 rencontrent la conique déterminent de nouveau trois formes quadratiques binaires, entre lesquelles existe encore la relation (H). Il s’agit de savoir quelle est, en vertu de la condition (H), la situation particulière des trois droites relativement à C2.

Admettons que, par rapport à un triangle de référence X Y Z, la conique C 2 ait pour équation

Les coordonnées des points de cette courbe seront exprimées de la manière habituelle, en fonction d’un paramètre suivant les équations

f»2 i fi '

En supposant que les trois formes binaires, ci-dessus mentionnées, soient

Ii = ao P2 + 2a, /t -H «2,

fi +2 bt p + b2J

fi — co .u2 + 2 c, [a, 4- c2,

nous trouvons pour les équations des droites 1, 2 et 3, par ordre successif,

0 = y=zb0X-{-b2 F+26, Z,

0 z^ z zz: ç 0 X -f- c 2 F H- 2 c, Z ,

d’où l’on déduit

J. 0. KLUYVER.

, Y — 2 j a0 b0 Cq

CL 2 b 2 C 2

a, bx c,

a0 &o co

L’équation de la conique C 2 par rapport au triangle de référence ayant pour côtés les droites 1, 2 et 3, s’obtient en substituant ces valeurs dans

Comme résultat de cette substitution, on trouve, après quelques réductions

a x2 -h b y2 + cz2 H- 2 fy z + 2 g zx 2 lix y = 0,

où les coefficients a, b, c, /, g et h ont la signification que nous leur avons attribuée dans l’article précédent.

Ce résultat étant rapproché de la condition (H), la traduction géométrique de la relation invariante A' — 0 ne présente plus de difficulté. Un théorème connu ') nous apprend, en effet, que dans le cas

A ' -=.ab c — a f1 — b g2 — ch2 — 2 fg h — 0,

les six droites, menées des sommets du triangle de référence aux points d’intersection de la conique C 2 avec les côtés opposés, passent trois à trois par deux points.

Les courbes B3} qui, au moyen des systèmes focaux considérés dans l’art. 7, sont conjuguées aux génératrices z des hyperboloïdes H. , HG) Hn et , ont donc par rapport à leurs quatre cordes 1, 2, 3 et 4 une situation particulière, caractérisée par la propriété suivante :

Si l’on considère la conique et le quadrilatère obtenus en projetant une semblable courbe B3 et ses quatre cordes 1, 2, 3 et 4, d’un de ses points comme centre, sur un plan quelconque, alors, dans chacun des quatre triangles du quadrilatère en

J) Salmon, Conic sections , 6e éd., p. 408, ex. 13.

SUR DES SYSTÈMES DE RAYONS, ETC. 95

question, les six droites menées des sommets aux points d’intersection de la conique avec les côtés opposés passeront trois à trois par deux points.

11. L’étude précédente a donc fait voir comment on peut distinguer par une construction géométrique les cas r = 0,

-T>" 0, et comment se trouvent les différentes figures covariantes qui, dans le premier cas, engendrent les courbes R3 tangentes aux droites 1, 2, 3 et 4. Peut-être y a-t-il quelque intérêt à nous arrêter encore un instant au cas r = 0.

Admettons qu’aux génératrices z de l’hyperboloïde H% , dans chacun des trois systèmes focaux, soient adjointes des courbes tangentes à 1, 2, 3 et 4. Ces courbes forment, comme on l’a vu à l’art 9, une surface réglée unicursale FG , qui a les droites 1, 2, 3 et 4 pour génératrices doubles, et leurs deux transversales f' et /" pour droites triples. Mais ici, à cause de f = 0, la surface FQ présente une particularité nouvelle: les génératrices doubles sont devenues des arêtes de rebroussement.

En effet, dans la droite 1, par exemple, deux nappes de la surface se rencontrent, et chacune des courbes R3 doit, au point où elle touche cette droite, pouvoir passer de l’une des nappes sur l’autre. Cela exige qu’en ce point les plans tangents aux deux nappes coïncident avec le plan osculateur de la courbe, d’ou résulte que la droite 1 devient effectivement arête de rebroussement.

En outre, les droites /' et / " sont, par rapport à chaque courbe P3, des polaires conjuguées, de sorte que chaque génératrice z de FG doit être considérée, pour toutes les courbes, comme un rayon d’osculation.

Le plan osculateur en un point quelconque de l’une des courbes contient donc toujours une génératrice et est par suite, au point considéré, tangent à F 6. De là vient que, suivant la remarque de M. Voss, les courbes R3 forment les courbes asymptotiques de la surface F6 .

J. C. KLUYVER.

Si Ton fait décrire par la courbe R3 la surface F c, les quatre points de contact de 1, 2, 3 et 4 parcourront évidemment des ponctuelles homographiques, droites dont les intersections avec les transversales /' et f" formeront deux groupes de quatre points homologues.

Par des considérations de ce genre, on est conduit à regarder deux courbes R 3 et R 3 comme des figures homologues dans deux systèmes collinéaires, dans lesquels la congruence (/' f") se correspond à elle-même. Une transformation homograpliique répétée suffit donc pour déduire de l’une des courbes R3 toutes les autres.

Cette déduction peut toutefois, si l’on veut, se faire encore par une voie différente.

Tient-on compte, en effet, de la circonstance que tous les complexes linéaires adjoints aux courbes R3 contiennent la congruence (/' /"), on peut démontrer que, dans le faisceau de complexes ainsi déterminé, il existe toujours un complexe K , par rapport auquel deux courbes R 3 et R' 3 sont des figures réciproques, de telle sorte qu’à un point de l’une des courbes, comme foyer, correspond un plan osculateur de l’autre, comme plan focal.

Or, en partant d’une semblable correspondance, il est facile de prouver que pour la surface réglée F 4 du quatrième degré, décrite par celles des cordes de R3 qui appartiennent au complexe K , la courbe R'3 forme l’arête de rebroussement de la surface développable bitangente qui peut être construite autour de Fk .

12. De tout ce qui vient d’être dit il ressort suffisamment que, pour toutes les courbes R 3 de F 6, le rapport anharmonique des quatre tangentes 1, 2, 3 et 4 est le même. Nous allons faire voir encore comment ce rapport anharmonique l dépend des biquotients analogues V et l" , auxquels donnent lieu les deux groupes de quatre points d’intersection qu’on trouve sur les deux transversales communes / et /". A cet effet, nous représentons, ainsi que l’a fait M. Voss, les coor-

SUR DES SYSTÈMES DE RAYONS, ETC

données des tangentes d’une R 3 par des fonctions biquadratiques d’un paramètre variable Supposons que pour 1, 2, 3 et 4 ce paramètre prenne les valeurs p,,. ..p4. Il en résulte immédiatement que les invariants (23), (31), etc. doivent être pris proportionnels aux quantités (^ — ^3)4, (ju3 — ^,)4 etc. Pour le rapport anharmonique l on a donc:

j 4 /,»|— ,«-2 . mA 4 (12) (34) c

-\r-rr’n-rJ (31) (24) 6 •

Rapprochons ce résultat de l’équation

P2 b H- 2 ^ ( — a + c) + (2d-6 + 2c) = 0,... (C) qui a été établie à l’art. 5. Cette équation fournit les valeurs paramétriques fi' et fi’', appartenant aux deux droites h1 et h " du système réglé (321) qui sont coupées par 4, dans la supposition qu’à 1, 2 et 3 reviennent les valeurs paramétriques — 1 , oo , H- 1.

Pour V on a, par conséquent,

v — 1 — oo fi' — oo 1 — /a'

De même, pour P',

de sorte que, d’après (C),

Entre les trois rapports anharmoniques considérés, il existe donc la relation très simple