Hypocycloïdes intérieures., dont le cercle des

H. ONNEN. NOTES CONCERNANT LA THÉORIE DES

points d’inflexion et le cercle des sommets sont plus petits que le cercle générateur. Figure 15a. Ces hypocycloïdes fournissent les mêmes formes que les hypocycloïdes intérieures dont les cercles des points d’inflexion et le cercle des sommets sont plus grands que le cercle générateur 6, car, pendant que a décroît de à 0 , h — a croît de | 6 à 6.

Représentons-nous maintenant que, sur le même cercle directeur K' (fig. 15a et 6), roulent deux cercles générateurs dont les rayons sont a a' z=z h — a; nous savons qu’alors deux points générateurs , pour engendrer des courbes semblables , comme le font les points Pq , Qq , Rq dans les deux figures, doivent satisfaire à la condition

P et p' étant les distances des points générateurs aux centres des cercles générateurs respectifs. Ainsi , pendant que p ,

partant de 0 et passant par les valeurs a , , — — ,

croît jusqu’à oo , p' décroît de oo à 0 , en passant par a' ,

g (g + h) ^ ^ — JJ résulte de là que , à partir du moment où 2 6 — a' h — a'

le rayon du cercle générateur est devenu plus petit que la moitié du rayon du cercle directeur , il n’y a plus que les hypocycloïdes allongées qui puissent avoir des points d’inflexion et des sommets intermédiaires, tandis que, jusqu’ici, ces points singuliers ne pouvaient se présenter que dans les hypocycloïdes raccourcies. C’est une suite de la circonstance que le cercle des points d’inflexion et celui des sommets ont pénétré à l’intérieur du cercle directeur. Le diamètre de chacun de ces deux cercles se rapproche de 0 , et les poires des points d’inflexion et des sommets se resserrent de plus en plus. A cet égard il faut remarquer, toutefois, qu’après le passage a \ h le diamètre du cercle des points d’inflexion est plus petit que celui du cercle des sommets; de sorte que, dans la fig. 15a, la poire des points d’inflexion tombe de nouveau en dehors de celle des sommets

ÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COURBES PLANES. 73

intermédiaires , comme dans les figures précédentes , mais à l’autre côté de la droite Cq A. Un point générateur, situé entre Pq et Qo dans la fig. 15a, rencontre d’abord la poire des points d’inflexion et ensuite la poire des sommets intermédiaires ; et , effectivement, il forme d’abord son point d’inflexion, puis son sommet intermédiaire. Tout à l’inverse , un point générateur , situé entre Pq et Qq dans la fig. 156, rencontre d’abord la poire des sommets intermédiaires et ensuite la poire des points d’inflexion. Néanmoins, ce point devra encore, comme le premier, former son point d’inflexion avant son sommet, attendu que la similitude des deux courbes l’exige. Effectivement, les choses se passent ainsi; car, après la rencontre avec la poire des points d’inflexion, le point coupe de nouveau la poire des sommets intermédiaires, et ce n’est qu’à cette seconde rencontre que se forme le sommet intermédiaire; la première n’est qu’une intersection accidentelle de la poire des sommets intermédiaires avec l’hypocycloïde.

9. - z=z • Cycloïdes, Figure 17. Pendant que a approche de ' 6 00

0 le diamètre du cercle des points d’inflexion et celui du cercle des sommets décroissent continuellement , le premier d’abord plus vite que le second, mais plus tard moins vite, de sorte qu’ils deviennent ensemble 0 , au moment où a — 0. Ceci suppose toutefois que h reste fini. Si on laisse a constant et qu’on fasse croître h indéfiniment , les mêmes diamètres tendent vers a et | a. Ces limites étant atteintes , chaque cycloïde allongée coupera d’abord la poire des sommets intermédiaires, mais sans former de sommet ; ensuite elle touchera la poire des points d’inflexion (qui est ici elle-même une cycloïde) en son point d’inflexion; après cela, les cycloïdes dont l’allongement est moindre que la moitié du rayon du cercle générateur seront les seules qui couperont une seconde fois la poire des sommets intermédiaires et qui formeront un sommet intermédiaire au point d’intersection.