CHAPITRE III
Examen d’une hypothèse qui a été faite aux chapitres précédents.
§ 64. Il n’est pas inutile de considérer de plus près la supposition dont Maxwell s’est servi dans sa théorie des circuits linéaires et que j’ai reproduite, sous des formes plus générales, aux paragraphes 18 et 57.
Même dans le cas que j’ai traité au premier chapitre, cette hypothèse n’est pas aussi plausible qu’on pourrait le croire au premier abord. En effet, il y a dans la mécanique ordinaire des cas bien simples où une supposition analogue conduirait à des résultats erronés.
Considérons, par exemple, le mouvement d’un fluide incompressible dont la densité est o. Désignons par u d a dt, v d a dt, w da dt les quantités du fluide, exprimées par le volume qu’elles occupent, qui, pendant le temps d t, traversent des éléments de surface, respectivement perpendiculaires à O X, O Y et O Z et eux-mêmes immobiles; u, v et w seront alors les composantes du courant. Représentons par Xdt, Y d t, Z d t les composantes de la force extérieure qui agit sur un élément de volume, et cherchons à établir les équations du mouvement en partant de la formule générale (3). Les variables u , v , w, X, Y et Z seront regardées comme des fonctions de t et des coordonnées x, y , z d’un point immobile.
Un déplacement virtuel peut être défini au moyen des quantités infiniment petites du fluide qui traversent des éléments de surface perpendiculaires aux axes des coordonnées ; rapportées à l’unité de surface et exprimées par le volume du liquide, elles seront indiquées par e*, ey, e*. Elles doivent satisfaire à la même condition que les quantités analogues du premier chapitre et il est évidemment permis de les regarder comme indépendantes du temps. On aura alors:
H. A. LORENTZ
dd' T r/d U d V
e,J + Yt^)dT-
§ 65. Si, après des mouvements quelconques pendant lesquels chaque élément de surface immobile a été en somme traversé dans des directions opposées par des quantités égales du fluide, chaque particule se retrouvait dans sa position primitive, on pourrait démontrer que ôT z= 0, comme dans le premier chapitre. Cependant cette hypothèse ne se vérifie pas et ô T prend une valeur que nous allons calculer.
Donnons à Wlt W2, W W2 la signification que nous connaissons déjà et nommons x, y et z les coordonnées d’une particule du fluide dans la position \Vr Alors les coordonnées de ce point seront : dans la position W2 :
x -f- udt, y + v dt, z q- w dt,
dans la position W/:
x -i- e*, y + fy, z -h ez,
et dans la position W2:
j , {à Qu- d 6x d Sx \ -, ,
X U d t Sx ( -r — U H V r — W ) d t ,
V dy d z J
7 j C» d Gy 3 Gy \ 7 «
y+vdt + s# + [ i~u - h ^ v -h w )d t, a J \dx dy o z J
i j /d Sz 0 Gr d 02 \ 7 .
z -h tv d t + ez H- ( -z— u -h -r— v -h — w ) d t.
v y dz J
Il a fallu ajouter les termes:
/ d 3 Sx d Sx >\ 7 j ,
( r— U H- -r— V H- "r w ) d t, etc.
\dx dy d z J
parce qu’il s’agissait des valeurs de e*, Gy, sz au point où la particule considérée se trouve dans la position W2.
Les expressions précédentes donnent pour les vitesses de la particule dans le mouvement varié:
l ey
0 02 dx
dy
D e* Tzw’
Or, si en un même point de l’espace les vitesses étaient les mêmes dans le mouvement varié et dans le mouvement réel, on aurait dû trouver au lieu de ces expressions:
d U du du
u H- - — 0# -J- x — 0?/ H- x — 02, etc. d x 0 y J d z
§ 66. Après avoir obtenu les valeurs (44) on peut procéder comme il suit. On a d’abord
= o I ’ [U2 -X h uv — f -UW xr— }"b
J I \ dx dy d Z J
f 0 Cy « 0 ©y 0 ©y\
H- ( WU — ^ +VW xr^ ) -b
\ dx dy d Z J
\ 0 x d y dz J )
Ici, on peut intégrer par parties. En supposant qu’aux limites du fluide e.r = ey ■= e~ = 0 et se rappelant que :
du d V d W
x b x h xr— = 0,
0 X dy dz
fi
/ du
dy dz J
f dv
^ dx
fl-'T y +W — dy 0 z )
on trouve :
H. A. LORENTZ
En fin de compte, l’équation (3) devient:
J ( X Qj- -h T Gy Zj d t —
d u\ Jz)
dJj
fi
dy d w dy
ey +
du du
v- H u) t y etc.
dy dz
Il est facile d’en déduire les équations du mouvement sous leur forme ordinaire. On s’apercevra que l’hypothèse en question, loin d’être vraie, conduirait à l’omission des termes
§ 67. Si cette hypothèse ne peut pas être admise dans le cas d’un fluide ordinaire, elle ne pourra non plus être appliquée au fluide électrique. Cependant, cela n’empêche pas que nos équations du mouvement ne puissent être exactes. En effet, la masse de ce dernier fluide a été supposée négligeable, et dans le calcul de la variation è T il ne s’agissait que de l’énergie cinétique qui est propre aux mouvements électromagnétiques ; il suffira donc que les points matériels qui sont chargés de ces mouvements, et qu’il ne faut pas confondre avec l’électricité elle-même, jouissent de la propriété de revenir aux mêmes positions si pour chaque élément de surface la somme algébrique des quantités d’électricité par lesquelles il a été traversé, est 0.
Or, on est entièrement libre d’essayer sur le mécanisme qui produit les phénomènes électromagnétiques telle supposition qu’on voudra, et tout en reconnaissant la difficulté d’imaginer un mécanisme qui possède la propriété désirée, il me semble qu’on n’a pas le droit d’en nier la possibilité.
§ 68. Cependant, cette hypothèse que nous discutons, estelle vraiment inévitable si l’on veut voir s’annuler le terme è T, ce qui semble nécessaire pour obtenir des équations
qui s’accordent avec les expériences? Je vais démontrer, en me bornant pour le moment aux corps immobiles, qu’on peut au besoin recourir à une autre suppositon.
Revenons pour cela aux formules (16). ^ Les coefficients A j B, C, A', . . . . qu’elles contiennent changeront avec la configuration du système et on peut indiquer par ô A, d B, ô C , ô A\ . . . . les changements qui surviennent pendant le déplacement Wt — ► W et par d A, d B, d C, d A' . . . . ceux qui ont lieu pendant le mouvement réel Wt — » W2.
Cela établi, on peut écrire pour la première coordonnée d’une particule déterminée :
dans la position Wt : x ;
dans la position W2: x-\- 2 (A u-\-Bv-\-Cw)dt; dans la position Wt ': x -p Z (A e* -p R©y -p Ce*), et enfin dans la position W2 :
x -p Z (A u H- B v -h Cw) dt -p
Il en résulte que le déplacement de la particule dans la direction des x est, pendant le mouvement varié: à ( A u B v O w ) d t -|- £ [d A. ©^- -P d B. ©y -p d G. ©2) . (45)
D’un autre côté, on peut indiquer facilement quel serait ce déplacement si, à partir de la position W x\ il existait dans le système, pendant l’intervalle d t , un système de courants (u, v, w ) identique à celui qu’on trouve dans le mouvement réel. A la position W x correspondent les valeurs:
A + ÔA, B + d B,
et le déplacement qu’il s’agit d’indiquer serait donc:
A (A u -p Bv -p C w ) d t -p £ (è A. u -p ô B. v -P d C. vi) d t (46).
§ 69. Si les expressions (45) et (46) sont identiques, et s’il en est de même des expressions analogues par lesquelles on peut représenter des déplacements parallèles à O Y et OZ, le mouvement varié sera celui auquel se rapporte l’expression (46) et on aura d T = 0, parce que l’énergie cinétique est déterminée par les composantes du courant. L’hypothèse du
H. A. LORENTZ
paragraphe 18 conduit à cette simplification parce qu’elle donne lieu à l’égalité :
Z (d A. e? q- d B. çy + d C. e~) — z (8 A, u -h 8 B. v 8 C.w)dt.
Pourtant, il n’est pas nécessaire que cette égalité existe. Les vitesses de la particule considérée, dans le mouvement réel, sont
x = Z(Au -h Bv -h Cw), y — Z (A' u +■ B’ v -h C w), z = ^ (A" u + B" v h- C" w),
et si les vitesses dans le mouvement varié sont x + îîV,
y + 8 y, z -h S z, l’expression (45) donne
d B d C \ dt e-y dt y
. • T(àA
Sx=*{tï
Les variations 8 y et 8 z peuvent être mises sous une forme analogue, et on peut calculer la valeur de
8 T — Zm(x8x + ydy + z8z) (48).
Voici maintenant un système d’hypothèses qui donnent pour cette variation la valeur 0:
a. Il y a deux systèmes de particules qui prennent part aux mouvements électromagnétiques* systèmes qui seront indiqués par les lettres N et N'.
b. A chaque moment, une particule quelconque appartenant à l’un de ces systèmes se trouve dans le voisinage immédiat d’une particule de masse égale qui fait partie de l’autre.
c. Les deux systèmes ont toujours des mouvements égaux en sens inverse, ou, pour nous exprimer plus exactement:
Si deux mouvements de même durée commencent avec les mêmes positions initiales et ne se distinguent que par le signe des composantes du courant électrique, et si P et P' sont des points appartenant aux systèmes N et N' et coïncidant dans la configuration initiale, le point P' atteindra, dans le second mouvement, la même position finale que le point P dans le premier mouvement.
v la THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 427
Cela implique évidemment qu’au moment de la coïncidence les points P et P' ont des vitesses égales et opposées. En effet, en changeant les signes de u , v, w, on renverse la vitesse du point P (§13); mais, selon la dernière hypothèse, cette . vitesse doit alors devenir égale à celle qu’avait d’abord le point P'.
Remarquons encore que, dans le cours d’un certain mouvement, ce sera chaque fois une nouvelle particule P' qui coïncide avec une particule déterminée P. Deux roues juxtaposées, qui ont des rotations égales et opposées autour du même axe, peuvent servir d’exemple.
§ 70. Pour démontrer que [ces hypothèses conduisent à
nous allons comparer deux mouvements différents du système. Les lettres TF,, TF2, TF/, TF/ seront appliquées au premier cas et les signes (TF,), (TF2), (TF/) et (TF/) indiqueront les mêmes choses pour le second cas.
Supposons que les positions TF, et (TF,) soient identiques et que, dans les deux mouvements, chacune des quantités u, v , wf e*, ©y, e? ait les mêmes valeurs, mais des signes opposés.
Alors les mouvements TF, — ► TF/ et (TF,) — > (TF/) se distingueront l’un de l’autre de la manière qui a été indiquée dans la troisième hypothèse du paragraphe précédent; il en sera de même des mouvements qui consistent, l’un dans la succession des déplacements TF, — * W2 et TF2 — > TF/, l’autre dans la succession de (F7,)— ►(TF2) et ( TF2 ) — ► ( TF2 '). Il en résulte que, si deux particules P et P' coïncident dans la position TF, ou (TF,), l’une de ces particules se déplacera dans le mouvement varié TF/—* TF/ de la même manière que l’autre dans le mouvement varié ( TF/) — ► ( TF/) ; comme, de plus, les masses de P et de P' sont égales, le mouvement varié aura, dans les deux cas, la même énergie cinétique.
On trouve donc:
ar=(ir), (49)
Archives Néerlandaises, T. XXV.
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où les deux membres se rapportent aux deux cas que nous voulions comparer l’un à l’autre.
D’un autre côté, on peut appliquer les formules (47) et (48). On se rappellera que, pour une particule déterminée qui prend part aux mouvements électromagnétiques, les coefficients A, B, (7, etc. sont des fonctions des coordonnées.
Les dérivées ^=4, etc. qu’on trouve dans les
dt dt dt
équations (47) et dans les expressions analogues pour d y, ô z seront, par conséquent, des fonctions homogènes et linéaire' de u, v , w , et comme il en est de même de x, y , z, la formule (48) conduit à
ce qui, avec l’équation (49), donne
§ 71. Les hypothèses dont je viens de me servir introduisent dans la théorie un certain dualisme, auquel on est amené si souvent par l’étude des phénomènes électriques. En effet, elles ressemblent un peu à l’ancienne idée de deux fluides électriques qui se déplacent avec des vitesses égales et opposées. Seulement, il ne s’agit pas maintenant de fluides électriques, mais des mouvements électromagnétiques. Si, comme il est fort probable, ces mouvements sont des rotations autour des lignes de force magnétiques, les hypothèses reviennent à ce que, dans un espace quelconque, il y a toujours des rotations de directions opposées et qu’il ne peut exister aucun effet qui serait causé par des rotations dans une seule direction.
§ 72. Dans les cas où la „matière” elle-même (Chap. II) se déplace, l’hypothèse du paragraphe 57 donne lieu à quelques remarques nouvelles.
Soit s un circuit linéaire et fermé, dont le mouvement est tellement restreint que la position peut être déterminée à l’aide d’un seul paramètre p ; soient, de plus, e la quantité d’électricité qui, à partir d’un certain moment fixe, a traversé
une section passant toujours par le même point du conducteur, et x la première coordonnée d’un des points matériels P du milieu. L’hypothèse exige que l’on ait :
Cela posé, je donne au système, l’un après l’autre, les déplacements suivants :
a. Tandis que le conducteur se trouve dans le voisinage du point P (position I), une quantité d’électricité a est amenée à
. travers chaque section.
b. Le conducteur est éloigné à une très grande distance du ; oint P.
c. Pendant que le conducteur est retenu dans la nouvelle position (position II), on fait passer à travers chaque section une quantité d’électricité — a.
d. Le circuit est ramené dans la position I.
Si les déplacements b et d n’ont été accompagnés d’aucun courant électrique, la coordonnée x aura repris la valeur initiale. Donc, si A a x, Ai x, etc. sont les variations successives de cette coordonnée:
Aa x -h Ai x + Ac x + Ad x = 0.
Or, comme la distance du circuit au conducteur est beaucoup plus grande dans la position II que dans la position I, la variation Ac x sera beaucoup plus petite en valeur absolue que la variation Aax ; les déplacements Abx et Aax ne sauraient donc être 0.
C’est là, du reste, une chose très naturelle dans une théorie qui suppose que le conducteur ne peut se mouvoir sans pousser devant lui l’éther ambiant. Ce qu’il y a de remarquable dans le résultat obtenu, c’est que le déplacement du milieu qui est causé par un mouvement du conducteur doit être tel qu’il peut compenser le déplacement dû à un courant électrique.
§ 73. Si toutes les coordonnées des points mobiles du milieu sont des fonctions de p et de a, on trouve pour les trois parties dans lesquelles l’énergie cinétique peut être décomposée:
H. A. LORENTZ
Tt T \ T3
dp de d p d 6 V p
[G-O’-Gî)
*dp êTfJ ’
où on a mis i au lieu de è.
De ces trois expressions, la deuxième doit être 0. Voici deux hypothèses par chacune desquelles on peut satisfaire à cette condition.
a . Chaque point mobile du milieu se trouve toujours juxtaposé à un autre d’une masse égale. Les liaisons dans le système sont telles que ces deux points sont déplacés également et en directions opposées par un mouvement électrique, mais qu’ils se meuvent de la même manière si ce n’est que le circuit qui se déplace.
En distinguant par les indices 1 et 2 ce qui se rapporte à l’un ou à l’autre de deux points coïncidents, on a :
d Xx
d Jh
