SUR LA
THÉORIE DE DOPPLER,
PAR
M. J. L.,HOORWEG,
1. En 1842, le professeur Chr. Doppler publia une brochure „ Ueber das farbige Licht der Doppelsterne y Prag, Borrisch u. André”, qui, en dépit de la modestie de son titre , attira l’attention générale.
Il y déduisait très simplement de la théorie des ondulations une nouvelle conclusion , applicable au son et à la lumière , savoir , que lorsque la source de vibration ou l’observateur se meuvent, les tons et les couleurs doivent se présenter autrement que dans l’état de repos relatif.
C’est cette conclusion générale, désignée sous le nom de théorie de Doppler, que je désire soumettre à un examen plus détaillé, en faisant totalement abstraction des conséquences ultérieures concernlîit la couleur des étoiles doubles, etc.
2. Lorsqu’un corps engendre de la lumière ou du son , il émet une série d’ondes. Si celles ci rencontrent un œil ou une oreille, elles y produisent chacune un ébranlement , et la succession régulière de ces ébranlements excite la sensation d’une couleur ou d’un ton. Suivant que le nombre des ébranlements est plus grand ou plus petit par seconde, la couleur ou le ton montent ou s’abaissent.
Archives Néerlandaises, T. IX. 1
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M. J. L. IIOORWEG. SUR LA THEORIE DE DOPPLER.
Si maintenant l'oreille ou l’œil se meut, par exemple vers la source de vibrations, elle rencontrera nécessairement par seconde un nombre d’ondes plus grand que lorsqu’elle était au repos; le ton devra donc être plus élevé. La même chose arrivera si c’est la source vibratoire qui se meut vers l’observateur. Pour se représenter le phénomène plus clairement, on peut recourir à quelques comparaisons vulgaires.
Dans une cuve pleine d’eau on excite des ondulations , qui plus loin vont frapper la main d’une personne. Si celle-ci fait avancer sa main avec plus ou moins de vitesse dans la direction de la source des ondulations, elle recevra, dans le même temps, plus de chocs que lorsqu’elle la tient immobile.
Quelqu’un (l’oreille) se promène dans la rue et y rencontre, à des intervalles réguliers , un grand nombre de ses connaissances (les ondes j ; tous le saluent en ôtant leur chapeau , et à chacun il rend son salut en se découvrant lui-même. N’est-il pas clair que ce quelqu’un devra donner des coups de chapeau plus multipliés (un ton plus élevé) lorsqu’il marche à la rencontre de ses connaissances que lorsqu’il les laisse défiler devant lui ou qu’il suit la même direction qu’elles?
Voyons maintenant la suite du raisonnement de Doppler (/. c.)
Soit O un observateur O ' A Q' Q
au repos , Q une source de vibrations qui se meut avec la vitesse a vers l’observateur; représentons par v la vitesse avec laquelle les ondes se propagent, et par t le nombre de secondes dont l’onde a besoin pour parcourir une longueur d’onde Q A (^ est la durée de vibration). Il n’y a à considérer que l’influence du mouvement sur l’onde la plus rapprochée de la source , parce^ue , une fois constituées , les ondes se propagent sans la moindre altération jusqu’à l’observateur.
Or, pendant que la première onde s’est portée de Q en A et a parcouru le chemin v la source Q est elle-même arrivée en Q' , à une distance Q Q' = a La deuxième onde n’a donc plus besoin que du temps Xy nécessaire pour parcourir la nouvelle longueur d’onde Q' A. On a par conséquent:
il ) y
M. J. L. IIOORWEG. SUR LA THEORIE DE DOPPLER. 3
V t a t=ZV X J
et
où / est la durée de vibration primitive, X „ „ „ „ nouvelle.
Lorsque , au lieu de la source , c’est Tobservateur qui se déplace , on considère la dernière onde, et on trouve ainsi:
vx-\-ax'=zvt
M. Buys-Ballot présente la chose de la manière suivante.
Les vibrations isochrones d’un corps sonore parviennent après des intervalles égaux à l’oreille de l’observateur, et y donnent par conséquent l’impression du ton même qui a été produit. Le ton subjectif est égal au ton objectif, dans le cas où l’instrument et l’observateur ne changent pas de place l’un par rapport à l’autre. Mais s’ils sont en mouvement relatif, le résultat sera différent. En supposant que ce soit l’instrument qui se meuve , chaque vibration partira d’un autre point que la précédente; elle aura donc besoin d’un temps plus long ou plus court pour atteindre l’observateur. La grandeur du changement que subit ainsi chaque vibration sera , en donnant aux lettres la même signification que ci-dessus ,
Les vibrations successives d’un ton de n vibrations par seconde
ne seront maintenant plus séparées par un intervalle de - de se-
conde, mais par un intervalle
Le ton perçu
paraîtra donc faire 7i' vibrations par seconde ;
c’est là la hauteur subjective.
■) Pogg. Annalen, t. LX^I, p. 321.
M. J. L. IIOORWEG. SUR LA THEORIE DE DOPPLER.
Dans rhypothèse où ce n’est pas la source sonore qui se meut , mais Tobservateur, on trouve de la même manière pour la hauteur subjective :
Comme n et n' ont ici la même signification que - et - chez
Doppler , les deux façons de présenter la question conduisent au même résultat.
M. J. C. Maxwell raisonne de la manière suivante:
Soit une source lumineuse exécutant n vibrations par seconde , et éloignée de la Terre à une distance telle que la lumière ait besoin de T secondes pour arriver jusqu’à nous.
Supposons maintenant que la distance de la source lumineuse à la Terre change , soit par le mouvement de la source soit par celui de la Terre , de telle sorte que la lumière , émise t secondes plus tard, atteigne la Terre en un temps T, Pendant la durée t la source lumineuse a exécuté n t vibrations , lesquelles ont atteint la Terre entre le temps T et le temps / + T' , par conséquent en ^ l J'' — T secondes. Le nombre des vibrations qui atteignent la Terre par seconde est donc:
Mais , en nommant a la vitesse avec laquelle la source lumineuse et la Terre s’éloignent l’une de l’autre , et t; la vitesse de la lumière, on a:
atz=v{T'—T),
par conséquent
Les raisonnements des autres partisans de la théorie de Doppler se laissent tous ramener à l’un des trois que je viens d’exposer. On peut remarquer que , tandis que Doppler parle de raccourcisse-
*) Fhil. Transact., 1868, p. 532.
M. J. L. IIOOKWEG. SUR LA THEORIE DE DOPPLER. 5
ment des ondes, MM. Buys-Ballot et Maxwell s’attachent à l’augmentation de fréquence des vibrations.
3. Lorsqu’on considère les aspects divers sous lesquels la théorie de Doppler a été présentée, et qu’on songe que tous ces points de vue, si différents qu’ils soient, ont conduit au même résultat , il est difficile de croire qu’une doctrine si claire et si simple puisse encore être sujette aux objections'.
Pourtant, dès l’année 1852, elle eut à subir une attaque très vive de la part d’un mathématicien éminent, M. Jos. PetzvaP), et la manière dont celui-ci traita la théorie , alors déjà en possession de la faveur générale , est telle , qu’on se sent porté à prendre en pitié les savants qui se sont laissé abuser si déplorablement.
A l’aide de développements analytiques compliqués, il commence par étendre les formules de Cauchy, relatives à la propagation du mouvement ondulatoire dans un milieu en repos, au cas où le milieu lui-même se trouve à l’état de courant permanent.
Il montre alors que la longueur d’onde et l’amplitude peuvent changer, mais non la durée de vibration, et en conséquence il pose comme „ fanal sur la route de la science à l’usage de ceux qui risqueraient de s’égarer” (ce sont ses propres expressions), le principe de constance de la durée de vibratM\ principe aussi sûr et aussi inébranlable que celui de la conservation de l’énergie.
Plus loin , il dit à peu près ce qui suit : Une onde n’est qu’un lieu géométrique , où un certain cosinus prend la valeur 1 ; toute existence réelle, toute matérialité lui fait défaut. On n’a donc pas à s’occuper de la longueur de l’onde; la seule chose dont il faille tenir compte, c’est la durée de vibration, et comme celle-ci n’éprouve aucun changement par le mouvement progressif du milieu , il ne saurait y avoir non plus un changement de la couleur ou de la hauteur du son. Ce qui est vrai du mouvement progressif du milieu sera d’ailleurs vrai aussi de la source lumineuse ou de l’observateur. Du moins les raisonnements de Doppler etc. s’y appliquent de tout point.
*) Sitz.-ber. der K. Wiener Acad. 1852, Bd. 8.
6 M. J. L. HOORWEG. SUR LA THEORIE DE DOPPLER. ,
Après avoir ainsi réfuté la théorie par une démonstration scientifique, M.Petzvals’en moque agréablement. A l’argument du chapeau, rappelé ci-dessus , il répond en demandant ce qui arriverait si entre les passants et le quelqu’un saluant il existait une sympathie plus grande que celle qui se manifeste par un coup de chapeau ? Si , par exemple, ils se rassemblaient tous autour de lui, et occasionnaient ainsi une presse par laquelle quelques-uns d’entre eux se trouveraient refoulés latéralement ? Dans quel ton ce quelqu’un devrait-il alors agiter son chapeau?
Au calcul de Doppler il oppose ceci. Dans ce calcul , la source de vibration Q rattrape l’onde Q A ; mais pour deux raisons cela est de toute impossibilité, d’abord pour la même raison qui fait qu’un ouvrier ne saurait rattraper la brouette qu’il pousse devant lui,, et en second lieu parce qu’il se produit en avant de la source sonore une compression , qui a pour effet d’accroître la vitesse de propagation de la vibration.
Enfin , M. Petzval signale trois erreurs cachées dans la théorie ' de Doppler.
V. Elle représente les ondes comme se produisant à la façon d’explosions ; le corps sonore , qui exécute n vibrations par seconde, donnerait naissance à une onde en un instant indivisible, se reposerait
alors - de seconde , puis émettrait de nouveau une onde , et ainsi
de suite.
2°. Elle attribue à chacune de ces ondes une existence indépendante , matérielle.
3°. Elle suppose que le milieu ne participe pas au mouvement progressif de l’instrument, mais qu’il recueille bien le mouvement vibratoire.
M. van der Willigen, de Harlem, dans des communications faites cette année à la Société des arts et des sciences d’Utrecht et à l’Académie des sciences d’Amsterdam, s’est rallié aux vues de M. Petzval. Cette adhésion a d’autant plus d’importance que , nonobstant les attaques de M. Petzval, la théorie de Doppler s’était maintenue jusqu’ici et avait même trouvé, par suite du développe-
M. J. L. HOORWEG. SUR LA THÉORIE DE DOPPLER.
ment de Tanalyse spectrale, une intéressante application à la détermination du mouvement propre des étoiles.
Les objections de M. van der Willigen n’ont pas encore été publiées par la voie de l’impression, mais, autant que je me le rappelle , elles sont tout à fait les mêmes que celles de M. Petzval.
Son raisonnement m’a paru revenir au fond à cette phrase familière: „la pluie mouille partout de même.”
Ce ne sont pas, en effet, les ondes, mais bien les particules d’air en contact avec l’oreille, qui affectent l’organe auditif. Si nous avons quelque part un diapason faisant 512 vibrations par seconde, toutes les particules d’air qui l’entourent finiront par exécuter aussi 512 oscillations par seconde, aussi bien celles qui touchent l’oreille que celles qui en sont éloignées. Si maintenant nous nous mettons en mouvement , l’oreille viendra bien en contact avec d’autres particules, mais celles-ci vibrent de la même manière que les précédentes, et la membrane du tympan recevra de nouveau 512 chocs par seconde. Tout reste donc précisément dans le même état.
M. van der Willigen a en outre fait opposition à la thèse exprimée par ces paroles de M. Maxwell ^) : „If therefore the light of the star is due to the combustion of sodium or any other élément wbich gives rise to vibrations of definite period, or if the light of the star is absorbed by sodium vapour so as to be déficient in vibrations of a definite period, then the light, when it reaches the earth, will hâve an excess or defect of rays whose period of vibration is to that of the sodium period as v a is to v”.
Cette opposition, j’avoue ne pas en avoir très bien saisi le sens. La conclusion de M. Maxwell me paraît être parfaitement exacte, si la théorie de Doppler est elle-même fondée.
4. Après avoir résumé le pour et le contre de cette théorie , il nous sera maintenant peut-être possible de prononcer un jugement. Pour cela , nous devons examiner de plus près les erreurs indiquées par M. Petzval.
a. Une onde prend-elle naissance en un instant indivisible?
Phil. Transact., 1868, p. 532.
xM. J. L. HOORWEG. SUR LA THEORIE DE DOPPLER.
Il n'y a personne qui à cette question ne fasse immédiatement une réponse négative, car on sait que pour la production d’une onde une vibration entière est nécessaire. Le temps dans lequel une onde se constitue est donc la durée d’une vibration. La source sonore, supposée animée d’un mouvement de translation, ne se déplace pas seulement après chaque onde, mais aussi durant la production de cette onde. L’instrument vient en contact avec de nouvelles particules du milieu, non pas après chaque vibration, considérée comme instantanée, mais à chaque phase de la vibration. Or, si l’on analyse le raisonnement de Doppler , on voit qu’il suppose aux vibrations ce caractère explosif. 11 y a donc ici réellement une erreur, qui toutefois n’a pas été commise par M. Buys-Ballot ni par M. Maxvs^ell.
Mais il est encore possible que le résultat reste le même, soit que le corps , qui émet un son de n vibrations par seconde , vibre
en un instant indivisible, puis se déplace pendant 1 de seconde,
puis vibre de nouveau instantanément, etc., — soit que chaque vibration, comme c’est en réalité le cas,, se distribue
sur - de seconde, et que par conséquent le mouvement de pron
gression s’exécute en même temps que le mouvement vibratoire. Au point de vue mécanique , rien ne s’oppose à cette possibilité , et M. Petzval lui-même a montré qu’en adoptant la seconde hypothèse, la seule conforme à la vérité, on arrive au même résultat qu’en suivant le raisonnement simple de Doppler, à la seule condition d’admettre que le milieu ne participe pas au mouvement progressif de la source sonore.
Voici comment M. Petzval présente la chose.
Lorsque des particules, situées dans un même plan ou à une très petite distance de ce plan, sont écartées de leur position de repos ou mises en mouvement de quelque autre manière, l’onde
*) Sitz.-ber. der K. Wiener Acad., t, VIII, p. 552,
M. J. L. HOORWEG. SUR LA THEORIE DE DOPPLER.
plane se partage immédiatement , à Torigine de Taccroissement de temps en au moins deux ondes différentes, qui se propagent dans Tespace, chacune avec la moitié de la quantité de mouvement , avec la même vitesse et en sens opposé. Si le déplacement primitif des particules est | = 2 / {x) , où par f {x) on doit se représenter une fonction qui ne diffère sensiblement de 0 qu’au voisinage de a? =: 0 , on a donc après le temps t
^ Z=lf {x — vi) + f {x + V t).
Si maintenant, outre l’excitation vibratoire qui a agi au moment t z=z 0 , il s’en produit encore une nouvelle au moment t-=zâ ^ dans un plan parallèle au premier et situé à une distance 6, le déplacement à la distance x de l’origine, sera devenu par suite de l’excitation postérieure:
I Mais il y a un nombre indéfini d’excitations très petites , agissant à des intervalles infiniment courts d et de nature périodique , excitations dont la source se meut à travers l’espace avec la vitesse a; le déplacement total à la distance x de l’origine sera donc:
Ç /{x — ad — V {t — d) sin kd.dd J O
rt
I f{x — ad V [t — d) sin kd.dd j J O
attendu qu’on a: b = ad.
Posant dans la première intégrale
X — ad — V {t — d)-=zuj
elle devient:
sin k
De la nature même de /{ti) il suit d’ailleurs que dans l’ex-
pression sin k
on peut omettre la terme Uj ce qui
M. J. L. HOORWEG, SUR LA THEORIE DE DOITLER.
en posant en outre
donne à Tintégrale la forme
sin
La seconde intégrale peut être trouvéé de la même manière, de sorte que la valeur de § devient:
sin
sin
expression qui marque deux mouvements ondulatoires en sens opposé, et dont les durées de vibration sont:
Lorsque o izz 0 , c’est-à-dire , lorsque la source de vibration ne se déplace pas, la durée de vibration est
d’où résulte pour les autres durées de vibration:
ce qui est tout à fait conforme au résultat du calcul de Doppler.
Ce calcul convient aussi bien pour lés vibrations transversales que pour les vibrations longitudinales.
Comme beaucoup d’auteurs, et entre autres Doppler lui-même , ont prétendu que la théorie ne saurait s’appliquer aux vibrations transversales , je donnerai encore un exemple pour ce dernier cas.
Représentons-nous une source lumineuse 0, qui excite des vibrations transversales dans l’éther ambiant*, et se déplace avec une vitesse égale à la moitié de la vitesse de la lumière; cherchons le mode de vibration d’une particule d’éther A, située par ex. à 1j = t2 longueurs d’onde du lieu initial de la source lumineuse ’O, du côté vers lequel 0 se meut. Construisons de la
M. J. L. IIOORWEG. SUR LA THÉORIE DE DOPPLER.
manière ordinaire les points de la ligne de vibration C D y où O se trouve après A?
etc. de la durée de vibration , sous Tinfluence seule du mouvement vibratoire , et indiquons ces positions par les chiffres (0), (1), (2), etc. Comptons en outre le temps à partir du moment où O occupe la position (0).
A ne commencera alors à vibrer qu’après de la durée de vibration, et se trouvera donc à ce moment dans la position (0).
La particule lumineuse 0 étant arrivée dans la position (2), cette même phase se retrouverait à l’endroit A après de durée de vibration , si 0 ne s’était pas déplacée ; mais comme , pendant ce temps, la particule lumineuse s’est avancée vers A de longueur d’onde, cette même phase (2) parvient déjà en A après If de durée de vibration.
De la même manière, après |f de durée de vibration, A ne se trouvera pas dans la position (3) , mais déjà dans la position (4) , et par conséquent, après || de durée de vibration , c’est-à-dire y\ de durée de vibration après l’ébranlement initial de A, cette particule aura accompli une vibration entière.
A vibre donc deux fois plus vite que 0, résultat entièrement conforme à la formule:
Enfin, je mentionnerai encore que M. Klinkerfuss ^), par une tout autre voie que M. Petzval , mais en partant aussi de l’équation aux différentielles partielles.
est arrivé au même résultat.
On voit donc que la réponse négative , qui doit être faite à la question posée en a, n’entraîne nullement la chute de la théorie dont nous nous occupons.
■) Gôtt. Nadir. 1868.
12 M. J. L. HOORWEG. SUR LA ÏIlÉORlE 1)E DOPPLER.
b. Une onde est*elle un individu matériel, progressant d'une façon indépendante et capable de produire des chocs?
Lorsqu'on donne à cettè question une solution affirmative, on fait songer, selon M. Petzval, à l'homme qui, un jour de grand vent, alarmait ses voisins en criant: „le blé décampe". C'est pourtant là une faute que Doppler, M. Buys Ballot et M. Maxwell ont commise tous les trois , car , bien que les deux derniers parlent toujours de vibrations, ce sont au fond les ondes qu’ils ont en vue.
Or , une onde n'est qu'une fiction , le lieu géométrique des par ticules qui ont été mises en branle pendant la durée d'une vibration. La seule chose matérielle, ce sont les particules d'air ou d’éther, et celles-ci ne changent pas de place.
Mais lorsque l’observateur se déplace, il vient successivement en rapport avec toutes les parties de l’onde, et chacune de ces particules est dans une phase difiérente. Ne serait-il pas possible que la membrane du tympan vibre alors autrement que lorsqu’elle est en repos? L'exemple suivant rendra probable, je crois, que la vibration de la membrane du tympan est dans ce cas efifçctivement différente de celle des particules avec lesquelles elle entre successivement en contact, et que par conséquent l’argument „la pluie mouille partout de même", n’est ici pas applicable.
Figurons-nous une nappe d'eau agitée d'un mouvement ondulatoire. La source des ondulations se trouve du côté A , et exécute , par exemple, 2 vibrations par seconde; il en sera de même pour toutes les particules d'eau sur la ligne d'onde A 5. Supposons en outre deux nacelles A et qui, partant des deux extrémités d’une onde , se meuvent en sens opposé , de telle façon qu'elles arrivent l'une et l’autre en C après I seconde, et que leur vitesse soit par conséquent la moitié de celle avec laquelle se propagent les ondes. Si le mouvement commence à l’instant où la particule liquide A a accompli une demi-vibration, l’état de l’eau au début , après yV seconde , de seconde , etc. , sera tel que le représente la figure ci-contre. Aux mêmes instants , les nacelles se trouveront dans les positions indiquées par Aq, A,, A^ etc. et par Bq, B B ^ etc. Si nous considérons maintenant l’ondulation imprimée à ces nacelles , nous
14 M. J. L. HOORWEG. SUR LA THEORIE DE DOPPLER.
En ce qui concerne la seconde question , on peut donc dire : ' Non J Tonde n’est pas un individu ayant un mouvement progressif propre; mais la composition du mouvement ondulatoire des particules d’air et du mouvement de translation de l’oreille produit dans la membrane du tympan un état vibratoire différent de celui des particules avec lesquelles elle vient en contact. Un examen plus ' spécial prouve que cette composition fournit le même résultat que si chaque onde s’avançait d’un mouvement propre et imprimait séparément un choc à la membrane de l’oreille.
Bien que la question h doive être résolue négativement, la théorie de Doppler ne s’en trouve donc pas atteinte.
c. Est-il possible que le milieu prenne le mouvement vibratoire de la source, sans participer en même temps au mouvement progressif?
Si cette question devait recevoir une réponse négative , la théorie que nous examinons serait irrévocablement condamnée. Chacun voit, en effet, que les formes différentes sous lesquelles cette théorie a été présentée , par Doppler, par M. Buys-Ballot et par M. Maxwell , reposent entièrement, toutes les trois, sur la possibilité en question. En outre , les démonstrations plus rigoureuses de M. Petzval et de M. Klinkerfuss ont aussi cette même hypothèse pour fondement.
A première vue, il semble étrange que le milieu prenne l’un des Wuvements plus facilement que l’autre ; mais , en y regardant de plus près, on aperçoit entre eux tant de différence, que la possibilité du fait peut bien être admise.
Ce fait devient même probable, lorsqu’on prend en considération les arguments donnés en sa faveur par M. Mach *).
Quiconque a fait attention au mouvement que le passage rapide d’un bateau détermine dans une eau tranquille, sait aussi qu’il se produit bien de l’agitation en avant de la proue et en arrière de la quille , mais que ce mouvement ne s'étend que sur un court trajet, tandis que le moindre caillou, jeté dans l’eau , y provoque des rides qui se propagent au loin.
Dans le cas où la vitesse progressive ne dépasse pas certaines limites , il est donc probable que la rupture d’équilibre du milieu
Sitz. ber. d. K. Wiener Acad., t. XLI, p. 546.
M. J. L. IIOORWEG. SUR LA THEORIE DE DOPPLER.
ne sera appréciable qu’au voisinage immédiat du corps en mouvement.
Pour ce qui concerne ensuite la lumière, les expériences de M. Fizeau ^), relatives à la vitesse de la lumière dans une eau courante , ont confirmé Fhypothèse de Fresnel , suivant laquelle les corps en mouvement emportent seulement la portion de Téther inclus qu’ils ont condensée autour de leurs molécules.
Or si, conformément à cette hypothèse, les corps n’entraînent même pas tout l’éther qu’ils renferment, il devient probable qu’ils ne chassent pas non plus devant eux l’éther qui les environne. On peut donc admettre hardiment,’ tant pour le son que pour la lumière, que le mouvement progressif apportera bien un certain trouble au voisinage immédiat de la source, mais n’exercera pas d’influence plus générale.
C’est là, du reste, un point sur lequel l’expérience doit prononcer.
Or , de pareilles expériences existent effectivement , pour ce qui regarde la lumière. Elles reposent sur la circonstance suivante. Si le mouvement de la Terre autour du Soleil se communique à l’éther ambiant, l’indice de réfraction d’une substance, pour un rayon lumineux donné, restera le même, que le rayon la traverse dans la direction de l’est à l’ouest, ou dans la direction opposée. Si au contraire l’éther ambiant ne participe pas au mouvement de la Terre, l’indice 'devra éprouver, à raison de la différence dé direction susdite , un changement , de faible valeur sans doute , mais pourtant appréciable. Pour élucider ce point, nous suivrons M. Maxwell dans les considérations qu’il a présentées à ce sujet ^).
L’indice de réfraction est déterminé par le ralentissement que subit le rayon lumineux lorsqu’il doit traverser un milieu autre que le vide. Supposons un milieu transparent , d’une épaisseur d. Soient: v la vitesse de l’éther dans l’air, v' cette même vitesse dans le milieu, V la vitesse de la lumière dans l’air, V' cette vitesse dans le corps; la vitesse absolue est alors v + V dans l’air et u' + V' dans le milieu, et le retard en temps est:
Comptes rendus, 1851.
») PM. Trans., 1868, p. 334.
M. J. L. HOORWEG. SUR LA THEORIE DE DOPPLER.
tandis que le retard en distance, par rapport à la vitesse F, sera exprimé par:
fl-l
Si maintenant Téther est réellement entraîné par la Terre , il faut , d’après Fresnel, pour la conservation de la continuité de l’éther, qu’on ait la relation
— = (fl = indice de réfraction);
on a d’ailleurs aussi, comme on sait, — z=z u.
Le second terme de l’expression ci-dessus devient alors
— 1 = 0, et le retard ne renferme plus , sauf la
quantité d (i^ — 1), que des termes en qui disparaissent.
parce que V est au moins 10000 plus grand que V.
Si au contraire l’éther ambiant ne prend aucune part au mouvement de la Terre, on a u = 0; en nommant a la vitesse du corps transparent, on a d’autre part , d’après l’hypothèse ci-dessus rappelée de Fresnel,
d' = - a, (/? un nombre variable).
Le retard sera donc alors:
P vy
expression dont le dernier terme sera très petit, sans être pourtant négligeable.
Dans l’un des deux cas, le mouvement de la Terre n’exercerait donc absolument aucune influence sur l’indice de réfraction des matières transparentes , dans l’autre il aurait une influence réelle , mais très petite.
Par la nature même des choses , les expériences sont donc très difficiles. Aussi Arago et M. Maxwell ont-ils obtenu des résultats négatifs, M. Fizeau et M. Angstrom des résultats positifs.
M. .1. L. IIOORWIîCr. SUR LA TUÉüRIE DE DOPPLER.
Les deux premiers ont déterminé la déviation qu’un rayon lumineux éprouve en traversant un prisme de verre ; d’abord dans la direction de l’est à l’ouest, ensuite dans la direction opposée. Ils n’ont ni l’un ni l’autre pu observer quelque différence, bien que M. Maxwell ait fait passer le rayon deux fois par 3 prismes de 60°, de sorte qu’une déviation de de la distance des deux coniposantes de la raie D aurait été nettement appréciable.
M. Fizeau a suivi une marche toute différente.
On sait que lorsqu’un rayon lumineux polarisé traverse obliquement une plaque de verre , le plan de polarisation , après le passage , n’est, en général, plus le même qu’avant; il a subi une certaine déviation, dont la valeur dépend:
1”. de l’inelinaison du rayon sur la plaque de verre;
2°. de l’angle que fait le plan de polarisation avec le plan d’incidence ;
3®. de l’indice de réfraction du verre.
Si donc les deux premières conditions restent les mêmes, une variation de l’indice , occasionnée par le mouvement de la Terre , aura pour conséquence une variation correspondante de la déviation du plan de polarisation.
C’est sur cette relation qu’est fondée l’expérience de M. Fizeau.
Une pile de 28 — 40 petites lames de verre se trouvait disposée dans un polariscope, qui était mobile autour d’un axe vertical, de manière à pouvoir être facilement placé dans la direction E ~ O et ensuite tourné de 180°. La déviation était mesurée alternativement dans les deux positions opposées de l’instrument , et toujours on la trouvait plus grande dans la direction de l’ouest que dans 4a direction inverse. Avec des piles de glaces différentes , M. Fizeau a fait de cette manière environ 2000 observations ; qui toutes ont donné le même résultat. On peut donc concéder, ce me semble, que le mouvement progressif ne se communique pas à l’éther.
M. Angstrom^), au moyen d’observations sur des spectres fournis
Ann. de Chim. et de Phys., 1860, p. 129.
0 Pogg. Annalen, t. CXXIII, p. 489.
Archives Néerlandaises, T. IX. - 2
M. J. L. HOORWEG. SUR LA THEORIE DE DOPPLER.
par des réseaux, a également constaté une influence du mouvement annuel de la Terre.
L’explication du fait qu’Arago et M. Maxwell n’ont obtenu aucune différence, peut être déduite de la comparaison du degré d’exactitude des méthodes suivies. On trouve qu’un prisme de 60'^, tel que ceux employés par M. Maxwell au nombre de 3, fournit, pour une variation de l’indice égale à l’unité, un changement de 1,3 dans la déflexion du rayon; tandis que chacune des 28 — 40 lames de verre employées par M. Fizeau donne , pour la même variation de l’indice, un changement de 4,7 dans l’angle du plan de polarisation.
La troisième question c peut donc être résolue affirmativement ; pour la lumière, en particulier, nous ♦avons signalé une série d’expériences qui rendent le fait, sinon absolument certain, du moins hautement probable.
5. Une objection à la théorie pourrait encore être tirée de la circonstance que les formules de M. Petzval n’indiquent pas de changement de la durée de vibration dans l’hypothèse d’un milieu entraîné par un courant.
Pour décider s’il y a là réellement matière à difficulté, nous devons examiner auquel des deux cas, distingués par nous, correspond l’hypothèse en question. On aura remarqué, en effet, que nous avons établi la théorie d’une manière toute différente , selon que c’est l’observateur qui se déplace, ou bien la source sonore. Dans le premier cas, les particules d’air vibrent comme à l’ordinaire , mais l’état de vibration de la membrane du tympan change par l’effet du mouvement ; dans le second cas , les particules d’air acquièrent véritablement une autre durée de vibration, qui est transmise sans modification à l’oreille. Si le cas du milieu entraîné par un courant rentre dans notre première catégorie, toute difficulté disparaît. Si au contraire il correspondait à la seconde , la formule de M. Petzval serait en opposition avec la théorie dopplerienne.
Or, en suivant avec attention le raisonnement de M. Petzval, rapporté ci-dessus (4,a) et relatif au déplacement de la source sonore, et cherchant quelle modification il doit subir pour le cas
M. J. L. HOORWEG. SUR LA THEORIE DE DOPPLER.
d’un milieu entraîné par un courant, on reconnaît que, dans la formule (A), la quantité b ne doit alors plus se trouver sous le signe de la fonction, mais à part, de la manière suivante,
5 = /’ — V {t — â)^ f ^oc V {t — â)^ + b ,
et, sous cette forme, b ne saurait jamais rien changer au mode de vibration.
Le cas d’un milieu entraîné par un courant correspond donc au premier des nos deux exemples. Bien que la durée de vibration des particules reste la même, la membrane du tympan vibrera, par l’éffet du mouvement de l’oreille, d’une manière différente, ce qui aura pour résultat un changement du ton ou , respectivement , de la couleur.
En résumé, je ne vois aucune raison pour ne pas adopter la théorie de Doppler , comme une conséquence nécessaire de la doctrine universellement reçue des ondulations.
6. Nous passerons maintenant en revue les tentatives qui ont été faites pour soumettre cette théorie au contrôle de l’expérience.
Ces tentavives sont assez nombreuses pour ce qui regarde le son, mais beaucoup moins en ce qui concerne la lumière.
Pour le son , nous pouvons citer les expériences de MM. Buys- Ballot, Scot-Russell , E. Mach, Beetz et Konig; pour la lumière, celles de MM. Sestini, Angstrom et Vogel.
Les expériences de M. Buys -Ballot ont été exécutées en 1845,
sur le chemin de fer d’Utrecht à Maarsen. Le trajet entre ces deux points était parcouru, alternativement dans les deux sens, par une locomotive , sur laquelle avaient pris place plusieurs musiciens , dont un sonnait de la trompette. Au bord de la voie, en trois stations différentes , étaient postés d’autres musiciens , chaque groupe comptant aussi un sonneur de trompette. Tantôt les musiciens établis sur l’accotement de la voie écoutaient le ton donné sur la locomotive, tantôt les personnes portées par le train s’appliquaient à saisir le ton émis aux stations. Les résultats sont répartis en
') Pogg. Annalen, t. LXVI, p. 321.
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7 groupes, dont chacun contient- 12 observations, savoir, 6 pour le rapprochement, 6 pour la fuite.
Il a été rèconnu, à chaque passage, que le tou arrivant était toujours plus haut, le ton partant toujours plus bas. L’intervalle était aussi, à peu de chose près, en accord avec les formules rapportées ci-dessus.
Ces expériences , faites avec le plus grand soin et avec un nombreux personnel (il y avait 14 personnes constamment occupées) , sont une confirmation sérieuse et importante de la théorie de Doppler. A ce titre, elles ont toujours été Fancre de salut à laquelle se raccrochaient les partisans de cette théorie, lorsque M. Petzval les serrait de trop près.
Au sujet des expériences de M. Russell, en Ecosse, je n’ai nulle part pu trouver des détails ; elles paraissent toutefois avoir été de la même nature que celles dont il vient d’être question.
Il a aussi été fait des expériences avec locomotives en France, mais on s’y proposait uniquement de rechercher quels sont , parmi les tons émis sur un train , ceux que le bruit des wagons étouffe le plus facilement.
Les expériences de M. Mach sont d’un autre genre.
Outre quelques observations sur l’effet perçu au passage de balles de fusil perforées , observations que lui-même regarde comme incertaines, il a fait des expériences avec un appareil de son invention , et qui figure aussi sous le nom de „ appareil de Mach” sur le catalogue de M. Konig, à Paris.
Il se compose d’une longue tige creuse, qui peut tourner rapidement autour de son milieu. Dans l’axe de rotation, qui est également creux, une soufflerie envoie de l’air, qui pénètre dans la cavité de la tige et s’écoule à l’extrémité, par uue espèce d’anche, en produisant un ton.
Si maintenant, l’appareil étant en marche, on se place à une certaine distance dans le plan de la tige tournante, on entend à chaque révolution , suivant M. Mach , 2 battements ; lorsqu’on se place sur le prolongement de l’axe, on n’entend au contraire qu’un son uniforme.
*) Sitz. ber. der Wiener Acad., t. XLI, p. 543.
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Cette expérience est facile à répéter sans appareil. On n’a qu’à prendre à la main un corps quelconque émettant un son , et à le faire tourner avec rapidité. On se convainc alors très bien qu’il ne se produit qu’une variation alternative de l’intensité du son, mais pas de battements véritables. Ceux-ci d’ailleurs ne pourraient être obtenus avec un seul corps sonore, puisque leur formation exige sans doute toujours deux tons émis simultanément.
A mon avis, l’expérience de M. Mach n’a donc aucune valeur pour la question en litige.
M. Beetz 0 s’est aussi livré à des expériences analogues , où il employait des diapasons tournants. Il a remarqué que , dans ce cas , le changement de vibration était le résultat de la différence des positions que les bras du diapason prenaient pendant la rotation , différence combinée avec la constance du plan de vibration. Il explique donc les battements, qui du reste s’entendaient aussi quand on appliquait l’oreille aux parties fixes du tour, par des considérations analogues à celles qui rendent compte de l’expérience du pendule de Foucault.
Les expériences de M. Beetz ne touchent donc en rien la théorie qui nous occupe.
Il en est de même des expériences que M. Kônig a mentionnées dans son catalogue. Il s’agit de ' deux diapasons, dont l’un (ut^) fait 512 et l’autre 508 vibrations entières, et qui donnent par conséquent 4 battements par seconde. La longueur d’onde de ces tons, dans l’air, est d’environ 65 centimètres. Si donc on tient le diapason le plus aigu tout près d’une des oreilles, et le plus grave à 65 centimètres de l’autre, et qu’on fasse alors mouvoir ce dernier en 1 seconde jusqu’à l’oreille, un des 4 battements disparaîtra. J’ai souvent répété cette expérience , mais , tout comme plus haut, sans pouvoir constater autre chose qu’un renforcement ou un affaiblissement du sou. J’ai aussi fait l’expérience avec deux diapasons à l’unisson ut.^ , successivement à la distance de 65 et de 130 centimètres. A l’une comme à l’autre de ces distances, on n’entendait alors qu’un seul battement, bien que, dans le second
’) Pogg. Annalen, t. CXXVIII, p. 490.
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cas, d’après la théorie, il aurait dû y en avoir deux. Si Ton tient un des diapasons devant T oreille , tandis qu’un aide s’éloigne avec l’autre en courant, on entend de forts battements, mais toujours en nombre précisément égal à celui des pas faits sur le sol. Le bruit de ces pas occasionne un affaiblissement momentané du son.
Dans tous les cas analogues, que j’ai variés de bien des manières, les alternatives périodiques de force et de faiblesse du son ont une influence beaucoup plus grande que la petite variation de la hauteur du ton. Comme preuve surabondante , on peut encore citer le fait que, lorsqu’on ne tient pas l’un des diapasons devant l’oreille, c’est-à-dire lorsqu’on expérimente avec un seul instrument, les battements continuent à se faire entendre tout aussi distinctement.
L’examen des différentes recbercbes expérimentales , entreprises pour résoudre la question par rapport au son, nous conduit donc à conclure que les expériences de M. Buy s Ballot sont les seules qui possèdent une valeur positive. Cette conclusion augmente sans doute l’intérêt qui s’attache à ces expériences, mais elle nous oblige aussi de les soumettre à une critique sévère et à une vérification soignée.
Cette critique, elles pourraient la soutenir avec éclat sur tous les points, si l’estimation de l’intervalle n’avait été rendue extrêmement difficile par le bruit de la locomotive , et si plusieurs des observateurs musiciens n’avaient prétendu, contrairement à la théorie , que le ton arrivant était seulement plus aigu un instant avant le passage , mais avait à une distance plus grande la même hauteur que le ton objectif.
Une confirmation du résultat obtenu paraissant ainsi très désirable, j’ai essayé, malgré les embarras et les difficultés qui entourent ces expériences, de les répéter, et cela en faisant usage de deux locomotives, qui passeraient l’une devant l’autre à toute vapeur. Grâce à l’obligeance de M. Verloop, ingénieur en chef du Chemin de fer rhénan, ces locomotives furent mises à ma disposition , mais seulement pour l’espace de trois quarts d’heure, après quoi la voie devait de nouveau rester libre pour le service.
J’eus en outre l’avantage d’obtenir le précieux concours de
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plusieurs habiles musiciens , MM. R. Hol , Haak , Witte et quelques autres, parmi lesquels deux hautbois.
Mon plan était de faire jouer le sifflet d’une des locomotives tout le long du trajet, et d’en laisser apprécier le ton aussi bien par les observateurs qui se trouvaient sur ce même train, que par ceux qui occupaient l’autre train. La comparaison ultérieure devait alors m’affranchir de la variabilité de ton du sifflet , condition nécessaire pour que cet instrument énergique pût être employé à la place de la trompette.
Dans chaque train devaient prendre place 4 personnes , un hautbois pour donner des tons de comparaison fixes, deux musiciens pour observer la différence , et une personne chargée de déterminer la vitesse du train.
Deux expériences eurent effectivement lieu d’après ce programme, au jour qui nous avait été fixé. Malheureusement, il faisait ce jour-là un vent si effroyable , que la première fois le sifflet ne fut pas entendu du tout, et la seconde fois seulement à l’instant du passage. Néanmoins, il fut reconnu avec certitude que dans ce passage le son baissait de un ton et demi, variation qui correspond parfaitement à la vitesse de 15 mètres, que les deux locomotives possédaient à ce moment.
Il nous parut , toutefois , que le peu de temps qui restait après ces deux épreuves serait mieux employé si la moitié des observateurs se plaçaient au bord de la voie, pendant qu’une seule des locomotives continuerait à marcher, en sifflant sans interruption.
Trois fois on put ainsi constater que, tandis que le sifflet ne faisait pas entendre aux observateurs du train un ton supérieur à mi^ , ceux postés sur la voie percevaient à l’approche du train un ton un peu plus élevé que le fa suivant ; il y avait donc un intervalle d’un peu plus de % ton, en accord avec la vitesse de la marche à ce moment , savoir 14 mètres. Après le passage , le ton s’abaissait au-dessous de mi^ mais d’une quantité qu’il fut impossible de déterminer exactement , à cause de la violence des rafales du vent.
Après ces trois passages, le temps convenu était écoulé, de sorte qu’il fallut cesser les expériences. Je compte toutefois les reprendre dès qu’il se présentera une occasion favorable.
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Les observations dont il vient d’être question sont peu nombreuses; néanmoins, si Ton considère que les personnes qui y ont pris part, artistes connus, avaient acquis une grande sûreté de jugement dans rappréciation des intervalles musicaux, et si Ton tient compte en outre du mode de contrôle , on ne pourra se refuser à regarder ces observations comme une confirmation réelle de celles de M. Buys-Ballot.
J’ai même trouvé confirmé un résultat qui plaide moins en faveur de la théorie, savoir, que c’est seulement à proximité que le ton arrivant possède un excès de hauteur, tandis qu’à une distance plus grande il est égal au ton objectif.
Je m’explique ce fait de la manière suivante. Dans des conditions aussi difficiles que celles ou se font ces expériences, il ne saurait être question d’estimer des intervalles plus petits qu’un demi-ton. A chaque observation on disait: ceci est le ton mi, /h, ré J mais jamais: ceci est un ton situé entre mi et/h , ni quelque chose d’analogue.
Pendant l’accroissement graduel de la vitesse, on ne percevait donc pas , les variations successives du ton, mais on remarquait seulement la différence lorsque, par l’accélération du mouvement, le ton était monté de mi à fa. Il en résultait naturellement qu’on devait entendre d’abord pendant quelque temps mi, puis brusquement fa'^ et c’est effectivement ce qui eut lieu.
Si nous considérons maintenant les expériences qui ont été faites au sujet de la théorie de Doppler dans son application à la lumière , nous devrons écarter celles de M. Sestini et de M. Angstrôm, comme n’ayant aucune valeur pour l’objet en question.
M. Sestini ^ ) a exécuté des recherches très laborieuses , et sous d’autres rapports fort utiles, concernant la couleur des étoiles, et il a cru remarquer que les étoiles violettes se trouvent en plus grand nombre dans la région du ciel vers laquelle, suivant les astronomes, se dirige notre système solaire.
Mais ce fait ne prouve rien, parce que la conclusion qu’on
*) Mem. sojjr a i colori delle stelle del caialogo di Baiîy , 1845.
