PAU
G. P. W. BAEHR.
1. Le calcul des variations donne pour la variation d’une intégrale définie, quand la variable indépendante ne varie pas, la formule
ô f V d X -=z L f {Kdy-\-K'ôz-h.,)dx'
lorsque V contient x , des fonctions y , 0 , . . de cette variable indépendante et seulement leurs dérivées premières ?/', 0', on a
j^dV ddV dy dxdy'
ddV dz dxdz'
où les dérivées par rapport à x sont totales.
Dans ce qui suit on ne considère point de conditions particulières relatives aux limites, qui resteront fixes, de sorte que L = 0, et de plus on suppose que la question laisse prévoir qu’une intégrale soit ou maximum ou minimum quand sa variation est nulle. Alors , si y ^ 0 , . . . sont des fonctions indépen-
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dantes entre elles , leurs valeurs en fonctions de x , qui rendront maximum ou minimum l’intégrale proposée, seront déterminées généralement par les équations différentielles simultanées
^=0, Z'zziO,
D’après cela soit à trouver la courbe, entre deux extrémités fixes, pour laquelle l’intégrale
y, z)ds.
ds désignant l’élément de l’arc, ou, prenant x pour variable indépendante , l’intégrale
f \{x,y,z)^^dx
J dx
sera un minimum.
On aura les équations
qp -Ji
d dx
dcp d s
d y dx dx d s dx dz
(fi —
d cp d s d dx Q
dz dx dx d s ’ dx
ou, développant les seconds termes.
d(f ds
ds 1 dx 1
dx'^ dx \dx>
dy dx
ds^
dx"^
dcp ds
ds 1 dx 1
r d‘^z dz fdcp\l^
dx^ dx \dx' J
d Z dx
ds’^
dy d"^ s ^ dx dx‘^
dz d‘^ s dx dx^
où est la dérivée totale de qp, en y regardant ^ et 2; comme
\dzj
fonctions de x.
DE LA MOINDRE ACTION
Remarquant que
ds s dy d^ y
dzd'^ Z dx dx"^
dxdx^ dxdx"^ ces équations peuvent encore se réduire à
ij/
iA
dz‘^
dx^
^dx
\ dx^J \d y dxdx’ dx L\ dx
dx
dz
dx
ds‘^
r dz'^\d’^y dydzd'^z'^
L V dx"^) dx‘^ dx dx dx"^!
‘^\d^z dydzd'^yl ^
dxdxdx^J
dx^J dx"^
dx^
dcp
où maintenant — est dérivée partielle. Multipliant alors la
première par 1 + et la seconde par
dx^ dxdx
somme des
produits donne après réduction,
d y dxdx
ds^
dx^
obtient
dy) dy dz
dz dxdx
ds^ d x"^
lesquelles sont les équations différentielles de la courbe.
Lorsque celle-ci est plane , une seule suffira ; ainsi la première donne immédiatement pour la courbe dans le plan des xy^ qui engendre une aire minimum en tournant autour de l’axe des x^ si l’on y fait ^>-=. y ^
. dy“^ d‘^ y dx"^ ^ dx'^
ce qui est l’équation différentielle de la chaînette.
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Mais ces équations, où cp est une fonction quelconque ne renfermant point de dérivées, admettent une solution générale, qui semble conduire de la manière la plus naturelle au principe de . mécanique connu sous le nom de principe de la moindre action. En y considérant y z comme des fonctions d’une certaine variable indépendante ty elles deviennent
dx
dcp
dy
dcp
cp \
rdx
dt
dy
dt
dx~
"ds’^
Vdt
dp
dt
dp.
dcp
dz
dcp
Vdx
dz
dt
dt
dx~
"ds^
\dt
dt
Jt\
dt^
et , sous cette forme , l’on voit tout de suite que l’on satisfait à ces équations en posant
pourvu que
d^x dœ dp dx
dP dy
dp ^ dz^
ds
ce qui est en elîet une conséquence des trois dernières, lesquel-
, . , .. , dx dy dz J
les , multipliées respectivement par j — - , donnent en
dt dt d t
prenant la somme de ces produits
ds d"^ s dcp
dt dp ^ dt
Les équations (3) montrent que la courbe , pour laquelle généralement l’intégrale devient un minimum , est précisément la courbe qui serait décrite par un point matériel libre , sous l’action d’une
DE LA MOINDRE ACTION
force dont ^ cp^ serait la fonction des forces, et d’après (4) la fonction (p représente la vitesse de ce mouvement.
Réciproquement il suit de là le principe nommé: en effet, quand un point matériel libre est soumis à l’action d’une force motrice, dont X, Y et Z sont les composantes parallèles aux axes des coordonnées, si l’on y ajoute une force N normale à la trajectoire , les équations du mouvement seront
Ç^ = X + Ncosa, (5)
dt^ ' ’
— Z N cos Y ,
dt^
où les cosinus des angles directeurs «, et / de la force normale doivent satisfaire à la condition
dx ^ dy dz „
cos a — -i- cos P -j- cos y — = 0.
dt ‘ dt dt
En donnant à N des valeurs différentes , on peut faire décrire au point des courbes différentes entre deux extrémités fixes , parce que les valeurs de ^ et ^ en fonctions de t contiendront deux constantes arbitraires, et quand
X dx + Y dy Zdzzzzd.\p[x^y^z)^
c’est-à-dire, qu’il y ait une fonction xp des forces, en sorte que l’équation des forces vives subsiste , on aura , que N soit nul ou non, dans tous les cas pour la vitesse V la même fonction de x^ y et z^ savoir:
z=z2 xp (x ^y ^ z) const, ; donc, si l’on fait dans (3)
(p‘^ 2 xp {x ^ y ^ z) + const. ,
l’intégrale
J \/ 2 xp (x y y J z) -h const. ds, ou J v d s
deviendra, en vertu de ce qui précède, généralement minimum pour des valeurs de ^ et 2: en fonctions de t , déterminées par
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les mêmes équations , que si dans (5) on fait iV' = 0 , ce qui constitue le principe de la moindre action pour le mouvement d’un seul point.
2. Pour faire une application analytique de ce principe, soit proposé de trouver la courbe pour laquelle l’intégrale
f ’ v/y" + ds
sera minimum.
Alors on a (jp = , et les équations (3) deviennent
cPcc dP-ij à'^z ^
dont on a immédiatement les intégrales:
x=zAt-\-A^^ tj z=z B e + B ^ e~^ ^ Z Ce + C ^e~’\
où , en vertu de (4) , les constantes arbitraires sont liées par la relation
A‘^znABB' + 4 (7(7' [a)
Eliminant t , on obtient pour les équations de la courbe les chaînettes
y=z Be ^
z=Ce^ -h C^e
dans lesquelles il reste encore cinq constantes arbitraires, tandis que l’on n’aurait que quatre équations pour les déterminer , si les valeurs de i/ et àe z relatives aux limites Xq et x^ sont données. Il faut donc que l’on puisse réduire le nombre de ces constantes , et en effet , on peut écrire la première des équations précédentes sous la forme
y = V~BB,
OU , posant
DE LA MOINDRE ACTION
B' et « étant deux nouvelles constantes,
X — J' — « X — J' — ne
et de la même manière la seconde se réduit à
tandis que la relation {a) devient
de sorte qu’il n’y a en tout que cinq constantes A , B\ C\ A' + a et A' A- J que l’on pourra déterminer si les coordonnées des points extrêmes sont données. Si ces points sont dans un même plan avec l’axe des la courbe sera la courbe plane qui par révolution autour de cet axe engendre la surface minimum.
Soit à trouver la brachistochrone pour un point pesant. Prenant l’axe des 2; dans le sens de la pesanteur, l’intégrale
où Zq et 2, sont les ordonnées du point de départ et du point d’arrivée, devra être minimum. Ici l’on a
et les équations (3) deviennent:
dt‘^ ’ dt"^ ’ dp 2(2 —
dont les deux premières montrent que la courbe sera plane ; on peut donc supposer qu’elle soit située dans le plan des xz^ et
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laisser de côté la deuxième équation. Les deux autres donnent alors
dx . dz‘^ 1 ^
— z=zA, zz: ^ — —+ B,
dt dp Z — Zq
et, en vertu de (4) on aura
-hB = 0 ou B = -^ A\
donc
dt Z — Zq
et par suite
— z=\/ 1 — gp)
dx A^ (z — Zjj)
ce qui est l’équation différentielle de la cycloïde.
Pour la courbe dont le moment d’inertie par rapport à l’axe des X est un minimum on aura: (p = z^ , et elle sera déterminée par les équations
dr^
— -=:2(^2 dp V'/ -r ; 7
dont les deux dernières montrent que sa projection sur le plan des y Z sera la courbe décrite par un mobile , sous l’action d’une force centrale répulsive et proportionnelle à la troisième puissance de la distance , l’origine étant le centre de la force. La première donne
et, éliminant au moyen de celle-ci la variable t dans les deux dernières, on obtient
DE LA MOINDRE ACTION
dx^
' dx-^
pour les équations différentielles de la courbe.
3. Si les fonctions y et z sont assujetties à satisfaire à une équation
on a, au lieu des deux équations K~0 Æl' = 0, pour la condition du maximum ou minimum, l’équation
dz dy
Ainsi, quand dans l’intégrale (1) les fonctions ^ et 2; doivent satisfaire à (6), l’équation (7) sera la différence des produits de
la première (2) par et de la seconde (2) par ce qui, dz dy
ayant égard à ce que (6) donne
dF dF dy dx d y dx
dzdx
se réduit alors à:
/c?(jp dF
^dy d Z
dHjdF dx^ d Z
d'^zdF\ {dzd'^y ~dx^ dyf ^dxdx“
dx^
ou , en considérant x, y et z comme des fonctions d’une certaine variable indépendante à
ÊdF dcpdF\dx /dcpdF ^dz dzdy^dt ^dzdx
(p rld^ydF d^zdF\dx ïd'^zdF d‘^xdF\dy id'^xdF d’^ydFVl ds^ Wdt"^ d Z dt'^ dy/ dt~^\df^ dx dt^ dz^ dt~^^dt^ d y dt‘^dx/\
a. F. W. BAEHR. SUR LE PRINCIPE
L’on voit tout de suite qu’il sera satisfait à cette équation, en posant
d^x dcp
dp ^ dx
, dF
dx
d'^if dcp . dF
dp dy dy
d‘^ Z dcp . dF
dt^ dz dz
X étant une fonction inconnue, pourvu que l’on prenne
ds
ce qui s’accorde avec les trois précédentes équations , qui donnent
ds d^ s dcp
dtdP ^ dt
Ces équations sont précisément celles du mouvement d’un point matériel qui doit se mouvoir sur une surface F zi: 0 , sous Faction d’une force pour laquelle cp^ est la fonction des forces, et la fonction donnée qp est alors la vitesse de ce mouvement. Réciproquement on conclut de là , comme dans le cas du point libre , au principe de la moindre action pour le mouvement d’un mobile sur une surface dxe, c’est-à-dire: lorsqu’un point matériel, assujetti à rester sur une surface fixe , est soumis à Faction de forces pour lesquelles l’équation des forces vives à lieu , l’intégrale
Jvds , prise entre deux extrémités fixes , sera généralement moindre
pour la courbe qu’il décrit , qu’elle ne le serait pour toute autre courbe terminée aux mêmes points, et qu’il décrirait sur cette surface, si l’on ajoutait des forces normales à la trajectoire, ce qui ne change pas l’expression pour la vitesse.
Soit à trouver la brachistochrone pour un point pesant assujetti à se mouvoir sur la surface
DE LA MOINDRE ACTION
Prenant Taxe des 0 dans le sens de la pesanteur, et désignant par 0Q et , les ordonnées des points extrêmes, l’intégrale qui doit être minimum sera encore
ds
donc
(8) deviennent
dx
dP'^
dt^
dy
dp 0(0 —
éliminant X entre les deux premières, l’on obtient
dF d-x dF d^y
dv dp d zdP
Si la surface est de révolution autour de l’axe des 0, on a ■?’(*) y, z)z=x^ — (f («),
de sorte que la dernière équation donne dans ce cas
dp
J-iy=o,
dt^ ’
dont l’intégrale est
ou, éliminant
c’est-à-dire :
dx
dt
dx
= C(onst.) , dt
dy ^ ds
ds ds dt
dx dy ^ , ,
G. F. W. BAEHR. SUR LE PRINCIPE
Si dans celle-ci l’on introduit la vitesse x> du mouvement dans la courbe sous l’action de la pesanteur, on a
— \/25' (« — «„) = «>, et l’équation précédente devient
y d X — xdy zn dt ,
laquelle exprime la propriété connue de la brachistochrone , que l’aire décrite à chaque instant par la projection du rayon vecteur sur un plan horizontal est proportionnelle au cari*é de la vitesse du mobile.
4. On obtient beaucoup plus simplement les résultats précédents, si l’on introduit d’abord une nouvelle variable indépendante t.
L’intégrale (1) devient alors
et les conditions pour le maximum ou minimum sont
dx
d(f> d s' d*^ dt dx dt dt ds
dt
d(p d s d ^ dt
dy dt dt ds
dt
dz
dcp d s d ^ d t
dz dt dt ds
dt
if>)
ds^ dx^ dy‘^ dz‘^
OU
DE LA MOINDRE ACTION
A ces équations on peut joindre une relation arbitraire entre une des variables et l’indépendante ou entre z et t.
Remarquons aussi que si l’on développe leurs seconds termes,
d X d'il
et qu’ensuite on les multiplie respectivement par , ^ et
dz dt ’
la somme des produits donne l’identité
d(f> d s dt dt
Si donc on prend
d‘^ s ds"^ d cp
^ dt^ dt^ dtds
dt
ce qui met en évidence la propriété mécanique de la courbe cherchée, on obtient, développant les seconds termes de (b) et transposant, immédiatement les équations (3).
Désignant respectivement par K, /iT' , A"" les premiers membres de (6) , la partie de la variation de l’intégrale , qui reste sous le signe intégral, est
lorsqu’il n’y a pas de relation générale entre x^ y et 0, les variations 5^^;, 8 y et 8z sont indépendantes entre elles , et chaque terme séparément doit être égalé à zéro , pour les conditions du maximum ou minimum; mais quand ces fonctions doivent satisfaire à une équation
l’on doit avoir
dF ^ dF ^ , dF ^ ^
- 8x -\-—8y —8z = 0-, dx dy dz
employant alors la méthode des facteurs indéterminés, on aura pour ces conditions
G. F. W. BAEHR. SUR LE PRINCIPE
K' + X — = Q, dy
l’élimination de 1 donnera deux équations , qui avec F =r 0 , déterminent ij ^ et 2;, en fonction de t.
Ici on peut encore prendre, sans qu’il y ait contradiction,
et si l’on développe alors les seconds termes dans K' et K'\ on obtient immédiatement les équations (8).
5) Soient dans l’intégrale
où l’on donne sous le signe ^ simultanément les indices 1,2,3... aux constantes m et aux variables x^ y et z^ les variables î y \ •) ^2) • • • des fonctions de tandis que cp ne con-
tient point de dérivées, et supposons que ces fonctions doivent satisfaire à quelques équations de condition
alors leurs valeurs, en fonctions de pour lesquelles l’intégrale peut devenir un maximum ou minimum, doivent, d’après les principes du calcul des variations, désignant le radical par (t, satisfaire aux équations :
DE LA MOINDRE ACTION
dœ d dt^^.dF ^
dXj dt G dx^
dy.
d, ' dt
dy^ dt G
+ ^ X — =0, dy,
dz.
CD m, — i- „
dœ d dt ^ . dF ^
dz, dt G • dx"^
dx^ cpm^ I d dt
dcf)
dx’^ dt G
dz^
où l’on doit, sous le signe .2", donner des indices, de 1 à A;, simultanément aux facteurs indéterminés X et aux fonctions F. Si l’on développe les deuxièmes termes , et qu’on multiplie ensuite ces équations respectivement par les dérivées de^, , 2;, , X2 • • • . par rapport à la somme des produits donnera, ayant égard aux équations de condition , l’équation identique :
dcp dG
G Cf) — —
dt dt
d cp dt G
de sorte que pour déterminer les fonctions inconnues on peut prendre entre les variables x^ , y ^ ... encore une relation arbitraire qui contient t.
Si donc on pose : (]p = «i , ou
dy"^ dz"^ \ dt^ )'
on obtient, développant les deuxièmes termes et transposant. Archives Néerlandaises, T. XIV. 12
a. F. W. BAEHR. SUR LE PRINCIPE
d^x. dœ , . dF
L zz: qp + Z A
dt^ dx^ dx^
dt"^ dy ^ dy ^
dt"^ dz^ dz^
d‘^x^ dq> . dF
dt^ ^ dx^ dx^ ^
d’où inversement
„ {dxd’^x dy d‘^y dzd^z\ dœ
\dtdP dt dt'^ dtdt^J dt
ce qui s’accorde avec (d).
Ces équations sont celles du mouvement d’un système de points matériels m , à liaisons données par les fonctions F z=zO et sous l’action de forces dont iqp^ serait la fonction des forces.
Réciproquement, si dans un tel système les composantes des forces, parallèles aux axes des coordonnées, sont les dérivées d’une fonction ip (x^ ^y z^ ^ x^ . . .) seulement des coordonnées de ces points, on aura, v désignant la vitesse, l’équation des forces vives,
