Epicycloïdes. Comme celles-ci sont sembla

H. ONNEX. NOTES CONCERNANT LA THÉORIE DES

blés aux hypocycloïdes extérieures, nous pouvons nous borner à quelques remarques générales.

Et d’abord, .la direction positive de la droite des points générateurs va, ici encore, du centre du cercle générateur vers le point de contact avec le cercle directeur , de sorte que nous considérons seulement les épicycloïdes dont les points générateurs , dans une figure analogue aux fig. 9 à 17, se trouvent au-dessous du centre du cercle générateur. Supposons maintenant, de nouveau , que sur un même cercle directeur roulent deux cercles , l’un intérieur , à rayon « > è , l’autre extérieur , à rayon a' -ma — è ; et soient p et p' les distances de deux points générateurs P et P' aux centres des cercles avec lesquels ils se meuvent ; les courbes ’cycloïdiques décrites seront alors semblables si l’on a

pp' = a a'.

Pendant que p croît de 0 , en passant par a ,

-- et ± b a

jusqu’à X, p' décroîtra de x, en passant par a\

et

, jusqu’à 0; en d’autres termes, pendant que P

cl' -j- 2 h

parcourt la distance du centre du cercle générateur intérieur jusqu’au point de contact , P', partant de l’infini , s’élève avec tant de vitesse le long de la droite des points générateurs , qu’il arrive en même temps que P au point de contact. Ensuite, c’est le contraire qui a lieu: P devance P', et disparaît à l’infini au pioment où P' atteint le centre du cercle générateur extérieur. Ici également, les épicycloïdes allongées sont donc semblables aux hypocycloïdes raccourcies^ et réciproquement.

Le diamètre du cercle des points d’inflexion et celui du cercle des sommets sont égaux à

^ et î

et se trouvent toujours au même côté du cercle directeur que le cercle générateur.

Toujours on a

c’est-à-dire , qu’on peut toujours mener du centre du cercle générateur une tangente au cercle des points d’inflexion , et que la direction positive de la droite des points générateurs coupe en général deux fois le cercle des points d’inflexion. De même que dans les hypocycloïdes extérieures , il y a donc toujours deux points générateurs qui forment au même instant un point d’inflexion.

Pour le second diamètre on a, au contraire,

suivant que

Tant que a' reste < 6 , la poire des sommets intermédiaires conserve donc la forme qu’elle présente chez les hypocycloïdes pour lesquelles on ^ a <.2h. Pour a' = à , ce sont les courbes cardioïdes qui prennent naissance ; le diamètre du cercle des sommets devient alors égal au rayon du cercle générateur. Pour a' > à , la poire des sommets reprend aussi sa forme ordinaire et primitive. Le diamètre du cercle des points d’inflexion tend vers h , et celui du cercle des sommets vers 3 h , lorsque a ’ augmente ; ils atteignent ces limites pour a' oo , point où l’on est ramené à la fig. 9.