FIXÉS À UN MÉCANISME À UN SEUL DEGRÉ DE LIBERTÉ
D. J. KORTEWEG.
Introduction.
1. Quand en février 1665 Chrïstiaan Huygens fut forcé de garder la chambre, par une légère indisposition de quelques jours, il put observer que deux horloges, qu'il avait récemment construites et qu'il avait installées Tune à côté de l'autre, à une distance de un à deux pieds, offraient une marche tellement concordante, que chaque fois que Tun des pendules atteignait sa plus grande élongation vers la gauche, Tautre présentait au même moment son plus grand écart vers la droite *). Et pourtant, quand les horloges étaient complètement isolées. Tune avançait par rapport à Tautre de cinq secondes par jour.
Au commencement, Huygkns attribua cette „sympathie'' des deux horloges à Tinfluence du mouvement provoqué dans Tair par le balancement des deux pendules; mais bientôt il découvrit la véritable cause,
*) „Ce qu'ayant fort admiré quelque temps"; écrit-il, J'ay enfin trouvé que „cela arrivoit par une espèce de sympathie: en sorte que faisant battre les „pendules par des coups entremeslez; j'ai trouvé que dans une demieheure de „temp8, elles se remettoient tousiours a la consonance, et la gardoient par après ^constamment, aussi longtemps que je les laissois aller. Je les ay ensuite éloig- „nées Tune de l'autre, en pendant l'une a un bout de la chambre et l'autre à «quinze pieds de là: et alors j*ay vu qu'en un jour il y avoit 5 secondes de ^différence et que par conséquent leur accord n'estoit venu auparavant, que de „quelque sympathie". Journal des Sçavans du Lundy 16 Mars 1665. Œuvres de Chrïstiaan Huygens, Tome V, p. 244.
D. J. KORTEWEG.
qui résidait dans une faible mobilité des deux chaises, sur les dos desquelles reposaient les deux bâtons auxquels les horloges étaient fixées ').
*) ^J'&y ainsi trouvé que la cause de la sympathie ne provient pas du
^mouvement de Tair mais du petit branslement, du quel estant tout a fait ^insensible je ne m'estois par apperceu alors. Vous scaurez donc que nos 2 „horologes chacune attachée a un baston de 3 pouces en quarré, et long de „4 pieds estoient appuiées sur les 2 mesmes chaises, distantes de 3 pieds. Ce „qu'estant, et les chaises estant capables du moindre mouvement, je demonstre „que nécessairement les pendules doivent arriver bientost à la consonance et „ne s'en départir après, et que les coups doivent aller en se rencontrant et non „pa8 parallèles, comme l'expérience desia Tavoit fait veoir. Estant venu a la dite ^consonance les chaises ne se meuvent plus mais empeschent seulement les horologes „de s'écarter par ce qu'aussi tost qu'ils tachent a le faire ce petit mouvement les „remet comme auparavant". Lettre à Moray du 6 mars 1665. (Euvres, T. V. p. 256. Voir aussi le Journal des Sçavans du Lundy 23 Mars 1665, Oeuvres T. V. p. 301, note (4), où Huygens révoque sa première explication pour
donner la vraie; voir aussi son ^Horologium Oscillatorium'^ où il expose ses observations et leur explication dans une des dernières pages de la „Pars prima^\
On trouve d'ailleurs dans ses manuscripts un rapport encore plus détaillé de ses observations. J'y emprunte les figures ci-jointes et l'explication suivante que Huygens crut pouvoir donner du phénomène: „Utrique „horologio pro fulcro erantsedes duaequa- „rum exiguus ac plane invisibilis motus „pendulorum agitatione exitatus sympa- „thiae praedictae causa fuit, coegitque illa „ut adversis ictibus semper consonarent.
„Unumquodque enim pendulum tune cuui „per cathetum transit maxima vi fulcra „secum trahit, unde si pendulum B sitin „W/) catheto cum A tantum est in AC, „moveatur autem B sinistram versus et A dextram versus, punctum suspen- „sioni8 A sinistram versus impellitur, unde acceleVatur vibratio penduli /l. Et „rursus B transiit ad BE quando A est in catheto /IF, unde tune dextrorsura „impellitur suspensio », ideoque retardatur vibratio penduli B. Rursus B per- „venit ad cathetum BD quando A est in AG, unde dextrorsum trahitur suf- „pensio A, ideoque acceleratur vibratio penduli .1. Rursus B est in BK^ „(luando A rediit ad cathetum At\ unde sinistrorsum trahitur suspensio B^ „ac proinde retardatur vibratio penduli B. Atque ita cum retardetur semper „vibratio penduli B, acceleretur autem .1, neresse est ut brevi adversis ictibus „consonent, hoc est ut siraul ferantur A dextrorsura et B sinistrorsum, et
Fig. la.
2. Bien que les observations de Huygens aient été publiées dans le Journal des Sçarans de 1665 et soient mentionnées en outre dans son „Horologium oscillatoriura", elles paraissent être tombées dans l'oubli, jusqu'à ce qu' en 1739 John Ellicott découvrit des phénomènes connexes '). Ellicott observa tout d'abord, que de deux horloges, n^. 1 et n°. 2 , placées de telle sorte qu'elles reposaient avec le dos contre un même barreau ^), Tune, toujours le n°. 2, prenait le mouvement de Tautre, au point que le n°. 1 finissait par s'arrêter au bout d'un certain temps, même quand le n°. 2 était d'abord au repos et que le n°. 1 marchait seul. 11 reconnut plus tard que Tinfluence réciproque était considérablement augmentée quand les parois des deux horloges étaient reliées par une tige de bois ^). En donnant aux deux pendules un mouvement aussi considérable que possible, il réussit à maintenir la marche des detix horloges, l'une prenant et cédant alternativement une partie de son mouvement à l'autre, suivant une période d'autant plus longue que les marches des deux horloges isolées étaient plus concordantes *). Et
I, contra. Neqae tanc ab ea consonantia recedere possunt quia continuo eadem „de causa eodnm rediguntnr. Et tanc qnidem absque nllo fere motn manere „falcro manifestum est, sed si tnrbari vel minimam incipiat concordia, tanc ,,minimo mota falcroram restitaitar, qai qaidem motas sensibas percipi neqait, ^ideoqae errori caasam dédisse mirandam non est.'*
Je donne cette explication poar ce qa'elle vaat. Huyoens, qai ne Ta jamais publiée, n'en aura pas, je crois, lui-même été satisfait, du moins dans la suite. Et en effet c'est le frottement seul qui peut produire que des trois oscillations possibles il n'en subsiste qu'une. Toute explication où le frottement ne joue aucun rôle doit donc être considérée comme insuffisante a priori.
*) Phil. Trans., Vol. 51, p. 126 — 128: „An Account of the Influence which „two Pendulum Clocks were observed to bave upon each other*', p. 128 — 135: „Further Observations and Experiments concerning the two Clocks above mentioned".
*) „Tbe two Clocks were in separate Cases, and. . . tbe Backs of themrested „against tbe same Rail."
*) „I put Wedges under tbe Bottoms of both tbe Cases, to prevent tbeir „bearing against the Rail; and stuck a Pièce of Wood between them, just tight „enough to support its own Weight.*'
*) „Finding them to act tbus mulually and alternately upon each other, I «set them both a going a second time, and made the Pendulums describe as „large Arches as the Cases would permit. During this Experiment, as in the «former, I sometimes found the one, and at other times the contrary Pendu- „lum to make tbe largest Vibrations. But as they had so large a Quantity of «Motion given them at first, neither of them lost so much during the period „it was acted upon by tbe other as to bave its Work stopped, but both con-
276 D. J. KORTEWEG.
il observait que dans ces circonstances elles prenaient absolument la même marche, comprise entre celles qu'elles offraient individuellement.
3. On a étudié depuis, tant par voie théorique que par voie expérimentale, divers mécanismes pouvant présenter de pareils phénomènesde sympathie; ainsi Euler ') a examiné le cas des plateaux d'une balance, dont Daniel Bernouilli^) avait observé qu'ils prenaient alternativement les oscillations Tun de Tautre; Poisson '), Savart *) et Eésal ^) ont considéré celui de deux pendules fixés aux branches horizontales d'une pièce élastique en forme de T; W. Dumas ") celui d'un pendule à secondes, portant des traverses horizontales auxquelles étaient suspendus d'autres pendules; Lucien de la Rive ') et Everett ^) celui de deux pendules
„tinned going for several Days without varying one Second from each other" . . . „Upon altering the Lengths of the Pendulums, I found tbe Period in which „tlieir Motions increased and decreased, by their mutaal Action upon each „other, was changed; and would be prolonged as the Pendulums came nearer „to an Equality, which from the Nature of the Action it was reasonable to „expect it would." Nous verrons plus tard qu'il doit y avoir probablement une inexactitude dans ces observations. L'échange continuel d'énergie et l'égalité absolue de la marche des deux horloges sont, à notre avis, des circonstances incompatibles en truelles.
') Novi conimentarii Ac. Se. Imp, Petropolitanae , T. 19, 1774, p. 325 — 339. Dans ses Dynamics of a system of rigid bodies^ Advanced part^ Çhapt, II, Art. 94, où il communique la solution exacte, Routh fait remarquer à bon droit une erreur dans la solution d'ËULER, ainsi que dans celle signée D. G. S. dans The Cambridge math, Joujm. de mai 1840, Vol. 2, p. 120— 128. D'ailleurs la manière dont Euler traite la question de l'échange d'énergie est défectueuse, puisqu'il ne fait pas ressortir la nécessité de l'égalité approchée des deux périodes, c'est à dire l'existence , dans son équation quadratique, d'une racine presque égale à la longueur des pendules simples, par lesquels il remplace les plateaux.
*) Nov, Comm, /. c. note précédente, p. 281.
') Connaissance des tems pour Vau 1833, Additions, p. 3 — 40. Etude théorique.
*) V Institut^ le section, 7o année, 1839, p. 462—464. — Expérimentalement.
*) CompU Rend. T. 76, 1873, p. 75—76; Ann, Ec, Norm. (2), II, p. 455—460. Etude théorique.
•) „Ueber Schwingungen verbundener Pendel", Feslschrifl zur drilten Sàcularfeier des Berlinischen Gymnasiums zunx grauen Kloster. Berlin, Weid- MANN'sche Bachhandlung. 1874. Etude théorique et expérimentale. Il est dit dans le travail que les recherches dataient de 1867.
') Compt Rend. T. 118, 1894, p. 401—404; 522—525; Journ. de phys.{S\ III, p. 537—565. Etude expérimentale et théorique.
") Phil. Mag. Vol. 46, 1898, p. 236—238. Etude théorique.
reliés par une corde élasticjue. Enfin Cellehier, Furtwangler et d'autres encore ont développé la théorie du mouvement de deux pendules ayant à peu près la même longueur, et attachés à un même support élastique, afin de déterminer de cette façon, par voie expérimentale, l'influence que de faibles mouvements du support exercent sur la période d'oscillation *).
On voit que les recherches plus récentes, à Texception du travail de W. Dumas, dans lequel les phénomènes de sympathie ne sont traités qu'incidemment, se rapportent toutes à des mécanismes où l'élasticité joue un certain rôle; or, il me semble que dans les observations de Huygens et d'ELLicoTT cela n'est pas le cas, ou du moins l'élasticité n'y joue qu'un rôle secondaire.
Voilà pourquoi j'ai cru qu'il ne serait pas sans intérêt de traiter la question à un autre point de vue, et d'examiner la façon dont se comporte un mécanisme d'une nature assez générale ^), jouissant d'un seul degré de liberté, et portant deux pendules composés; j'ai voulu considérer surtout le cas oïl les deux pendules ont à peu près la même durée d'oscillation.* En appliquant ces considérations aux phénomènes de sympathie entre les horloges, il fallait aussi, du reste, tenir compte de rinfluence des mécanismes moteurs.
Je ferai remarquer d'ailleurs que les résultats ainsi obtenus seront également applicables au cas où les deux pendules sont reliés par un système élastique, chaque fois que, des divers modes de mouvement qu'un pareil système peut prendre , un seul se produit pratiquement. A ce mode de mouvement correspondra alors une certaine durée d'oscillation, qui jouera dans les résultats le même rôle que si elle appartenait à un mécanisme avec un seul degré de liberté.
*) Voyes à ce sujet Encyclopàdie der mathematischen Wisscnschaften ^ Leipzig, Tenbner, Band IV, In, Heft. 1, § 7, p. 20—22.
*) La seule restriction à laquelle nous soumettons ce mécanisme, c^est que les mouvements de chacun de ses points matériels, ainsi que des point matériels des deux pendules, s'accomplissent dans des plans verticaux parallèles entr'eux; en d'autres termes, nous nous bornons à traiter le problème dans un espace à deux dimensions.
278 D. J. KORTEWEG.
Etablissement des équations fondamentales.
4. Considrroîis un mécanisme à un seul degré de liberté, qoe nous appellerons le cadre et soit, pour un point quelconque de ce mécanisme, ^ le déplacement linéaire à partir de Tétat d'équilibre du cîidre et des pendules. Soient encore Ç^"'^ la valeur maxima de cet écart (supposée la même de part et d'autre i)our de petites oscillations) pour une oscillation déterminée; si et ^2 ses valeurs pour les points de suspension 0, et Oj des pendules; M la masse du cadre; wz, et m^ celles des pendules; </, et a^ les rayons de gyration des pendules autour de leurti points de suspension; $, et $.^ les angles dont ils sont écartes de la position d'équilibre verticale; ir,,y, et x^,y^ les coordonnées horizontales et verticales des points 0, et 0^ , h la coordonnée verticale du centre de gravité du système; toutes les coordonnées verticales étant comptées en sens contraire de la pesanteur.
Nous commencerons par introduire pour le cadre une coordonnée générale convenable, et nous choisirons comme telle là grandeur «, déterminée par la relation :
Mu^
= f^'dm; (I)
rintégration s'étendant à toutes les ])arties mobiles du cadre. Cette grandeur pourrait ainsi être appelée le moyen déplacement de tous les points matériels du cadre.
Pour de petites oscillations du cadre on peut donc poser u = nu^"*\ Ç = w^^'"^, n étant une fonction du temps, la même pour tous les point^^ du cadre.
On a pour de pareilles oscillations:
d'où il suit que 4 Mri'^ représente Ténergie cinétique du cadre.
Si l\ est la distance du centre de gravité du premier pendule à son point de suspension 0, et que Cp^ est compté (tout comme (p^ d'ailleurs) de telle manière qu'une valeur positive correspond à une augmentation de la coordonnée horizontale du centre de gravité, on trouve comme énergie cinétique du premier pendule:
LES MORLOOKS SYMPATHIQUES DK HUYGEMS. 279
k ['"ivi^ + 2 M, X-, i, <p, + /«, a,2<:p, 2] =
de sorte que Fénorgie cinétique du système tout entier est donnée par
Quant à Ténergie potentielle, elle est égale à ^)'
5. Pour simplifier nous introduirons une nouvelle variable u\ déterminée par
où
représente la masse totale du système. Cette variable u est proportionnelle à M puisque, dans le cas de petites oscillations, les dérivées
TV jy
-rr- et -7^, et d'ailleurs toutes celles qui figurent dans les formules, du du
peuvent être considérées comme des constantes.
Il résulte de cette proportionnalité que
') En effet, cette énergie potentielle est égale à M{fh + rii^gy^ H-^^if/î/i — — w^ 9^1 cos<p^ — «i, (jh^ co8<p^ -\- constante. En développant par rapport aie, et remarquant qu'en vertu de Téquilibre M- — \- m. -~ + uk — -' =0, et en cboisis- ^ ^ ^ du du du
sant convenablement la constante, on arrive aisément à la formule (3). ABCHIVES NEERLANDAISES, SÉEIE U, TOME XI. 19
280 D. J. KORTEWEG.
de sorte que J M' u"^ représente Téiiergie cinétique de ce que nous appellerons le système réduit^ formé par le cadre et les masses des pendules, transportées chacune au point de suspension 0, ou Oj correspondant.
Introduisons aussi la coordonnée verticale h' du centre de gravité du système réduit, déterminé par M' h' = Mh + m^yy + ^2^2- Alors le
d'^h' premier terme de (3) se transforme en ^gM' -—^ **^» ce que Ton peut
,d'^h' encore écrire \ g M' -z—,.^ //^, en vertu de la proportionnalité mentionnée
entre les grandeurs u et u .
On a donc, pour le sysihne réduit ^ T' = i M' ti"^^ y'= ïg^^' -j-^ «'".
du ^
Si Ton établit maintenant pour ce système les équations du mouvement, et que Ton introduit ensuite la longueur /' du pendule simple synchrone avec ce système *), on obtient aisément:
Eu fiu de compte, on peut doiic remplacer les formules (2) et (8) par
I 7 ^'^t 'fi , 7 dx^ M r= yM'in-'u'^ + \m,gk, Cp,^ + im,gk,(p^\ (9)
En appliquant les équations de Lagrange et introduisant les expressions :
m' = ;/»»"> sln v/- /; Cp, = x, si?i v/- 1; (p.^ = k^ si?i v/- 1 (10) A A A
on est conduit aux équations:
*) Si le système réduit était dans un état d'équilibre indiflërent, comme cela était probablement le cas dans les expériences d'ELLicoTT, V serait infiniment grand; à un état d'équilibre instable correspondrait une valeur négative de/'. J'y reviendrai dans des notes. Dans le texte nous supposerons toujours que /' est positif, c. à d. que nous admettrons toujours un équilibre stable du système réduit.
LES HORLUOES STUPATHIQUES DE HUTGEMS. 281
M'{lf—X) «'("') + M, y^, /' '^ X, + m, /tî r ^ X, = 0 ; (11) du du
du
du
où X, et ^2 sont les élongatioiis maxiroa des pendules et A la longueur du pendule simple synchrone avec une des oscillations principales.
6. Pour simplifier encore davantage ces équations , nous introduirons en premier lieu les longueurs l^ = -j- et l^= —- des deux pendules suspendus, et eu second lieu les écarts maxima, en sens horizontal^ de leurs points de suspension :
^' du\ ^^ ^^ du\
Nous arrivons alors sans difficultés au système suivant d'équations, équivalent aux équations (11), (12) et (13), savoir:
où
On remarquera que c, et c.^ sont des coefficients numériques, dont le premier dépend uniquement du premier pendule et de son mode de suspension, le second du deuxième pendule.
Si l'on songe à la signification de u et de ^i et si Ton remarque qu'en vertu de Thypothèse d'oscillations très petites ou a p. ex. $, ^^^^ : u^**'^ = Ç, : u\ on obtient, après quelques réductions:
^ 2== ^ili! il. c 2 = ^^^ *^(17)
282 D. J. KORTEWEG.
Ces formules sont applicables à un moment quelconque de l'oscillation; Ç est récart horizontal, ^ Técart linéaire, à partir de Tétat équilibre, d'un point quelconque du cadre; les indices se rapportent aux points de suspension 0, et Oj, et les intégrations doivent être étendues au cadre tout entier.
Si nous remarquons enfin que le rapport entre un Ç et un ^ quelconques est le même que celui de leurs fluxions, nous pouvons exprimer la signification de c^^ et de c^^ en ces termes :
c,*^ est égal au rapport^ constant durant le mouvement y entre la force vive du mouvement horizontal du point de suspension Oj, ou l'on suppose concentrée la masse du premier pendule^ et V énergie cinétique totale du système réduit y multiplié par la distance du point de suspension au centre de gravité du premier pendule et divisé par la longueur de ce penduk; de même pour c^.
Discussion du cas général.
7. Passant à la discussion de Téquation (14), nous remarquons que, dans rhypothèse /, > /.^ : i^'l+cc) nég.; F[l^) pos.; F{t^) nég.; i^^(O) = /7, ^2 (1 — C\^ — (^'1^), ce qui est toujours positif en vertu de (17), oùyi', : /, QiL, :L,<1.
Il y a donc trois oscillations principales. La plus lente, que nous appellerons la principale lente, correspond à une longueur de pendule plus grande que celles des deux pendules suspendus; de la, principale moyenne la longueur de pendule est comprise entre celles des deux; pour la principale rapide elle est plus petite que celles des deux pendules ').
') Il en est ainsi du .moins quand /' est positif, et il résulte de là que, si le système réduit est stable, il doit en être de même du système primitif, avec les deux pendules suspendus. Si V est infiniment grand, c^est à dire si le système est à l'état d'équilibre indifférent, ou à peu près, la principale lente a disparu, ou plutôt est transformée en un mouvement approximativement uniforme du système tout entier; il est évident que ce mouvement serait bientôt arrêté par le frottement. Les deux autres principales subsistent alors, et leurs longueurs de pendule sont déterminées par l'équation du second degré :(/, — a)(/, — a) —
Quand l' est négatif F(0) aussi devient négatif, mais F( — oo) est positif, de sorte qu'une des longueurs de pendule est négative. Il s'ensuit que, quand le système réduit est instable, il en est de même du système primitif.
11 y a à remarquer en outre que, si /' > ^i > l-i , la longueur de pendule
qui correspond à la principale lente est plus grande que V, et que si /, >/2> / la principale lente correspond à une longueur plus petite que V .
La représentation graphique ci-contre rend ces résultats *) pour le cas l"^l^Z>h> en pratique le plus important.
; c principale rapide
pendule rapide l^
^ ^ principale moyenne
pendule lent /,
système réduit
X principale lente Fiff. 2.
8. Pour ce qui regarde maintenant le mode d'oscillation des deux pendules suspendus, nous le nommerons atifiparallèle quand les écarts maxima simultanés sont de directions opposées, comme dans les observations de HuYGENs; dans le cas contraire nous le nommerons parallèle.
On conclut aisément de (15) qu'on observera toujours les trois combinaisons possibles suivantes: le mode d'oscillation est antiparallèle pour une des trois oscillations principales, et il est parallèle pour les deux autres, mais cela de telle façon que, pour un certain écart maximum des pendules dans un sens déterminé, le cadre prend la
') L est évident que ces résultats sont parfaitement d'accord avec le théorème bien connu, — dont on peut les déduire en partie — , suivant lequel, quand on enlève an système un ou plusieurs degrés de liberté, en établissant des liaisons, les nouvelles périodes doivent être comprises entre les anciennes. Pour le faire voir on peut 1**. rendre le cadre absolument fixe, 2**. établir deux liaisons, de telle manière que, quand le cadre se déplace, les pendules sont obligés de prendre une translation en conservant leur direction verticale. On reconnaît aisément que dans ce dernier cas c'est la durée d'oscillation du système réduit qui se manifeste.
En substance on trouve ces mêmes résultats, étendus, d'une façon facile à deviner, au cas de plusieurs pendules suspendus, dans le travail de W. Dumas, cité note 6, p. 276, dont je ne pris connaissance que quand mes recherches étaient déjà terminées. Cet auteur introduit aussi la longueur du pendule simple synchrone avec le système réduit. Mais nous avons vu que chez lui le mécanisme à un seul degré de liberté, auquel sont suspendus les pendules, n'a pas été choisi d'une manière aussi générale que le nôtre.
284 D. J. KORTEWEO.
position extrême opposée pour chacune de ces deux autres oscillations principales ').
Ainsi donc, si Ç/*"^ et $2^"*^ sont de même signe, comme cela était certainement le cas pour le mécanisme employé par Huygens, et aussi pour celui d'ELLicorr, le mode d'oscillation antiparallèle, observé par Huygens, appartient à Toscillation principale moyenne.
9. Pour ce qui regarde l'application à la marche de deux horloges, reliées de la façon susdite, nous admettrons d'abord que /, et /j diffèrent considérablement et que les coefficients c^ et c^ ne sont, ni Tun ni l'autre, très petits. Dans ce cas, les valeurs de /^'(^i) ®^ -^'(^2)' ^^^ différentes de zéro, prouvent qu'aucune des longueurs principales ue coïncide à peu près avec /, ou ^2; niais il résulte alors de (15) que les oscillations du cadre sont du même ordre que celles des pendules pour tout mode d'oscillation j)ossible.
Or, il est fort possible, même dans ces conditions, quand les circonstances sont favorables, que la force motrice e^t suffisante et que Ton a fait en sorte que les frottements dans le cadre soient aussi petits que possible, qu'une fois mises en train les oscillations principales ou certaines combinaisons de ces oscillations puissent subsister, entretenues par l'action d'un des moteurs ou de tous les deux. Mais dans un pareil cas la manière dont se comporteraient les deux horloges différerait considérablement de ce que Ton a observé dans les phénomènes de sympathie, et si l'on admet, comme il est beaucoup plus probable, que les forces motrices sont incapables d'entretenir un mouvement aussi intense du cadre, mouvement qui absorberait une grande partie de l'énergie, il faut qu'au bout d'un certain temps chacune des oscillations principales ainsi que toute combinaison de ces oscillations vienne à s'arrêter.
Nous ne nous occuperons donc plus de ce cas général, et nous passons à l'examen de trois cas particuliers, plus importants dans la considération des phénomènes de sympathie, savoir: A le cas où /, et/, diffèrent assez bien et où <?, et c^ sont de petites nombres, B celui où
*) Dumas dit: ^dass, wenn... die Aufhàngepunkte der Nebenpendel tiefer „als die Drehungsaxe des Hauptpendels liegen, aile Nebenpendel von kiirzerer „als der za erziehenden [principalen] Schwingungsdauer im gleichen Sinne mit „dem Hauptpendel Schwingen miissen, aile anderen im entgegengesetzen Sinne". Cela résulte d'ailleurs immédiatement des formules (15), qui sont identiques au fond à celles de Dumas.
/, et /j sont peu différents, mais où c, et Cj ne sont pas petits; enfin le cas C où /, et l^ sont peu différents, en même temps que c, et c^ sont tous deux très petits. Dans l'examen de ces cas, nous supposerons toujours que l'^l^'^ l^ et que V diffère considérablement de /, et de /j. Après Texamen de ces trois cas, celui d'autres cas particuliers, p ex. où {?, est petit sans qu'il en soit de même de c^y supposant qu^on ait affaire à un pareil mécanisme, pourra s'effectuer sans difiBcultés *).
A, Discussion du cas où l^ et l^ diffèrent assez bien Vm7i de l"" autre ^ mais où ci et c^ sont petits. ^)
Dans ce cas F{1'), F[l^) et Fil^) sont tous trois très petits, de sorte que les trois racines de l'équation (14) sont fort rapprochées des trois valeurs /', /, et /j, ce qui fait que la représentation graphique de la fig. 2 prend maintenant l'aspect de la fig. 3 (page suivante). Il en résulte, en vertu de (15), que pour la principale rapide les oscillations du pendule rapide ont une amplitude bien plus grande que les oscillations du pendule lent ^), tandis que c'est précisément le contraire pour la principale moyenne. Pour la principale lente les oscillations des deux pendules sont ou bien du même ordre que celles du cadre, ou bien plus petites encore; ce dernier cas doit se présenter quand la troisième des causes mentionnées dans la note 2 de cette page est en jeu.
Supposons maintenant que tt', tt^ et tt^ représentent de petites oscil-
*) Au point de vue des résultats, le cas r = Gc ne se distingue des casque nous examinons ici que par le fait que la principale lente a disparu.
*) En vertu de (IG), la petitesse de chacun de ces deux coefficients peut provenir de trois causes: 1**. de la petitesse du rapport ^, : /, , une circonstance qui ne se présentera pas souvent dans des horloges, 2". de ce que les masses des pendules sont petites par rapport à celles du cadre, 3°. de ce que les pendules sont suspendus en des points, dont le mouvement horizontal est faible ea comparaison du mouvement d*autres points du cadre. Il est bien remarquable que cette différence de cause est presque sans influence sur les considérations qui vont suivre, donc sur les phénomènes qui doivent se produire.
•) Même dans le cas où dans (15) Ç,<»') est petit par rapport à ïi('"); on trouve en effet comme première approximation de /,— a, c/T/, : (/'— /J, de sorte que X, = — M'{l'—1^){H{*n)y : m^kj%(m). Le mouvement du cadre déterminé par u(^) est donc faible par rapport à celui du pendule rapide, ce qui fait que «4 est petit par i apport à x,.
D. J. KORTKWEO.
principale rapide, pendule rapide l^
principale moyenne pendule lent /,
lations, appartenant respectivement à chacun des trois types d'oscillations principales, savoir la lente, la moyenne et la rapide, possédant chacune In même quantité d'énergie totale €= T-\- V; alors chaque oscillation composée peut être représentée par oo K't-\- A", t, + K^^^j et son énergie totale est égale à {K'^ + ^i^ + ^2^) ^•
Partons mainlenant d'une oscillation composée quelconque, pour laquelle les coefficients K\ Ky et K^ ont des valeurs médiocres et comparables entr'elles; alors il est évident que le mouvement d'une des deux horloge, notamment celle à pendule rapide, dépendra presque exclusivement de la principale rapide, et le mouvement de l'autre dépendra de la principale moyenne. Il est vrai qu'il se manifestera dans les amplitudes de légères variations périodiques, provenant des deux autres principales, mais ces dernières n'exerceront pas une influence notable sur la période suivant laquelle les mécanismes moteurs agissent; il s'ensuit que Tun des moteurs entretiendra le mouvement A', t, et l'autre le mouvement K^T^y mais aucun des deux ne peut entretenir le mouvement K't. Celui-ci disparaîtra donc le premier.
Ce qui arrivera dans la suite dépendra de la puissance des moteurs et de^ frottements qui se produiront dans le mouvement du cadre. Si cette puissance est suffisante pour vaincre ces frottements, quand les pendules oscillent avec une amplitude assez grande pour que les mécanismes moteurs restent en action, il subsistera un mouvement A'jT, 4" ^2^2' po^r lequel les valeurs de AT, et K^, donc aussi leur rapport, finiront par dépendre exclusivement des puissances des moteurs et des frottements. En général un j)areil mouvement pourra être entretenu assez facilement, comme l'apprend un théorème dont je donnerai la démonstration au § 14, pour tous les cas à la fois. Ce théorème, c'est que pour des oscillations principales dont le A diffère peu de /, ou /j, quelle que soit la cause de cette faible différence, l'énergie cinétique du mouvement du cadre est petite en comparaison de celle du pen-
système réduit "fc principale lente
Fig. 3.
dule correspondant à /, ou /j. Dans le mouvement qui subsiste en fin de compte, les deux horloges possèdent donc chacune une marche propre *), mais on observe de légères variations d'amplitude périodiques, provenant d'une collaboration des deux principales subsistantes, dont les périodes diffèrent notablement quand /, et l^ sont suffisamment différents.
11. Supposons maintenant que /, et l^ , d'abord très différents, soient rendus de plus en plus concordants, p. ex. par déplacement des disques des pendules. La principale conséquence en sera, suivant Téqu. (15), que les écarts des deux pendules deviennent de plus en plus comparables entr'eux, aussi bien pour À^,;r, que pour K^tt^. Pour trouver leur mouvement en vertu de Toscillation composée A',t, + ^2^2^ ^^us aurons ainsi à composer deux oscillations dont les amplitudes sont du même ordre et dont les périodes sont peu différentes. On sait que cela conduit pour les deux pendules à des périodes alternatives de mouvement relativement fort ou faible, en d'autres termes au phénomène de réchange d'énergie de mouvement, et la période dans laquelle cet échange a lieu sera d'autant plus longue que /, et l^ diffèrent moins ^).
Mais une pareille allure des deux pendules est d'autant moins compatible avec une marche régulière des deux horloges, qu'elle devient plus prononcée par le rapprochement graduel de /, et l^. En effet, pendant la période de moindre activité d'un des pendules, il arriyera un moment où, l'activité étant devenue beaucoup plus petite que la normale, le moteur correspondant s'arrêtera. H arrive alors de deux choses Tune: ou bien Toscillation principale, entretenue en particulier parle moteur en question, est assez forte pour subsister jusqu'à une nouvelle période d'activité maxima, qui se fera attendre d'autant plus longtemps que /, et l^ diffèrent moins, ou bien elle ne Test pas. Dans le premier cas l'horloge peut continuer à marcher avec des périodes oïl elle bat et d'autres où elle ne bat pas, et ce phénomène peut évidem-
*) Pour chacune d'elles la marche est un peu plus rapide que quand elles hont installées isolément.
*) Ces phénomènes font son^i^er à ce qu'ELLicoTT constata dans ses dernières observations (voir note 4, p. 275). Pourtant l'accord n'est pas parfait, puisque dans le cas considéré ici les deux horloges conservent leur marche propre, tandis qu'ELLicoTT affirme que pendant plusieurs jours leurs marches ne variaient pas d'une seconde. Nous reviendrons donc sur ces observations en examinant le cas C,
288 D. J. KORTEWEG.
raent se présenter pour les deux liorloges à la fois *). Dans le deuxième cas, rhorloge en question finit par s'arrêter complètement; roscillation principale correspondante disparaît complètement, et son pendule ne fait plus que suivre passivement le faible mouvement qui lui revient dans Toscillation princi])ale, laquelle peut maintenant être entretenue indéfiniment par le moteur de Tautre horloge.
Tel est le phénomène qu'ELUCOTT a constaté dans ses premières observations, quand Thorloge n°.2 arrêtait régulièrement Thorloge n'^.l.
Et nous sommes conduits ainsi tout naturellement au cas C, où <r, et c^ sont petits, et /, et l^ peu différents Tun de Tautre; mais ce casa besoin d'être traité séparément, de sorte que nous y reviendrons tantôt.
B, Discussion du cas où /, et l^ so7it peu différenU sans que c, et c^ soient petits'^).
12. Avant de passer au cas C, nous traiterons ce cas plus simple, où nous rencontrerons des phénomènes du genre de ceux que Huyqkss a observés.
Nous poserons à cet effet /, = /^ 4" ^ et substituerons cette valeur dans réquation cubique (14.). Ecrivant alors ^2 + 5 pour une des racines de cette équation et traitant A et S comme de petites grandeurs, on trouve facilement pour la longueur de pendule correspondant à la principale moyenne:
on voit que cette longueur partage la différence entre /, et /j dans le rapport de c,^ à c^.
*) Cette circonstance a été observée en effet par Ellicott (1. c. pp. 132 et 133) pour les deux horloges, temporairement il est vrai, car le moteur de la première horloge finissait par cesser d'agir. Voir d'ailleurs à ce propos les observations de Daniel Bernoi:illi avec ses deux plateaux de balance, dont il a été question au § 3.
*) Si Ton a rigoureusement /, = /, = Z , l'équation (14) a évidemment une racine a = /; pour l'oscillation principale correspondante le cadre reste en repos en vertu de (15). Les deux autres racines sont fournies par l'équation du second degré (i' — a)(; — a) — (r/ + c,*) /'/ = 0. Une d'entre elles ne s'écartera donc pas fort de /, quand r, et r, sont de petites fractions. Tout ceci est d'accord avec la solution de Rolt» (1. c, note 1, p. 27G) qui se rapporte exclusivement à ce cas, et aussi avec celle d'ËULER, sauf la remarque faite dans la note citée.
Les deux autres racines satisfont approximativement à Téquation quadratique
Elles correspondent aux oscillations ])rincipales lente et rapide, dont les longueurs diffèrent donc généralement fort de /' et l^ '), de sorte qu'en vertu de (15) elles donnent lieu à des oscillations du cadre du même ordre de grandeur que celles des pendules.
Ces oscillations devront donc s'éteindre rapidement, à moins que l'on n'ait pris des précautions particulières pour diminuer le frottement du cadre, d'autant plus que ces oscillations ne sont pas entretenues par les moteurs.
La seule oscillation qui pourra donc subsister au bout d'un certain temps est la principale moyenne, dont la longueur de pendule est comprise entre /, et l^; ceci est parfaitement d'accord avec les observations de HuYGENS^), et aussi avec celles d'ELLicorr, décrites dans la note 4 de la page 275, quand on fait abstraction pour un moment de l'échange périodique d'énergie observé.
^^ principale rapide
pendule rapide /, principale moyenne pendule lent l^
système réduit
principale lente Fig. 4.
C Discussion du cas où /, et f^ différent fort peu Vun de Vautre^ et où 6*, et (?2 sont de petits 7wmbres.
13. Ce qu'il y a de caractéristique dans ce cas, c'est qu'on satisfait à l'équation quadratique (19) par une racine peu différente de l^. Il y a donc deux racines de l'équation cubique primitive qui sont voisines de
') Voir la représentation graphique de la ^g. 4.
'J Voir toutefois la note 1 de la page 292, d'après laquelle le cas observé par HuYGENS n'était probablement pas le cas traité ici, mais le cas plus compliqué C,
D. J. KOUTEWEG.
/j; l'une a déjà été trouvée tantôt et est exprimée par (18); l'autre peut aussi s'obtenir aisément par approximation et est exprimée par
5^ principale rapide, pendule rapide /,
En première approximation cette racine est indépendante de A = = /, — 1^\ quand les longueurs des pendules sont donc suffisamment rapprochées, sa différence avec J^ est petite, il est vrai, mais encore plusieurs fois plus grande que A. Cest ce que représente la fig. 5, dans laquelle on doit encore remarquer que la troisième racine, correspondant à la principale lente, diffère peu de /'.
Il est maintenant possible de faire voir que les oscillations du cadre restent petites
i principale moyenne en comparaison de celles des pendules, aussi ^ * pendule lent /. , . i • • i • i i
bien pour la principale rapide que pour la
moyenne, mais pas au même degré,
Dans plus d'un cas cela résulte déjà immédiatement des équations (15); mais nou dans celui où les pendules sont suspendus en des points du cadre dont le mouvement horizontal est exceptionnellement faible *). Dans ce cas-là nous invoquons le théorème général , dont la démonstration sera donnée au paragraphe suivant et d'où notre assertion se laisse immédiatement déduire.
Eemarquons encore que dans tout le cas C les deux pendules ont généralement des
amplitudes du même ordre de grandeur, aussi bien pour ce qui regarde
la principale lente que pour la principale moyenne.
14. Le théorème en question peut être formulé en ces termes: quand la longueur de pendule d'une oscillaiion principale se rapproche de /, ou ^2, la force vive du système réduit^ et a fortiori celle du cadre seul^ est
système réduit ^ principale lente Fiff. 5.
') C'est à dire quand la troisième des causes citées dans la note 2 de la page 285 occasionne la petitesse de c, et c,.
toujours peliU par rapport à celle du pendule correspondant à /, ou I2.
Pour le démontrer, nous comparerons dans la formule (8) les trois
dxt * * *
termes: ^ ^V^; w, ^, -7-7 u<p^ et 4 m^a^^Cp^^, Pour le rapport des deux au
dx ', ' derniers nous pouvons écrire 2 -~ u : /, $1, ou bien, en vertu de l'équation (10), 2 ^ « ^"0 : /, X, = 2$/'"^ : /, X| = 2 (A — /,) : /,. Quand A
est donc voisin de /, , le second terme est petit par rapport au troisième, qui peut ainsi être considéré dans ce cas comme représentant par approximation rénergie cinétique du premier pendule.
Nous pouvons donc écrire pour le rapport de Ténergie cinétique du système réduit à celle du pendule en question '):
= M' (w'C'"))2(/,~ A)2 : 7«,a,2(Ç^Cm))2 = (/,A)2 : tf,2/,2. (12)
Si ^, n'est pas petit, comme dans le cas J?, la proposition est par là démontrée. Dans le cas A ou substituera A = /, — S dans Téquation cubique (14), après quoi on trouvera en première approximation , c^ étant aussi petit 2)^ S = /, — A = c,2^7, : (/' — /,); ce qui démontre aussi la proposition.
Enfin, dans le cas C qui nous occupe en ce moment, il résulte de (20) pour la principale rapide: l^ — A = (<?,2 -j- c^^) V l^ : (/' — Z^)* ^^ remplaçant /, et c, par ^ et c^ dans Téquation (21), on déduit de là Texactitude de la proposition pour cette oscillation principale, donc aussi a fortiori pour la principale moyenne, au moins que c, , tout en étant petit, ne soit beaucoup plus grand que ^j, une restriction qui n'existe pas pour la principale moyenne.
15. On peut conclure de ces remarques que dans le cas C que nous traitons maintenant les oscillations principales rapide et moyenne, une fois mises en train, subsisteront toutes deux sous Tinfluence des mécanismes moteurs, si les frottements dans le cadre ne sont pas trop défavorables.
') En vertu de (10), (15) et (16), et d'après la signification de /, , a^ etfcj.
') Dans le cas oh c^ est petit sans que c, le soit, la démonstration peut être
fonmie de la même façon, bien que Texpression de ^ soit nn peu moins simple.
D. J. KORTEWEG.
Toutefois, si la différence de marche entre les deux liorloges était primitivement très faible, la principale moyenne aurait un avantage considérable sur la principale rapide, puisque pour elle le mouvement du cadre serait encore beaucoup plus faible que pour la dernière. C'est sans doute dans cette circonstance que Ton doit voir la raison pour laquelle, dans Ifô observations de Huygens aussi bien que dans les dernières observations d'BLLicoTT, Toscillation principale moyenne se manifestait exclusivement '), ou du moins remportait de beaucoup sur les autres^). Savakt au contraire put réaliser les deux principales au moyen de son ressort en forme de T, aux extrémités duquel étaient suspendus des pendules à peu près identiques ^).
Mais, outre ces deux oscillations principales, qui sont différentes tant par la durée d'oscillation que par la circonstance que le mouvement des pendules est parallèle pour Tune et antiparallèle pour l'autre, il y a encore un troisième mode de mouvement qui doit pouvoir durer indéfiniment.
16. Pour le faire voir, nous partirons encore une fois d'une oscillation composée quelconque ce = K'tt' + ^i^i + J^i'^2', à moins que le frottement dans le cadre ne soit excessivement faible, Toscillation K'x' disparaîtra rapidement. Mais si, dans le mouvement restant, K^ est beaucoup plus petit que À^,, il est clair que les mécanismes moteurs des deux horloges se régleront sur la principale moyenne, puisqu'elle est la dominante dans le mouvement des deux pendules, de sorte que les moteurs ne pourront pas contribuer à entretenir la principale A'^tt^, qui
*) Chez Huygens. Dans ses expériences les masses des deux pendules étaient certainement petites par rapport à celles du cadre, de sorte que les nombres Cl et c, étaient petits sans aucun doute et que Ton a affaire au cas C.
') Chez EixicoTT. Là doit s'être manifestée aussi la principale rapide, dn moins au commencement, ainsi qu'il résulte de Tobservation de l'échange d'énergie. Bien qu'EtLicoTT rapporte s'être servi de pendules fort lourds, il est probable que ses expériences aussi se rapportent au cas C. En ne l'admettant pas on comprendrait encore moins comment la prétendue parfaite égalité de marche de ses horloges s'accorde avec les interférences observées. L'existence de deux oscillations principales, qui en résulte, aurait été maintenue indéfiniment dans le cas B, et les deux horloges auraient conservé des marches différentes.
*) Loc. cit.^ note 3, p. 276. Chez Savakt on avait à coup sûr r</i=/,; chez lui c'est donc la principale lente qui joue le rôle qui nous attribuons ici, où l">li'> It, à la principale rapide.
devra finir par s'éteindre à son tour ; finalement il ne subsistera donc plus qu'une oscillation simple à",t,, et les deux horloges suivront la marche de la principale moyenne.
Si par contre, après la disparition de la principale lente, K^ est beaucoup plus petit que K^, ce sera la principale moyenne qui s'éteindra, et les horloges finiront par régler leur allure sur la principale rapide.
Mais, dans le cas intermédiaire où le rapport entre À", et K^ est compris entre certaines limites, il devra pouvoir se produire, dans des circonstances avantageuses, un mode de mouvement où lés deux principales sont entretenues indéfiniment, chacune d'elles régissant la marche d'une des deux horloges; en efTet, on déduit aisément des équations (15) qu'en général le rapport des amplitudes x, et k^ est différent pour les deux oscillations principales *). Dans un pareil mouvement, les valeurs de K^ et K^, donc aussi leur rapport, seront régies en fin de compte parla puissance des moteurs et les frottements qui se produisent; c.àd. que ces valeurs seront indépendantes de Tétat initial. D'ailleurs, les deux horloges offriront une marche différente^), Tun des moteurs
*) En remplaçant a par sa valeur (18), on trouve que pour la principale moyenne «x : x, = Ci~'ï,(^) : c,~*Ç,('"), tandis que la substitution de (20) fournit:
«.;..=[.+ ^^sn ':',] -\r : [^^■■" Jlf ^-] I. ^'"\
pour de très petites valeurs de A on a donc x, : x, = |^('") : 5,C"0.
*) Ces circonstances aussi s'écartent donc de ce que Ellicott a observé dans ses dernières expériences; ces expériences ne peuvent donc pas être considérées comme la réalisation du cas considéré, bien qu'elles s'accordent avec lui par les échanges d'énergie. Mais nous avons déjà vu qu'il existe, entre cet échange et l'assertion que les marches des deux horloges étaient parfaitement concordantes, une contradiction qu'on ne peut pas lever. Ces échanges ne peuvent en effet être expliqués que par une interférence et exigent donc une combinaison de deux oscillations de périodes différentes; mais pour que cet état de mouvement ait réellement une durée indéfinie, il faut que les deux oscillations soient entretenues chacune par un des moteurs des horloges, notamment par celui oh l'oscillation correspondante domine Tautre. Voir aussi la dernière note.
Je tiens pour probable que les échanges d énergie observés par Ellicott n'ont existé qu'au commencement, indiquant ainsi l'existence temporaire de la principale rapide. Les termes dans lesquels s'exprime Ellicott ne sont pas absolument en contradiction avec cette manière de voir.
294 D. J. KORTEWBG.
entreteuant la principale rapide, l'autre la moyenne. Il se produira aussi un échange périodique d'énergie.
Mais il ne sera probablement pas facile de réaliser un pareil état de mouvement, caractérisé surtout par le fait qu'une des deux horloges prend une marche bien plus rapide que si elle était installée isolément *). On devra choisir les conditions initiales de telle façon, que dès ie commencement Tune des oscillations domine dans Tune des horloges, l'autre oscillation dans la deuxième. Cela sera d'autant plus difficile que c, et 6*2 sont plus voisins, donc à mesure que les horloges diffèrent moins et que leur installation est plus symétrique. En effet, d'après ce qui a été dit dans la note 1 de la page 293, la différence du rapport, pour chacune des oscillations principales, des amplitudes x, et k^ devient alors de moins en moins grande ^).
16. Pour finir, je dirai encore comment on doit se figurer la transition du cas A au cas C. Dans le cas A, où les horloges ont une marche fort différente Tune de l'autre, le mode de mouvement normal est précisément celui qui, dans le cas C, est le plus difficilement réalisable, notamment celui où les deux horloges conservent chacune leur allure propre. Pourtant les deux autres modes de mouvement aussi sont possibles, savoir ceux où une des oscillations principales se manifeste seule; mais alors le pendule d'une des deux horloges exécute une oscillation trop faible pour mettre en mouvement le mécanisme moteur correspondant.
Si partant du cas A on se rapproche du cas C, c. à d. si Ton rend de plus en plus concordantes les marches des deux horloges, le mode de
') Il est évident que la différence avec le cas A est purement quantitative. Dans les deux cas^ les deux horloges vont plus vite qu^elles ne le feraient dans une installation indépendante; mais dans le cas C, l'accélération de Thorloge la plus rapide est beaucoup plus grande que celle de l'horloge la moins rapide (voir § l'a). Il y a là une transition graduelle et le cas d'ELLicoTT était probablement transitoire.
*) L'idée que les moteurs pourraient entretenir tour à tour Tune et Tautre principale a dû être repoussée après plus ample examen. Quand on compose de la manière graphique connue deux oscillations d'amplitudes différentes et dont la durée d'oscillation est à peu près la même, on trouve bien que le mécanisme moteur agirait alternativement un peu plus viteet un peu plus lentement que ne le voudrait la durée de l'oscillation dont l'amplitude est la plus grande, mais cela ne peut jamais s'accentuer au point que le pendule prenne la marche qui correspond à l'amplitude la plus faible, fût-ce même pour quelque temps seulement
mouvement caractérisé par une marche différente des deux horloges devient de plus en plus dilliciie à réaliser, et finalement il est peut-être impossible; daîis les deux autres modes, au contraire, le pendule de la deuxième horloge exécute alors des oscillations dont Tamplitude va en croissant, jusqu'à ce que les écarts soient suffisants pour que le moteur correspondant entre en action; de sorte que les deux horloges prennent une marche absolument concordante, appartenant soit à la principale rapide, soit à la principale moyenne, le dernier cas se réalisant le plus facilement.
REMARQUES SUR LA DYNAMIQUE DE l/ÉLECTRON,
PAR
J. D. VAN DBR WAALS Jr.
Dans la théorie des électrons on part généralement d'un système d'équations, que Ton peut écrire comme suit, quand on fait usage des unités et des notations employées par M. Lorentz, dans ses articles pour r„Encyclopadie der Mathematischen Wissenschaften'':
div b = p (Ij
rofh= ^(b + pD) (II)
roft>= — -i^ (III)
div ^ = 0 (IV)
f = t) + ^[DW. (V)
Les quatre premières équations déterminent le champ, quand le mouvement des électrons est donné; la dernière est indépendante des quatre premières et détermine le mouvement de Télectron dans un champ électromagnétique; p f est la force qui agit sur la charge électrique. Mais dans l'emploi de l'équation (V) on se heurte à des difficultés particulières. Dans la mécanique, quand un corps est donné, on suppose que sa masse est connue ; si Ton connaît en outre la force, on peut en déduire l'accélération et par conséquent aussi le mode de mouvement. Si Ton comprend dans f toutes les forces du champ, même celles produites par l'électron, il n'y a aucune difficulté, en principe, quand on attribue à Télectron une masse réelle. Mais, si Ton suppose que Télectron n'a pas de masse réelle, Téquation (V), appliquée à un pareil électron, prend la forme: force = t), sans que dans le second membre
DYNAMIQUE DK l'eLECTUON. 297
un terme en m — nous permette de déterminer l'accélération. Par At
contre, si nous ne comprenons dans f que les forces extérieures, nous
pouvons introduire, de la manière connue, une masse apparente m y et
écrire: force = yy// —. Mais cette masse apparente est inconnue, et,
(Iv
pour la déterminer, il faut que nous connaissions d'avance le mode de mouvement de Télectron; et dans ces conditions il est évident qu'il serait superflu d'appliquer Téquation (V).
Aussi, dans sa „Dynamik des Elektrons", M. Abraham ne se sert jamais de l'équation (V) pour déterminer le mouvement d'un électron. Il est vrai qu'il fait usage d'une équation qui, dans la notation de LoREN'iz et intégrée pour un espace indéfini, prendrait la forme:
mais cette équation résulte de (1) à (IV) et n'est donc pas équivalente à (V). Le parti que Ton tire de l'équation (V), c'est qu'on s'en sert
pour introduire les noms de force pour l'expression p (b -| — [^W)^ de
quantité de mouvement pour - [b()], et de masse apparente pour le
quotient de la force ainsi définie et de l'accélération. Mais il faut que le véritable problème, de savoir comment se meut, dans un champ déterminé, un électron de nature déterminée, ait été résolu d'avance, indépendamment de ces notions.
Et pourtant il est clair qu'en général les équations (I) à (IV) ne suffisent pas pour déterminer le mouvement d'un système électrique. Dans le cas où Ton admet qu'il existe encore une masse „réelle", ou matérielle, à côté de la masse électromagnétique, il est clair que l'on ne pourra rien faire sans la notion de force. Mais même dans l'hypothèse qu'il n'y ait pas de masse véritable, — et c'est uniquement de ce cas que nous nous occuperons — , la détermination du mode de mouvement exige encore un système d'équations. En effet, l'équation (II) permettrait de déduire b si Ton connaissait \> à chaque instant, et inversement t) si b était connu, mais on n'en peut tirer les deux grandeurs à la fois. Quand on suppose que le mouvement est quasi-stationnaire, on introduit
298 J. D. VAJi DEU WAALS JE.
en réalite une relation entre b et t), et par là le mode de mouvement est déterminé. Quand on n'a pas affaire à un mouvement quasi-stationnaire, on a besoin d'autres équations encore et on peut se servir alors de réquation (V), mise sous la forme:
jjj p\^-^]. li^ + rs'-i) w i '^"S= «• (v«)
Si Ton veut employer les notions de force et de masse, on peut dire: comme la masse réelle d'un électron est nulle, cet électron ne j^eut jamais être soumis à l'action d'une force. Mais on peut aussi mettre ces notions de côté, et dire tout simplement: dans un champ de forces un électron se place et se meut toujours de telle façon, qu'il soit constamment satisfait à l'équation (V^).
Il est vrai que cette équation a la forme: force = 0 , sans que le
second membre contienne le terme m -—. Si elle peut néanmoins servir
(It
à déterminer le mouvement, cela tient à ce qu'au lieu de la force même elle contient la vitesse linéaire t) et la vitesse angulaire (J; or, en général, nous pourrons disposer de ces grandeurs de telle manière qu'il soit satisfait à réquation. Dans un certain sens la dynamique de l'électron nous ramène donc à la mécanique avant Gai.ilék, suivant laquelle les forces déterminent non l'accélération, mais la vitesse. Si l'on suppose que les grandeurs b et ^ sont données partout, t> et g sont déterminés par la situation de l'éleclron, et l'on obtient ainsi , |)our déterminer le mouvement de l'électron, une étiuation différentielle du premier ordre. Mais la question se complique par le fait que b et ^ dépendent à leur tour du mouvement antérieur de Télectron; c'est cela qui fait que Téquation du mouvement de Télectron contient une intégrale, par rapport au temps, d'une fonction de t) et g, de sorte que pour déterminer le mouvement on obtient des équations intégrales, dans le genre de celles que M. SoMMERFELi) *) a em])loyées dans ses articles „Zur Elektronentheorie I, Il et \\V\ Il y a des cas où Pintégration peut s'elFectuer et Ton obtient alors une équation fonctionnelle.
Quand le mouvement est une translation rectiligne sans rotation et que l'électron présente en outre un axe de symétrie, dont la direction coïncide avec celle du mouvement, les termes de l'équation (Va) qui
') Gôtt, Nadir. 1904. pp. 99 et 363, et 1905 p. 201.
DYNAMIQUE DE l'eLKCTRON. 299
contiennent t) et 9 s'annullent creux-mêmes et il ne reste plus que
pt^dS=0,
Maintenant il n'est plus possible de satisfaire à cette équation par un choix convenable de 1> et 9; la si! nation de Télectron doit être telle que cette relation soit satisfaite. Mais, par suite de la propagation des forces du champ, cette relation ne serait ])lus vérifiée à uîi instant suivant, si l'électron restait au même endroit; il faut donc que Télectron se déplace si l'on veut que la relation précédente reste vérifiée; voilà comment il se fait que cette équation détermine aussi la vitesse, bien que cette grandeur même n'y figure pas.
Cette dernière remarque peut servir à rendre plus compréhensibles les résultats de M. Sommerpeld, relatifs à un mouvement avec une vitesse plus grande que celle de la lumière, et le but principal de ma présente communication est d'entrer dans quelques détails à ce sujet. Dans la suite je représenterai par 93 une vitesse plus grande que celle de la lumière, par t) une vitesse plus petite.
Nous reconnaissons immédiatement que M. Sommkrfeld avait tort de croire que la vitesse 95 d'un électron mobile s'abaisserait immédiatement à t), si la force motrice cessait subitement d'agir à l'instant f. En effet, si Ton se figure que b soit séparé en deux parties, le champ extérieur b, et le champ même de l'électron bj, on avait avant r instant t\
mais, comme une force motrice était nécessaire, fffp b, ^S, donc aussi fffp h.^dS ne Honi pas nuls individuellement. Dans ces conditions il n'y a aucune vitesse pour laquelle ///^p ^.^dS puisse s'annuler momentanément, de sorte qu'il n'y a pas moyen de satisfaire à Téquation (V^) quand b, devient subitement nul.
Si l'on se figure que la vitesse 9S d'un électron s'abaisse tout à coup à t>, la force extérieure nécessaire pour que cela se produise ne s'annulle pas subitement, mais elle conserve encore la même valeur pendant un moment, pour varier ensuite graduellement, conformément au nouveau mode de mouvement. La même remarque s'applique à tout changement brusque de vitesse (à condition que le mouvement soit rectiligne et que
300 J. D. VAN DER WAALS JR.
r«^ectron possède la symétrie requise). C'est ce que M. Sommkrfeld a démontré, par uu calcul complet de la force, dans le cas où la vitesse initiale est nulle. Nous reconnaissons ici encore une fois l'analogie entre la dynamique de Télectron et une mécanique où Ton n'admettrait pas d'inertie: pour produire une variation bruscjuc de vitesse, non seulement il ne faut pas que la force soit infiniment grande, mais la force active avant le changement peut même subsister sans modification aucune au moment où la variation se produit.
Il n'y a rien d'étonnant à ce que nous ne trouvions aucun mouvement possible pour un électron à vitesse 93, quand la force extérieure cesse d'agir tout à coup. Cela est tout aussi impossible d'ailleurs pour un électron se mouvant avec une vitesse D: quand cet électron a une accélération, de sorte ([u'il est soumis à une force, et que cette force est brusquement annulée, il n'est pas possible de satisfaire immédiatement à l'équation (V^/). Aussi la disparition soudaine de la force extérieure constitue-t-elle une hypothèse impossible. Même une accélération infiniment grande ne donnerait pas un mode de mouvement possible. Car la force intérieure dépend uniquement du mouvement antérieur et non de la vitesse ou de l'accélération momentanées. Le résultat obtenu par
M.SoMMEUFELD,qu'un mouvement avec - = ce n'exigerait aucune force
extérieure, n'est donc autre chose qu'une répétition en d'autres termes d'un résultat déjà trouvé précédemment, que pour un électron dont la vitesse passe brusquement (c. à d. avec une accélération infiniment grande) de t> à 95 la force est encore nulle au premier instant. Mais, si l'on part d'une vitesse uniforme 95, et qu'on la laisse devenir subitement 9^2, la force ne devient pas nulle, même pour cette accélération infiniment grande, mais elle commence par conserver la valeur qui correspond à la vitesse constante 95,.
On pourrait maintenant se demander ce qui arrive quand la force, agissant sur un électron animé d'une vitesse 95, ne s'annuUe pas immédiatement mais graduellement. M. Sommeufeld dit tout simplement que la diminution brusque de la vitesse à D, qu'il prévoit dans le cas d'une force qui cesse brusquement d'agir, fait place ici à une diminution graduelle. Mais, comme nous venons de voir que sa prévision dans le cas d'une annulation brusque de la force était inexacte, nous avons bien le droit de nous attendre à ce que cette nouvelle prévision ne soit pas non plus vérifiée. Ce doute est d'autant plus justifié que M. Sommerpkld »
DYNAMIQUE DE l'ÉLKCTRON. 30]
trouvé une valeur négative pour la masse apparente d'un électron qui se meut avec une vitesse 93; ce qui tendrait à faire croire qu'une diminution de la force doit provoquer une accélération du mouvement. Tel n'est pourtant pas le cas; on voit donc combien il est dangereux d'introduire dans le domaine de la dynamique de l'électron la notion de masse, qui lui est essentiellement étrangère.
La masse négative que M. Sommerfeld attribue à l'électron n'a pas d'autre signification que ceci, que Télectron, pour se mouvoir avec une vitesse 93,, a besoin d'une force plus grande, dans le cas où, dans le temps qui vient de s'écouler, la vitesse était en moyenne plus grande que 93| que dans le cas oh elle était plus petite. Plus était grande la vitesse dans rintervalle de temps dont Tinfluence se fait encore sentir, et plus grande doit être la force '). Mais il ne résulte pas de là que, si je fais diminuer la vitesse dans la suite, de sorte que le mouvement n'est retardé que dans la suite, cela exige une plus grande force.
Au contraire, quand la vitesse est descendue à 93^ <C93, , la vitesse a été 'plus petite que 93, dans l'intervalle actif et la force § est plus petite que §, , correspondant à la vitesse uniforme 93, . Je ferai remarquer en passant qu'inversement nous ne pouvons pas poser comme règle générale que, si la force s'abaisse graduellement à zéro, la vitesse doit aussi diminuer graduellement jusqu'à t). Il en est bien ainsi si
— est une fonction continue de l; mais si la courbe qui représente 5
comme une fonction de t présente un point anguleux, la vitesse ne varie pas en ce point d'une manière continue, mais prend brusquement une autre valeur.
Ainsi donc une diminution de vitesse va de i)air avec une diminution de la force, et invei*sement. A ce point de vue un électron à vitesse 93 se comporte donc comme un corps à masse posiflve.
Bien que je croie que dans ce qui précède la manière dont se comporte un électron est exactement esquissée en grands traits, et quoique le calcul complet du mouvement soit rendu impossible par la grande complication des formules, je désire pourtant faire voir, dans un cas bien
') Cette règle est donnée par M. Sommerkeld, bien qu'il résulte de ses calculs qu'elle n'est pas tout à fait générale. Néanmoins, dans la plupart des cas, elle donne en grands traits une idée exacte de la valeur que la force doit prendre.
302 J. D. VAN DER WAALS JR.
simple, que la force nécessaire pour obtenir un mouvement déterminé est d'accord avec ce qui vient d'être dit. Je me figure un électron qui se meut |)cndant un certain temps avec une vitesse constante 35. A rinstant / = 0 il prend soudain une accélération p. Pour rendre possible le calcul, j'admettrai que nous pouvons appliquer les formules pour un mouvement quasi-stationnaire. J'examine maintenant quelle est la force à un instant f dans le 1*^ intervalle '), donc / > r'. Le calcul n'offre rien de particulier et peut être effectué entièrement de la manière indiquée par M. Sommkkpki.d. Après avoir introduit les approximations pour un mouvement quasi-stationnaire, nous pouvons séparer partout les termes qui sont les mêmes que si la vitesse 95 restait invariable de ceux qui doivent être attribués à l'accélération. Appelons §, la force qui agirait dans le cas d'une vitesse constante, et 5j le terme supplémentaire nécessaire pour l'accélération. Nous trouvons alors:
la 2(1
4" *^^ autres intégrales encore, que Ton obtient en remplaçant partout, dans les précédentes, c par — c et .r, par w^.
Voici quelle est la signification des diverses lettres: a est le rayon de l'électron sphérique, que l'on se figure chargé d'une façon homogène avec une densité cubique; s la charge, e la vitesse de la lumière, v la valeur numérique de 93, :p la fonction
') SOMMERKKI.I), 111, p. 20H.
DYNAMTQUB DE l'É1«ECTR0N. 303
^i = {v + c)t-\- -pfi, x^ = {v—c)l+ - pfi.
Dausies expr ssions pour or, et X2 on peut d'ailleurs négliger ipf^- Sans effectuer complètement les intégrations, nous pouvons en déduire:
1°. A mesure que i se rapproche de zéro, % tend vers §,. Pour donner tout à coup une accélération on n'a donc pas besoin d'augmenter subitement la force extérieure, comme c'est le cas pour un corps à masse positive, ni de la diminuer, comme ce serait le cas si le corps avait une mnsse négative; la force j)eut rester invariable au commencement.
2°. les termes contenant la première puissance de / font défaut et
-- = 0. La courbe § = F{/) ne présente donc pas même un point
anguleux, ce qui est d'accord avec la remarque faite ci-dessus, qu'il ne se présente un point anguleux que dans le cas où la vitesse varie d'une manière discontinue.
3^. Si nous examinons le signe du terme supplémentaire dans le cas où l est très petit, nous n'avons à prendre en considération que les termes en fi. 11 y aurait aussi des termes en filog/, mais on reconnaît que leurs coefficients s'annullent. Si Ton intègre aussi loin que cela est nécessaire, on trouve:
+ Q 72 + — ^ - % :rz-A ^ ""P^^-
Comme +S ^^^ 1^^ force du champ propre de Téleclron, - - 5 ^^^ 1» force extérieure nécessaire. Nous voyons ainsi que le terme supplémentaire a le même signe que p, de sorte qu'une accélération exige une augmentation de la force extérieure, un ralentissement une diminution.
Nous voyons donc que la façon dont se comportent les électrons qui se meuvent avec une vitesse 93, bien qu'elle diffère considérablement, à plus d'un point de vue, de celle des corps soumis aux lois de la mécanique ordinaire, ne présente toutefois en aucune manière le caractère paradoxal que l'on déduirait de l'expression „masse négative"; rien ne
304 J. D. VAN DEtt WAALS JU.
nous empêche doue cVad mettre que les électrons puissent réellement se conduire de cette façon. Aussi me semble-t-il qu'il n'y a pas lieu d'admettre avec M. Wien ') une déformation de l'électron eu mouvement, de telle manière qu'une vitesse 93 soit exclue a priori, comme exigeant une quantité d'énergie infiniment grande.
Pour finir je désire faire une remarque à propos des séries que ron constate dans les spectres d'émission des éléments. Les équations du mouvement de l'électron sont des équations intégrales ou fonctionnelles, que l'on peut développer sous forme d'équations différentielles d'ordre infiniment élevé. Aussi la solution contient-elle des constantes en nombre indéfini. Si les équations sont linéaires, ces constantes représentent les amplitudes et les phases de vibrations harmoniques, de sorte que le système peut vibrer avec un nombre infiniment grand de périodes-). Il est tout naturel de voir une pareille série de périodes dans celles d'une série de raies spectrales; c'est ce qu'a fait M. Sommeufeld. Cette manière de voir présente ce grand avantage, qu'il n'est pas nécessaire d'attribuer à l'atome un degré de liberté pour chaque raie spectrale; l'atome ne posséderait plus que des degrés de liberté en nombre égal à celui des séries dans son s])eclre.
Toutefois M. Sommkufeld voudrait expliquer ces séries par des vibrations qui ne sont ])as influencées par des forces extérieures. Les périodes qu'il trouve ainsi ne correspondent pas à celles de vibrations lumineuses. Il me semble qu'on pouvait s"y attendre a priori. En effet, les vibrations lumineuses ne partent pas d'électrons isolés, mais sont caractéristiques pour des atomes ou des ions positifs et sont régies par les forces qui y retiennent l'électron. Mais ces forces ne permettent pas non plus d'expliquer les séries spectrales, sans que nous comprenions mieux qu'à présent la nature de l'électron et la façon dont ces forces
') W, WiEN, Cher Elektronen. Vortrag gehalten auf der 77 Versammlung Deutscher Naturforscher und Àrzte in Meran, p. 20.
*) Voir aussi Versl. Kon. Akad, Amst.^ mars 1900, p. 638. Je croyais alon à tort que la solution ainsi trouvée différait de celle que j'avais développée d'abord à l'aide des intégrales de Folrier.
DYNAMIQUE DE l'eLECTROX. 305
agissent. En effet, si nous introduisons dans les équations du mouvement de l'électron ce qu'on appelle la force quasi élastique, nous n'avançons guère. Pour le reconnaître, nous n'avons qu'à mettre sous forme d'équation différentielle l'équation du mouvement transitoire d'un électron, ainsi que M. Lorentz Ta fait p. ex. dans Téqu. 73, p. 190 de son article sur la théorie des électrons dans l'Encycl. der Math. Wiss. V 14. Si nous introduisons la force élastique — /x, nous pouvons représenter cette équation par
Puisque j'ai uniquement en vue Tordre de grandeur, j'ai représenté simplement les coeflBcients par A, Si Ton ne considère que cet ordre de
grandeur, le rapport de deux A'^ successifs est -~ = -,
Al c
La solution de cette équation est x = ^ce'*^, où * est une racine de
l'équation
Cette équation a deux espèces de racines: 1°. deux racines pour lesquelles les autres termes sont petits par rapport à/+ ^U^^> ^^'^^ représentent les vibrations lumineuses ordinaires; 2°. un non^bre indéfini de racines tellement grandes que l'on peut négliger y vis à vis des autres
termes. Il faut donc pour ces racines que s soit de Tordre ~ et 7^ de
Tordre — . L'existence du terme / a peu d'influence sur ces racines.
Les vibrations que nous trouvons ainsi sont donc presque indépendantes de la force quasi -élastique et pourraient donc être effectuées presque de la même façon par des électrons isolés. Nous pouvions nous
attendre à trouver des périodes de Tordre —, ce qui représente le
temps nécessaire à une force, se propageant avec la vitesse de la lumière, pour parcourir le diamètre de Télectron. Les vibrations ainsi trouvées ont donc des périodes de même ordre que les vibrations
306 J. D. VAN DEIl WAALS JR. DYNAMt^UE DK l'ÉLKCTRON.
rotatoirea, dont MM. Herglotz ') et Sommkupkld sont parvenus, dans leurs mémoires importants, à déterminer exactement les périodes.
De cette façon nous n'expliquons donc pas les séries de raies s])ectraies. Il faut cependant que les périodes des vibrations propres aient aussi une signification physique. [I se peut que nous les verrions paraître si nous parvenions à projeter le spectre du rayonnement
de lloNTGKX.
*) Heroi.otz, Gôtt, iVar/ir., 190.3.
SUR LES BACTÉRIES QUI EMPLOIENT LE MÉTHANE COMME NOURRITURE CARBONÉE ET COMME SOURCE D'ÉNERGIE
(avec planche III)
PAR
N. L. SÔHNGEN.
Le méthane est un |)roduit de décomposition de la cellulose, que la vie microbienne met continuellement en liberté dans les eaux et dans le sol. Depuis que la vie végétale est devenue possible sur notre planète, ce gaz doit s'être formé en énormes quanti t^^s, et cependant notre atmosphère n'en contient que des traces.
Comme il résiste à toutes les influences chimiques, sa disparition par voie chimique est fort peu probable.
Comme l'oxydation du méthane, avec formation d\inhydride carbonique et d'eau, est un processus par lequel une grande quantité d'énergie est mise en liberté, il était tout naturel de chercher s'il y a par hasard des organismes qui sont adaptés à cette source d'énergie.
J'ai examiné en premier lieu si des plantes vertes étaient capables de faire disparaître ce gaz à la lumière; j'ai choisi à cet effet quelques plantes aquatiques, qui me paraissaient offrir lé plus de chances de succès, parce que la formation de méthane est un processus anaérobie qui se manifeste surtout dans les eaux stagnantes.
J'ai réellement obtenu un résultat positif, notamment avec diverses espèces, telles que CallUriche stagiialis ^ Votamogeion y Modea canadefisisy Batrachlum^ IloUo^iiapalusirUy Spirogifra, Une des expériences avec Hotf'Onia palustris y exposé h. la lumière, donna p. ex. comme résultat que cette plante, placée dans un ballon rempli d'eau, renversé avec le col dans une cuvette, et où étaient introduits en outre 500 cm*^. de méthane et 500 cm', d'oxygène, avait fait disparaître tout le méthane en deux semaines, du 7 au 21 mai 1905.
N. L. SOHNGEN.
Même dans l'obscurité j'ai pu constater avec certitude une absorption de méthane.
Il est vrai que le temps qui s'écoulait avant que le processus devint sensible était fort différent dans les divei'ses expériences avec une même espèce de plante; mais une fois qu'il était mis en train, le processus s'achevait toujours avec grande rapidité. Je remarquai d'ailleurs qoe par un nettoyage soigneux des plantes le commencement de Tabsorption était considérablement retardé, alors qu'on se serait plutôt attendu
à constater une accélération, si la plante absorbait elle-même le méthane; et lorsque j'eus constaté que Tabsorption ne commençait à se produire que quand le liquide se recouvrait d'une couche mucilagineuse, il devint évident que l'oxydation n'était pas produite par la plante verte, mais par des microbes qui avaient été introduits avec elle.
Afin de pouvoir examiner le processus de plus près, j'ai construit un appareil, me permettant de suivre l'absorption tant au point de vue qualitatif que quantitatif.
Il consiste en deux ballons d'ERLENMEYER de 300 cm^ environ, pourvus, tous deux d'un bouchon en caoutchouc percé de deux ouvertures, et reliés par un tube de verre deux fois recourbé, pénétrant jusqu'au fond des deux ballons et muni au milieu d'un robinet en verre. L'un des deux ballons, celui où s'opérera la culture, porte en outre un
BACTERIES DU METHANK. 309
tube à robinet, servant à introduire le mélange des gaz; Tautre ballon porte un tube avec tampon d'ouate.
Voici maintenant comment j'ai opéré. Pour obtenir une culture accumulatrice, je remplis entièrement le premier ballon ayec le liquide de culture suivant:
Eau distillée
K'^npo*
NH*Gl
MgNH*PO*
CaSO*
et je rinfecte au moyen de terreau, ou d'eau provenant d'un égoût ou d'un canal; ce sont ces eaux qui donnent la croissance la plus rapide. Puis j'introduis par le robinet, par l'intermédiaire d'une burette à gaz, un mélange connu d'oxygène et de méthane. Ce mélange gazeux refoule le liquide vers le deuxième ballon, et quand il ne reste plus dans le premier qu'une couche liquide de 1 cm. d'épaisseur environ, je ferme le robinet de communication et enfin le robinet adducteur.
Je cultive vers 30° à 34° C. Au bout d'un certain temps, variant de 2 à 4* jours, on observe sur le liquide une peau qui gagne bientôt en épaisseur et prend alors une légère teinte nettement rosée. Sous la peau il commence alors aussi à se présenter, dans le liquide primitivement clair, un trouble sensible occasionné par les microbes qui se nourrissent des cadavres de bactéries de la pellicule. Il se développe dans le liquide et dans la pellicule un grand nombre d'amibes et de monades, sans doute aux dépens des bactérie:^ du méthane, puisqu'ils ne disposent d'aucune autre nourriture. Dans le deuxième ballon il ne se forme pas de peau sur le liquide.
Les transports dans» un liquide de même es))èce réussissent très facilement, et la peau se forme alors plus rapidement; surtout quand on emploie du terreau comme matière d'infection.
Quand on analyse le mélange gazeux au bout d'une semaine p. ex., on constate que le méthane a dis])aru en totalité ou en partie, tandis qu'il s'est form*^ une quantité considérable d'anhydride carbonique.
Quand on examine la ])ellicule bactérienne au microscope, on reconnaît qu'elle est constituée pour la ])lus grande partie par une seule espèce de bactéries, dont il est prouvé qu'il est réellement le microbe
310 N. L. SOHNGEN.
qui fait disparaître le méthane. Il se montre sous la forme de bâtonnets courts et gros, immobiles dans la peau mucilagineuse, mobiles ou immobiles dans des cultures sur plaque.
Dans les cultures les diverses bactéries sont agglutinées en une membrane par une couche de mucus.
La longueur de cette bactérie, que j'appellerai provisoirement Bac'dlm nie l h an le as ^ est de 4 à 5 /x, son épaissseur 2 à 3 ^c^.
Il n'est pas certain que cette es|)èce n'ait pas encore été découverte et décrite dans d'autres conditions de culture, sans que sa propriété de se nourrir avec du méthane ait été remarquée.
Des recherches plus détaillées devront apprendre s'il n'y a qu'une seule bactérie du métimne, ou s'il y en a plusieurs qui possèdent le même pouvoir de décomposer ce gaz ').
Le moyen le plus rapide d'obtenir une culture pure de la bactérie du méthane, c'est de cultiver sur de Tagar préalablement lavé, et contenant les sels inorganiques nécessaires, à une température de 30° C. environ et dans une atmosphère formée de méthane pour un tiers et d'air pour les deux tiers; on en remplit un exsiccateur dans lequel on dispose les plaques pour la culture.
En étendant sur ce terrain une jeune pellicule du liquide de culture, on obtient déjà au bout de deux jours des colonies pures, présentant un léger trouble; ces coloides sont tellement grandes qu'on les reconnaît immédiatement à Toeil nu, au bout de (juelques temps elles s'entourent d'un mucus épais et prennent une teinte rose clair.
Quand on inocule assez tôt une de ces colonies dans l'appareil décrit tantôt, on obtient au bout de quckpies jours une nouv.elle i>eau de bactéries. •
Comme le méthane est la seule source de carbone ajoutée à la culture, il doit servir à la fois comme nourriture et comme source d'énergie.
La quantité d'anhydride carbonique contenu dans le ballon de culture permet de déterminer la quantité de méthane qui a servi comme source d'énergie.
La quantité de méthane employée comme source de carbone dans la formation du corps des bactéries peut être déterminée en retranchant
') M. H. Kaserer {ZeilHckr, f. d. landwirtsch. Versuchsivesen in Oesterreich^ 8, 789, 1905) mentionne l'existence de bactéries pouvant se nourrir de méthane, mais ne donne aucun détail.
BACTÉRIES DU METHANE. 311
le volume d'anhydride carbonique formé, exprimé en cm.^, du volume de méthane disparu.
Dans une de mes expériences j'ai trouvé, après deux semaines de culture et après avoir additionné successivement à 120 cm.' du liquide de culture 225 cm.' CH^ et 820,7 cm.' 0-:
78 cm.' (702 plus de méthane 172 cm.' 02.
Le liquide de culture contenait en dissolution 21 cm.' d'anhydride carbonique, de sorte que 126 cm.' de méthane avaient servi à former les corps des bactéries et 78 + 21 cm.' 077* avaient été consommés pour la respiration, par laquelle 148,7 cm.' d'oxygène avaient aussi été absorbés.
Une deuxième expérience donna comme résultat, après addition successive de 200 cm.' CH^ et 331 cm.' 0^ à 108,5 cm.' de liquide, au bout de deux semaines:
72,8 cm/ CO^ 39 cm.' CH^ 138 cm.' 02,
tandis que le liquide contenait en dissolution 18 cm.' d'anhydride carbonique. Ici 70,2 cm.' 077^ avaient donc servi à la construction des corps des bactéries, tandis que 90,8 cm.' de 077* avaient été transformés en 002.
J'ai fait en outre deux expériences d'oxydation avec du permanganate de potasse et acide sulfurique, afin de démontrer qu'il s'était accumulé une grande quantité de matière organique dans le liquide de culture.
Ainsi p. ex. 100 cm', du liquide de culture précédent décomposaient:
avant la culture 0 cm'. — norm. KMNO*; après „ 48,3 „ „ „
Une deuxième épreuve a donné:
avant la culture 0 cm.' - norm. KMNO*;
après „ 26,5
312 N. L. SOHNGEN. BACTËBIES DU METHANE.
Quoique grossière cette détermination donne néanmoins un résultat convaincant.
On voit par ce qui précède que le méthane est le point de départ d'une flore microbienne relativement riche. Ainsi que je Tai dit plus haut, on observe bientôt des amibes et des monades, qui vivent aux dépens des bactéries nourries par le méthane.
Par là le méthane a sans aucun doute une certaine importance pour la pêche, car cette flore microbienne constitue à coup sûr une partie de la nourriture des poissons.
Belfly Laboratoire de Microbiologie de TUniversité technique.
LES CHROMATES ALCALINS
F. A. H. SCHREINEMAKEBS.
