I. — Examen des séries d'Archytas

II. — Comparaison des petits intervalles de la musique antique avec ceux de la musique moderne.

Archytas se propose d'établir trois séries de rapports superpartiels correspondant aux trois gammes enharmonique, chromatique et diatonique. Les rapports déjà connus (1) sont ceux de l'octave (j), delà quinte (|),dela quarte (3) et du ton disjonctif Q ; ils devront se retrouver dans les trois gammes.

La question se réduit donc à décomposer le rapport de la quarte (|) en un produit de trois rapports tels que l'on ait :

X, y et z étant des nombres entiers positifs. On devra de plus obtenir trois solutions distinctes.

Si Ton fait x = y = 8, on obtient la gamme diatonique

(1) Dans tout ce qui va suivre, je donne aux rapports leur forme moderne ; on sait que les anciens mesuraient les longueurs des cordes et non le nombre des vibrations : leurs rapports étaient donc l'inverse des nôtres. Mais tous les raisonnements restent les mêmes.

de Philolaos et de Platon [\) ; mais alors le troisième rapport ne répond plus à la condition posée, puisque l'on a :

Cette solution doit donc être rejetée. Archytas en propose d'autres. Pour savoir le crédit qu'il convient d'accorder à ses évaluations, il faut déterminer le nombre des solutions entre lesquelles il pouvait choisir et les valeurs de ces solutions. Si, par exemple, Archytas fait, dans sa gamme enharmonique, y = 35, z = 27, les rapports r^, §7 représenteront les intervalles de cette gamme avec un degré d'approximation bien différent, selon que d'autres rapports très voisins, tels que 99 ou i|, donnaient aussi une solution juste, ou qu'il fallait, pour retrouver des rapports satisfaisant à l'énoncé du problème, remonter jusqu a n ou ro-

Le problème, tel qu'il est posé plus haut, est un problème doublement indéterminé du 3^ degré : on ne peut le résoudre que par tâtonnements, non par une méthode générale. Il sera abaissé au 2*^ degré, si l'on pose, en outre, la condition que les produits de deux rapports consécutifs soient eux-mêmes des rapports superpartiels. En effet, les intervalles entre deux notes non consécutives sont aussi des intervalles musicaux, et l'on ne voit pas pourquoi ils échapperaient au postulat pythagoricien.

Soient donc :

yjrj.. --+! L+i

U et V étant des nombres entiers positifs. Pour plus de

(i) C'est le diatonique ditonié de Ptoléraée.

simplicité, remplaçons en outre le rapport particulier | par le rapport ** ^ ', où. a est également un nombre entier positif.

On a :

Ces deux équations se résolvent de la manière suivante : ^-^ étant une fraction irréductible, on doit avoir nécessairement :

n étant un nombre entier positif.

On tire de (3) :

et, par comparaison avec (4) :

u + z + \ ^= n D'où :

u z z= {ii-\-z-\-\)a=au-\-az -\- a

La valeur de u sera entière si :; — a divise exactement a [a ^r 1). Posons a [a ^- 1) = pp\ p et ;j' étant des nombres entiers positifs, on aura :

On voit que chaque valeur de z sera égale à une des valeurs de z. Si l'on veut, comme Archytas, que z soit

toujours plus grand que ti (1), le nombre des solutions sera donc égal à la moitié du nombre des diviseurs de a [a + 1). Dans le cas de « = 3, il y aura 3 solutions :

3 ti ^^ 7

On a de même :

Mais le rapport ^' "y ' devra lui-même être décomposé en un produit de deux rapports superpartiels :

donc, en posant, comme précédemment :

V = /r' on aura :

D'où :

jo'" -H ?•' = jo'

Seront donc seules acceptables les valeurs de v telles que l'un au moins des diviseurs de v [v +1), ajouté à l'un des diviseurs de a (« + 1), donne une somme égale à un autre diviseur de « (a -{- 1).

(1) C'est-à-dire si l'on veut que le plus petit des intervalles soit toujours à la même extrémité du tétracorde.

En appliquant celte méthode de décomposition au rapport |, c'est-à-dire en faisant, dans les équations précédentes, « = 3, on trouvera les six solutions suivantes, qui sont les seules possibles :

iJ 3 7 '^ 20 "^ 9

Les solutions D, E, F, doivent être rejetées^ parce qu'elles obligent à insérer entre deux grands intervalles un intervalle inférieur à un demi-ton naturel \^) ; or, les tableaux d'Archytas montrent qu'il s'attache à grouper d'un même côté du tétracorde les deux grands ou les deux petits intervalles, conformément à la règle de la gamme dorienne. En revanche, les solutions B et G donnent deux nuances acceptables du genre chromatique, la premièi-e répondant à un tétracorde la sol 7 fa mi^ avec le soh un peu exhaussé, et la seconde, très exactement, au tétracorde la fa ; fa mi (1), Quant à la solution A, elle représente le diatonique naturel, qui sert de base aux calculs de l'acoustique moderne, et que Ptolémée appelle le diatonique élevé, la nuance exacte (2). Mais Archytas n'adopte aucune de ces trois solutions, et renonce, par

(1) C'est cette seconde solution qu'adoptera Didyme (1" siècle).

(2) Ce mot ne s'applique sans doute, dans sa pensée, qu'à l'exactitude des relations mathématiques entre les rapports et non à la justesse des intervalles.

conséquent, à exiger que le produit de deux rapports consécutifs soit un rapport superpartiel.

Cette abstention a bien son motif: aucune des six solutions que nous venons d'examiner ne convient au genre enharmonique, môme approximativement : il est impossible d'assigner aux deux plus petits intervalles des rapports inférieurs à y^, de telle manière que le produit de l'un de ces rapports par le rapport correspondant au plus grand intervalle soit réductible à la forme superpartielle. Or Archylas tient à dresser le tableau de la gamme enharmonique, puisque cette gamme est considérée par la théorie musicale contemporaine comme la gamme normale, dont les autres dérivent par l'altération de ses intervalles. La doctrine pythagoricienne est jugée, si elle ne réussit pas à calculer les rapports qui mesurent les intervalles de cette gamme.

Il faut donc modifier un peu les conditions que nous nous étions posées : admettons que l'un des produits de rapports consécutifs n'ait pas la forme superpartielle. Posons par exemple :

a étant un nombre entier positif quelconque. On a par suite :

On arrive, par un raisonnement pareil à celui que nous avons employé précédemment, à l'équation suivante :

Et, en posant aa (« + 1) = ss' on obtient

(11) u = aoL + s

s et 5' étant des nombres entiers et positifs. Mais on a d'autre part (10) :

Donc :

en vertu de (8).

Faisons maintenant « ^ 3, a = 2, c'est-à-dire considérons le rapport *, et donnons au rapport ^^-^ la forme qui se rapproche le plus de la forme supcrpartielle : '^-i^. Pouvons-nous, dans ces conditions, établir une série de rapports qui correspondent aux intervalles du genre enharmonique ? Il suffît de considérer le cas où. v = 15, car, dans les autres cas, le dernier rapport ne peut être divisé qu'en deux demi-tons approximatifs et non en deux quarts de ton.

On a alors :

aa {a + \) = 2i

Il faut essayer successivement les diviseurs dev {v + 1 ), c'est-à-dire de 15 X 16 ; en les ajoutant à 12. on doit obtenir un diviseur de 24 ; il faut en outre éliminer les nombres qui donnent à u une valeur paire ; car alors — „—

se réduit à un rapport superpartiel. Le seul diviseur qui convienne est 12. On a alors :

D'où :

La solution sera :

Cette solution, la seule possible dans les conditions posées, est en effet celle que donne Archytas. Il ne pouvait assigner d'autres rapports au genre enharmonique sans s'écarter encore davantage du postulat pythagoricien, c'est-à-dire sans faire a = 3, ou accorder aussi au produit ^--Y~^- "7^' la forme superparticulière (1). On voit donc que les considérations mathématiques ont dû jouer un rôle prépondérant dans le choix de ces rapports, et que les valeurs ^^ -^ peuvent fort bien répondre de fort loin à la valeur réelle des intervalles qu'il s'agissait de traduire en chiffres.

(1) En effet, si l'on pose seulement ^ "j" . ' . = ^^~v~^' ^^

a; + l!/+l u+l , . ^ Il + l : + l a+ l ,

^ . ■'—- — = j; , on a nécessairement — ;^. . = — ^T'^ ^*' l'on n'a le choix, pour::, qu'entre les valeurs 7, 9 et 15, dont aucune ne convient au genre enharmonique.

362 ARISTOXÈNE Bli TARENTE

Une fois en possession de ce rapport 27, Archytas va l'imposer au dernier intervalle des genres diatonique et chromatique. Nous avons vu, en effet, que la notation représentait cet intervalle par les mêmes signes dans les trois genres ; sans doute il y avait, dans la pratique, de légères différences, mais elles étaient considérées comme accidentelles et laissées au gré du musicien. Archytas n'a pas cru devoir s'arrêter à ces détails, qui pour lui n'étaient que des irrégularités, peut-être des fautes : il a cru que les trois gammes devaient se terminer normalement par le même intervalle.

On doit donc avoir, pour les trois genres, s = 27, î/ = 7, a = 2, c'est-à-dire :

Et c'est le rapport f qu'il faut décomposer de trois manières différentes en un produit de deux rapports superpartiels. Malheureusement, cette décomposition n'est possible que de deux manières (1) :

p. 9 îi V' ^

tr 7 — 4 ^ 35

H I = » X ? (ou ? X ?)

La solution G a été adoptée pour l'enharmonique. Reste la solution H, qui, sous ses deux formes, convient au genre diatonique. La première a l'avantage de rendre superpartiel le produit ^-y^- ^-^ :

(1) La démonstration repose sur les mêmes principes que tes précédentes, mais est beaucoup plus laborieuse.

Archytas adopte cependant la seconde qui donne, pour ce dernier produit, le rapport assez compliqué ^. Au lieu d'un diatonique amolli, avec le sol surbaissé, il nous donne ainsi le diatonique tonié de Ptolémée avec le sol normal et le fa surbaissé.

Sans doute cette forme était la plus usitée de son temps et dans son pays ; elle n'est point contraire au principe de l'attraction de la finale, que nous avons établi au cours de ce travail. En effet, cette attraction, qui décroît avec la distance, peut cesser de se faire sentir sur la deuxième note du tétracorde ; dès lors il n'y a pas de raison pour que le premier intervalle ne soit pas égal autondisjonctif ; mais le second doit s'allonger vers la finale.

Quant au chromatique, il est impossible, si son dernier intervalle doit être représenté par le rapport ^, d'assigner aux autres des rapports superpartiels. Faute de mieux, Archytas s'arrête à la série :

Les mathématiciens qui succédèrent à Archytas dans ces recherches entreprirent de réformer ce dernier résultat : ils y arrivèrent eu renonçant à donner pour terminaison commune aux trois séries le rapport |^.

On voit à présent quels principes ont dirigé les travaux d'Archytas. Il a voulu :

1" Assigner à chaque intervalle de deux notes consécutives, et même de deux notes non consécutives, un rapport superpartiel ;

2* Donner le même intervalle final aux tétracordes des trois genres.

Ces deux exigences auraient pu être satisfaites, s'il ne s'était agi que des deux genres chromatique et diatonique (solutions A, B, C). Mais l'enharmonique crée une difficulté d'autant plus sérieuse, que c'est justement ce genre qui semble la forme idéale et la source commune des deux autres. Archytas commence donc par établir la série de l'enharmonique ; il n'y arrive qu'en abandonnant sur un point le postulat pythagoricien : le rapport ? n'est pas superparliel, quoiqu'il se rapproche de cette forme.

Il faut passer de là au diatonique, et l'usage exigeant que le second intervalle soit au moins égal au premier, on est forcé d'admettre, outre le rapport f, le rapport ||, beaucoup plus éloigné de la forme superpartieile. Quant au chromatique, on n'arrive même pas à assigner des rapports superpartiels aux intervalles de deux notes consécutives. Ainsi les relations mathémaliques sont de moins en moins satisfaisantes, à mesure qu'on s'éloigne du point de départ, qui est le genre enharmonique (1). On voit que les recherches d'Archytas sont direclement inspirées par le mouvement des harmoniciens, qui « ne donnent la théorie que d'un genre sur trois », considérant les autres comme des altérations qu'on ne peut mesurer exactement.

Quant à ce rapport commun if, il ne faut pas croire qu'il détermine exactement le dernier intervalle des trois tétra-

(1) Je sais bien que la série de l'enharmonique (4 X 35 X §=) contredit au principe d'attraction, puisque le dernier intervalle y est plus grand que l'avant-dernier. Mais la différence entre ces petits intervalles devait être si difficilement appréciable, que les considérations mathématiques prenaient le pas sur l'expérience. La différence entre un ton majeur M et un ton augmenté M est au

contraire très saisissable : elle vaut tt^ de comma.

cordes : ce n'est qu'une approximation assez grossière, une sorte de cote mal taillée qui satisfait à peu près, d'une part aux exigences des matliômatiques, d'autre part aux données de l'expérience : et nous avons vu que les données du problème mathématique ne laissaient pas le choix à Archytas entre cette valeur et une autre quelconque.

Nous avons assimilé les petits intervalles du genre enharmonique à Tintervalle qui dans notre musique sépare la sensible de sa tonique. Il y a cependant une différence qui semble au premier abord très profonde : le genre enharmonique procède par quarts de ton , et noire gamme n'admet pas d'intervalle inférieur au demi-ton. Ces quarts de ton ont beaucoup intrigué tous ceux qui ont étudié la musique grecque, et même sont devenus suspects fà quelques-uns d'entre eux : on a voulu, malgré le témoignage d'Aristoxène, ne voir dans l'enharmonique qu'une fiction des théoriciens. Nous croyons, au contraire, que ces petits intervalles ont leurs équivalents dans notre musique, lorsqu'elle échappe aux exigences du tempérament égal.

Les instruments à clavier, accordés une fois pour toutes, ne peuvent produire qu'une série de tons et de demi-tons strictement égaux entre eux ; il n'en est pas de même pour la voix humaine, ni pour les instruments à archet, ni même pour les instruments à vent convenablement maniés : ici l'intonation est complètement libre, ou peut varier dans une assez large mesure. Ln ton n'est pas nécessairement pareil à un autre ton ; un demi-ton s'al-

longe ou se raccourcit à volonté. Or il résulte des expériences de MM. Cornu et Mercadier (1) sur la valeur des intervalles musicaux que les intervalles de la gamme dite naturelle, indiqués par la théorie, ne sont que rarement employés par nos chanteurs et nos artistes, lorsqu'ils exécutent une mélodie, et que la musique est loin d'obéir aux lois de l'acoustique courante. Ces expériences ont le plus haut intérêt, parce que ce sont les seules où l'on ait mesuré les intervalles produits sur un instrument de musique, et non ceux que donne une sirène ou une série de diapasons ; il est très regrettable qu'elles n'aient été poursuivies ni par leurs auteurs, ni par aucun acousticien moderne. Telles quelles, elles nous en apprennent cependant assez pour faire disparaître le mystère dont est resté entouré, jusqu'à ce jour, le genre enharmonique des Grecs.

Nous allons comparer les valeurs du demi-ton, dans les différentes positions de la gamme, telle qu'elle ressort des expériences de MM. Cornu et Mercadier, avec la valeur des intervalles enharmoniques et chromatiques, telle qu'elle nous est fournie par les théoriciens grecs. Mais avant tout il faut remarquer que ces théoriciens ne mesurent pas directement les intervalles, comme les savants modernes : ils leur assignent des valeurs assez arbitraires, en se laissant guider souvent par des considérations mathématiques qui sont de nature à fausser les résultats : ainsi nous venons de voir que le rapport iy, donné par Archytas, ne devait être considéré que comme une approximation très grossière. Il faut en dire autant du quart de ton aristoxé-

(1) Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 1869, i, p. 301, p. 324; — 1871, ii, p. 178.

nien, ou des g de ton ou du tiers de ton, également admis par ce tliéoricien : de telles valeurs ne sont le résultat d'aucune expérience, mais seulement de la préoccupation d'exprimer tous les intervalles de toutes les gammes par des fractions simples du ton, choisi comme unité. Quels étaient les intervalles que faisait réellement entendre une lyre enharmonique ? Nous ne le saurons jamais, et d'ailleurs ces intervalles, déterminés uniquement par le sentiment musical et non par aucun procédé régulier d'accord, devaient être assez variables ; ils oscillaient, entre des limites que nous ne pouvons déterminer, autour des valeurs données par x\rchytas et Aristoxène.

Ceci posé, la comparaison entre les résultats des expériences modernes et les données de la théorie antique conduit au tableau suivant, oii les intervalles sont rangés par ordre de grandeur croissante. La première colonne donne les rapports correspondant à ces intervalles ou, quand le rapport est incommensurable, les trois premières réduites de la fraction continue. La seconde contient les logarithmes, à cinq décimales, de ces rapports, la troisième la valeur en commas, le comma étant égal à gô, et son logarithme à 0,00540, et la dernière les différences entre les intervalles consécutifs, en fractions de comma.

Aristoxène confond le ton disjonctif (0 avec le ton tempéré [iV 2) ; ces deux valeurs ne sont pas égales, et l'on obtient des résultats différents suivant qu'on adopte l'une ou l'autre ; la différence est minime cependant : pour le quart de ton, elle n'atteint pas 05 de comma.