CHAPITRE IL

Phénomènes électromagnétiques dans des corps qui se trouvent en mouvement et qui entraînent l'éther contenu dans leur intérieur.

Valeur de V énergie cinétique.

§ 50. Dans ce chapitre ') je nommerai matière tout ce qui peut être le siège des courants ou déplacements de l’électricité et des mouvements électromagnétiques. Ce nom sera donc appliqué à l’éther tout aussi bien qu’à la matière pondérable.

Dans les cas que nous allons étudier, il y aura deux classes de phénomènes, bien distinctes. D’une part, nous aurons affaire aux phénomènes électriques, tels qu’ils peuvent se présenter aussi dans des corps immobiles; d’autre part, il y aura un mouvement indépendant de toute action électrique et qui sera appelé le mouvement de la matière.

En suivant l’exemple donné par M. Hertz dans son second mémoire, je supposerai que l’éther contenu dans les espaces intermoléculaires d’un corps pondérable participe au mouvement de ce dernier. En d’autres termes, si à un moment quelconque on fait cesser subitement tous les mouvements qui constituent les phénomènes électriques, il restera un mouvement dans lequel tout ce qui est contenu dans un élément de volume est animé d’une vitesse commune.

Les composantes de cette vitesse seront représentées par £, y, Ç. Elles seront regardées comme des quantités données, le mouvement de la matière étant supposé connu. Du reste, je me bornerai aux cas où £, 7;, f sont des fonctions continues des coordonnées. Cela implique que deux corps qui se trouvent

1) Je me permets d’avertir le lecteur que les trois derniers chapitres de ce mémoire sont entièrement indépendants de celui-ci et du troisième.

H. A. LORENTZ

en contact ne doivent pas glisser l’un sur l’autre et que, par exemple, un corps pondérable sphérique, placé dans un espace d’ou l’air a été éloigné, communique un certain mouvement à l’éther environnant, non seulement lorsque le centre se déplace, mais aussi lorsque le corps tourne autour de ce point.

§ 51. La position de la matière pourra être déterminée par un certain nombre de coordonnées générales, que jè nommerai p , , p2 . . .p/c, et il est clair que, s’il n’y avait aucun phénomène électrique, les composantes de la vitesse d’un point matériel quelconque P seraient données par des expressions de la forme

Q, Pi d- Q2P2 d- . . . . d - Qk pk,

Q' \P\ + Q' 2 P 2 d- • • • • d- Q'kpjc ,

Q" 1 P 1 d- Q"oP2d- .... d- QTkpk,

les coefficients Q changeant avec la configuration du système.

Si, en revanche, la matière se trouvait en repos, mais qu’elle fût le siège de courants électriques, aux composantes u, v et w, on aurait pour les vitesses de ce même point P, comme au paragraphe 13,

Or, je supposerai que, dans le cas où les courants électriques u, v, w existent dans la matière qui est en mouvement, les composantes de la vitesse d’un point matériel ont les valeurs :

Q, pt + . . . +-:Qt p*-t- 2(A u + B v d- C w ),

Q'r , p , d" • • • d - Q ' 7c pic 2 ( A u B v -b C w).

§ 52. En partant de ces expressions, on trouve pour l’énergie cinétique une valeur de la forme :

Le terme T, est ici indépendant des courants électriques,

tandis que T3 ne contient aucune des vitesses p , . . .pic de la matière. Dans le second terme se trouvent les premières

puissances de ces vitesses multipliées par les mêmes puissances de u, v et w.

Dans les questions dont je m’occuperai, le terme Tx ne joue aucun rôle et j’admettrai, comme le fit Maxwell dans sa théorie des circuits linéaires, que le terme T2 s’annule. Je n’aurai donc à parler que de l’énergie T%, que je représenterai dorénavant par T et qui est évidemment l’énergie que posséderait le système si la matière était mise en repos sans que les courants en fussent changés.

Cette énergie peut donc être calculée de la manière que j’ai exposée aux paragraphes 7 — 10. Il importe toutefois de remarquer que, si on effectuait ce calcul pour des époques successives, on obtiendrait pour T des valeurs différentes, non seulement parce que la distribution des courants ne restera pas la même, mais encore parce que, en vertu du mouvement de la matière, les coefficients p changent d’un instant à l’autre dans un même point de l’espace.

Quantité d'électricité qui traverse une surface.

§ 53. Dans les considérations du chapitre précédent, les composantes du courant déterminaient les quantités d’électricité qui se déplacent à travers des surfaces ayant une position fixe dans l’espace. Dans le cas qui nous occupe actuellement, elles nous donnent d’une manière analogue la quantité d’électricité qui traverse une surface qui est liée fixement à la matière et se déplace avec elle , et dont, par conséquent, la forme et les dimensions changent continuellement 1).

*) Je crois pouvoir présumer que tous les physiciens sont d’accord sur ce point. Si deux conducteurs sont reliés l’un à l’autre par un fil métallique dans lequel il y a un courant de l’intensité i, la charge de l’un subira par unité de temps une augmentation i, et celle de l’autre une diminution égale; il en sera ainsi quelle que soit la vitesse d’un mouvement qu’on imprime au système tout entier. On dira donc qu’une surface séparant les deux conducteurs est traversée dans l’unité de temps par une

Archives Néerlandaises, T. XXV. 28

H. A. LORENTZ

Si un élément d’une telle surface coïncide à l’instant t avec un élément d a dont la normale a pour cosinus directeurs p, q , r, cet élément mobile sera traversé entre les moments t et t + dt par la quantité d’électricité

Selon la théorie de Maxwell , la distribution du courant électrique doit toujours être solénoïdale, ce qui s’exprime par les équations (4) et (5). Dans le chapitre précédent, cette condition impliquait l’égalité des quantités d’électricité qui entrent et qui sortent par une surface fermée, immobile dans l’espace ; maintenant, la condition exige la même chose pour une surface fermée qui se déplace avec la matière.

§ 54. Comment concilier les idées que je viens d’exposer avec l’hypothèse d’un seul fluide électrique imprégnant toute la matière? Il faudra, en premier lieu, admettre qu’un courant électrique consiste, non pas dans le mouvement absolu d’un tel fluide, mais dans son mouvement relatif par rapport à la matière. En second lieu, il faudra renoncer à l’hypothèse de l’incompressibilité et lui substituer une autre plus générale. En effet, la matière peut se mouvoir sans qu’il y ait des courants électriques, et elle peut subir pendant ce mouvement un changement de densité. Dans ce dernier cas, le volume limité par une surface fermée qui passe toujours par les mêmes particules de la matière n’est pas invariable, et cependant aucune quantité d’électricité ne franchit cette surface. Au lieu de dire que le fluide électrique est incompressible, il faudra donc admettre qu’une partie déterminée de la matière en contient toujours la même quantité.

quantité d’électricité i ; pour cette surface on peut prendre une section du. fil qui passe continuellement par les mêmes particules métalliques. Mais, évidemment, la même chose ne sera pas, en général, vraie pour une surface immobile.

Application du principe de d’ Alembert.

§ 55. C’est de nouveau l’équation générale (3) qui va nous fournir les équations du mouvement.

Comme il ne s’agit pas de trouver les lois qui régissent le mouvement de la matière, je me bornerai à des déplacements virtuels auxquels elle ne prend point part. Ce n’est que l’électricité et les particules animées des mouvements électromagnétiques qui en seront affectées, et les changements de position seront déterminés au moyen des quantités e*, ey, e2, absolument de la même manière que dans le chapitre précédent. Il est facile de s’assurer que la variation ô' T est toujours donnée par la formule

8’ T = J (Fe* + Gey + Hez)dr, (39)

les fonctions F, G et H étant déterminées, comme auparavant, par les formules (14).

§ 56. Cependant, dans le calcul de la dérivée

dô' T dt 7

je ne supposerai plus qu’à l’instant t -+- dt les quantités , ey, ez aient les mêmes valeurs qu’à l’instant t. Il est vrai que, tant que la distribution du vecteur e demeure solénoïdale, on est entièrement libre dans le choix des composantes et qu’elles pourraient par conséquent être prises indépendantes du temps, mais le calcul du terme d T dans la formule (3) en deviendrait assez difficile.

Il est plus commode de donner aux composantes relatives au temps t q- dt de telles valeurs e'*, e'y, e'*, qu’un élément de surface quelconque, qui se déplace avec la matière, soit traversé par la même quantité d’électricité en vertu du déplacement (e*, ey, e*) à l’instant t et en vertu du déplacement (e'*, e'y, F z) à l’instant t H- dt.

On reconnaîtra immédiatement, d’abord, que le vecteur (eV, ey. e'z) se trouve ainsi complètement déterminé dès que le vecteur (e.r, fy, e*) a été choisi, le mouvement de la matière

H. A. LORENTZ

pendant le temps d t étant connu, et, en second lieu, que la distribution de l’un des deux vecteurs est solénoïdale si l’autre jouit de cette propriété.

§ 57. Grâce au choix que je viens de faire, le terme 8 T dans l’équation fondamentale s’annule, si du moins on adopte l’hypothèse suivante, qui n’est autre chose qu’une généralisation de celle de Maxwell (§ 2):

Si, après des mouvements quelconques, la matière est ramenée à sa configuration primitive, et si, dans le cours de ces mouvements, chaque élément de surface qui est fixement lié à la matière a été traversé par des quantités égales d’électricité en directions opposées, tous les points du système se retrouveront dans leurs positions primitives.

§ 58. Pour démontrer que cette hypothèse donne effectivement

je donne aux signes Wxt IP2, W\, W 2 les mêmes significations qu’au paragraphe 19 et je me représente de nouveau la succession des déplacements

W\ -*W2, W2 TF,, WX->W\; (40)

le mouvement varié sera alors celui qui ramène le système à la configuration W2 dans un temps d t.

Or, on voit immédiatement que le mouvement varié de la matière ne diffère pas du mouvement réel.

D’un autre côté, un élément de surface quelconque, qui se déplace avec la matière, est traversé par des quantités égales d’électricité pendant les déplacements TP, — ► H7', et W2 — ► W' 2. Si donc, après avoir donné au système les déplacements (40), on fait en sorte qu’un tel élément soit traversé par la même quantité d’électricité que dans le déplacement Wx — > W2, la somme algébrique des quantitées d’électricité qui ont successivement traversé l’élément sera 0 et, en vertu de notre hypothèse, la position W'2 se sera rétablie. Il en résulte que les composantes du courant ont dans le mouvement varié les mêmes valeurs que dans le mouvement réel et que, par conséquent,

§ 59. Soit de nouveau

J (X ex -f- d h- Z e2) d t

xle travail des forces pendant le déplacement virtuel (e.r, ey, eM alors l’équation (3) devient :

— f (Xe* + Y + Zez d r = (■F’e->- + ®«V + Se*) d r (41 ).

Supposons que le vecteur e soit distribué de la façon particulière indiquée au paragraphe 25. Si l’on fait se mouvoir avec la matière le tube annulaire dont il fut question dans ce paragraphe, l’axe coïncidera après le temps dt avec une nouvelle ligne fermée et, au lieu de œ, le tube aura une section droite œ . D’après ce qui a été dit sur e'*, e y, e'*, il faudra que le vecteur e', dont ces quantités sont les composantes, soit borné au nouveau tube, qu'il ait la direction du nouvel axe s ' et que le produit e' œ soit partout égal au produit e co dans le tube non déplacé.

Or l’intégrale

j (F e* + (x 6y - H 62) d t prend (§ 25) à l’instant t la valeur:

e co J (F p -h G q -t- H r) d s,

et à l’instant t -h d t elle devient

e' co' J (F p h- G q -h Hr)ds\

l’intégrale étant étendue à la ligne primitive dans la première expression et à la ligne déplacée dans la seconde, et les valeurs de F, G et H se rapportant respectivement aux moments t et t -t- dt.

Il s’ensuit qu’au lieu de

©# d~ G Cy -f- H e z) d

il est permis d’écrire

H. A. L0KENTZ.

e œ iït / ^ P + O q Hr) d s,

où le signe d indique l'accroissement total de l’intégrale causé par la variation de F, G et H et par le déplacement de la ligne s.

Le premier membre de l’équation (41) se transforme en

— e œj* (Xp Y q 4- Zr) d s, et la formule devient:

— j(Xp+ Yq + Zr)ds=§ij(Fp+ Gq + Br)dë.

Elle se simplifie encore si l’on conçoit une surface a limitée par la ligne s et se déplaçant également avec la matière. En vertu des relations (14), on a

f (F p + Gq + Hr)ds=f B* d a,

ce qui donne:

-f (Xp + Yq + Zr)ds— ~j B ud« ...... (42)

Ici encore, le signe d indique le changement total de l’intégrale. Pour le calculer, il faudra tenir compte, d’une part, du changement de l’induction magnétique, et, d’autre part, du déplacement de la surface <i.

§ 60. De la formule (42) aux équations définitives du mouvement il n’y a qu’un pas. On peut d’abord admettre qu’à l’instant t la surface a coïncide avec un rectangle infiniment petit dont les côtés sont parallèles à deux axes des coordonnées et qui n’est pas coupé par une surface de discontinuité. En regardant toutes les quantités variables comme des fonctions de t et des coordonnées xy y, z d’un point immobile, on trouve ainsi (voir § 61)

/ da db 0c\

\d# dy dz) *

En second lieu, on peut donner à la surface <r la forme d’une bande étroite comprise entre deux lignes qui se trouvent de part et d’autre d’une surface de discontinuité. Si ces lignes s’approchent de plus en plus d’une même ligne située dans la surface, l’intégrale

tend vers la limité 0 et on est conduit à la condition

direction quelconque dans la surface de discontinuité.

Les équations (43) expriment la même chose que les formules (la) du second mémoire de M. Hertz. Elles n’en diffèrent que par la notation, le choix des unités et la position relative des axes des coordonnées..

Du reste, comme nous n’avons nulle part supposé l’existence de „ magnétisme libre”, nous pourrions encore simplifier les formules en y substituant.

§ 61. Il suffira d’indiquer rapidement comment on arrive à la première des équations (43).

Figurons-nous qu’à l’instant t la surface <y se confond avec

(Ra), =(R*)a,

R étant la „force électrique” (X, Y) Z) et h indiquant une

H. A. LORENTZ

un élément rectangulaire dydz , perpendiculaire à l’axe des a? et situé au point (x, y , z) ; alors, à l’instant t d t, la surface passera par le point (x H- £ d t, y + y dt, z + Ç d t), la normale fera avec l’axe des x un angle infiniment petit et avec les axes des y et des 2 des angles

1 7T -p - — d t et 1 Ti -4- - — d t} dy 1 d z

et l’aire de la surface sera devenue

fOj dj\

dtldy dz.

Désignons par a la valeur de la première composante de l’induction magnétique au point (x, y, z ) et à l’instant t, et par

la valeur de cette même composante au point (; x H- ? d t, y H- y d i, z -h ’Çdt) et au moment t H- dt.

a=a + (jt

Alors la valeur de 1

’intégrale J Bnd< t, qui est d’abord

a dy dz,

devient au bout de l’intervalle d t :

[j/Oa .da da

a+lfe + 5âi + ^ + {:

Dÿ

Valeur de la force électrique.

§ 62. Tant qu’il s’agit de corps conducteurs, dans lesquels la „résistance” seule s’oppose au mouvement de l’électricité, on n’a rien à changer à ce qui a été dit dans le chapitre précédent. Les diélectriques, au contraire, demandent de nouvelles considérations.

Conformément à l’idée énoncée au paragraphe 53, il est naturel d’admettre que le dérangement électrique de l’état naturel d’un isolateur est déterminé dès qu’on connaît, pour chaque élément de surface fixement lié à la matière, la quan-

tité totale d’électricité par laquelle il a été traversé à partir d’un moment où le corps se trouva encore à l’état naturel.

Je désignerai par

fdydz

la valeur de cette quantité pour un élément de surface qui coïncide à l’instant t avec un rectangle dont les côtés d y et d z sont respectivement parallèles aux axes O Y et O Z. En définissant les quantités g et h d’une manière analogue, on peut dire que le diélectrique aurait été amené à l’état où il se trouve actuellement si, après avoir donné à la matière la position qu’elle occupe à l’instant t, on eût fait naître un déplacement diélectrique D, aux composantes f, g, h. L’énergie potentielle par unité de volume sera donc toujours donnée par l’expression (21) et le travail des forces pourra être représenté comme il a été fait au paragraphe 59, si on prend pour X, Y et Z les valeurs (25). En effet, la matière elle-même ne prend point part au déplacement virtuel que nous avons imposé au système; les quantités/, g et h , telles que je viens de les définir, recevront par conséquent dans ce déplacement les accroissements e.r, fy, e*.

Relations entre les composantes du courant et celles du déplacement diélectrique.

§ 63. Les formules (24) ne sont plus applicables aux diélectriques en mouvement. Il leur faut substituer des équations moins simples auxquelles on arrive par le raisonnement suivant. La définition que j’ai donnée dans le dernier paragraphe conduit à représenter par

j On d <!

la quantité d’électricité qui, à partir de l’état naturel, a traversé une surface limitée quelconque, liée à la matière.

H. A. LOKENTZ.

La dérivée

prise dans le meme sens que la dérivée

qu’on trouve dans la formule (42), sera donc la quantité d’électricité qui traverse la surface par unité de temps, cette surface se déplaçant toujours avec la matière.

Pour calculer les valeurs de udy dz, v dzdx, w dx dy, il suffira donc de rechercher ce que devient cette dérivée, si à l’instant t la surface d g coïncide avec un rectangle infiniment petit dont les côtés sont parallèles à deux axes des coordonnées. En suivant la marche qui a été indiquée au paragraphe 61, on trouvera:

.=ï+4W-«->-«)+. Qi^ïï)

(vf— + ï(

vh)

Tjh) —

■df

dh\

\dx dy d Z J

dt ' dx

Si l’on introduit ces valeurs dans les équations (10) celles-ci deviennent identiques aux formules (L) établies par M. Hertz dans son second mémoire.

Après avoir ainsi reproduit les formules fondamentales de M. Hertz , il est juste de mentionner que ce n’est qu’après avoir lu son mémoire que j’ai entrepris cette étude des corps en mouvement. J’avais ainsi l’avantage de connaître d’avance les résultats qu’il faudrait chercher à obtenir.