Qu'est-ce qu'un nombre premier
949. Quand est-ce que plusieurs nombres sont premiers entre eux ?
950. Deux nombres pairs sont-ils premiers entre eux ? 9Ô1. Deux nombres consécutifs sont-ils premiers eotr^ ©ux ?
052. Deux nombres premiers entre eux sont-ils toujours des nombres premiers ? Donnez des exemples.
963. Que faut-il faire pour décomposer un nombre en ses facteurs premiers ?
§ IL— Problèmes
Décomposer en leurs facteurs premiers les nombres suivants :
Trouver le plus grand commun diviseur des nombres suivants : 1® par la méthode ordinaire; 2<> en décomposant les nombres en leurs facteurs premiers.
1001. 8et 12
1006. 121 et 187
309 et 993
10Ô2. 16et 80
1007. 138 et 345
1 986 et 2 226
1003. 28 et 35
1008. 272 et 288
30,45 et 105
1004. 80et256
1009. 315 et 675
24,60 et 108
1005. 99 et 113
1010. 144 et 504
35,63 et 133
Trouver le plus petit commun multiple dès nombres suivants :
1016. 8, 15 et 24
42 et 72
1017. 16, 42 et 56
35 et 84
1018. 12, 35 et 46
30 et 36
1019. 42, 63 et 70
27 et 30
1020. 54, 63 et 81
70 et 84
2, 40 et 25
56 et 68
135. Définition. On suppeWe fraction une ou plusieurs parties de Tunité divisée en un nombre quelconque de parties égales.
Si l'on divise l'unité en cinq parties égales, on peut prendre une dç ces parties et l'on a un cinquième ; on peut aussi prendre plusieurs d* ces parties, 3 par exemple, et l'on a trois cinquièmes. Un ^inquièrrw. et trois cinquièmes sont des fractions.
136. On représente les fractions au moyen de deux nombres placés l'un au-dessous de Tautre. et séparés par un trait Ainsi la fraction trois cinquièmes s'écrit f . Le nombre supérieur s'appelle numérateur et le nombre inférieur dénominateur'*'.
137. Le dénominateur indique en combien db parties égales l'unité est divisée, et le numérateur combien on a de ces parties.
Le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont appelés termes de cette fraction.
138. Pour lire une fraction, on énonce d'abord le numérateur, puis le dénominateur en lui donnant Ih terminaison ième. Il y a exception pour les dénominateurs 2, 3 et 4, que l'on énonce demi, tiers, quart ^'*.
Les fraction-s 1» f > I ^^ liront un demi, deux tiers, trois quarts.
139. Le numérateur peut être plus petit ou plus grand que le dénominateur, ou lui être égal.
♦ Numérateur, du latin numerare^ signifie qui nombre; dénominateur veut ô\YÇ^ qui nomme.
** Dans les fractions, on attache aux mots tiers, quarts, cinquièmes, etc., le même sens qu'aux mots pieds, piastres, arbres, etc , des nombres concrets I2 pieds, 7 piastres, 15 arbres, etc. ; en sorte que le numérateur d'une fraction peut être con.sidéré comme un nombre entier dont l'unité serait indiquée par le dénominateur. Par exemple ^^ peut être regardé comme uae autre manière d'écrire 3 quarts.
Lorsque îe numérateur est plus petit que le dénominateur, on a une fraction proprement dite. <,
Lorsque le numérateur est plus grand que le dénominateur^ on a une expression fractionnaire qu'on appelle aussi nombre fractionnaire.
Lorsque le numérateur est égal au dénominateur, on a l'unité.
Ainsi f est une fraction, f un nombre fractionnaire ou une expression fractionnaire, et ^ l'unité.
Principales propriétés des fractions
140. Proposition. Si deux /raclions ont le tnêrae dénominateur^ la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.
Soient les fractions f et f qui ont le même dénominateur ; je dis que la première est plus grande que la seconde.
En effet, dans ces deux fractions les parties sont les mêmes, ce sont des septièmes de l'unité, mais la première fraction en a 5 tandis que la seconde n'en a que 3 ; donc f est une fraction plus grande que f . Donc . . .
141. Proposition. Si deux fractions 07it le même numérateur^ la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.
Soient les fractions f et -^ qui ont le même numérateur ; je dis que la première est plus grande que la seconde.
En effet, ces deux fractions contiennent chacune trois parties de l'unité ; mais les parties de la première étant des huitièmes, sont plus grandes que celles de la seconde, qui sont des onzièmes ; donc | est une fraction plus grande que ^. Donc . .
142. Proposition. Lorsqu^on multiplie le mimérateur dJune fraction par un nombre^ cette fraction est multipliée par ce
nombre.
Soit la fraction % ; je multiplie par 4 son numérateur et j'ai f ; je dis que % est une fraction 4 fois plus grande que %. En effet, les deux fractions f et f représentent des parties égales de l'unité, ce sont des neuvièmes ; mais la seconde fraction contient 4 fois plus de ces parties (iue la première ; donc \ est une fiactiou 4 fois plus grande que %. Do^iQ. . .
86 ARITHlféTIQUB
143. Proposition. Lorsqu^on multiplie le dénominateur dune fraction par un nombre, la fraction^ est divisée par ce nomb're.
Soit la fraction | ; je multiplie son dénominateur par 4 et j'ai ^'^ • je dis que -ifV est une fraction 4 fois plus petite que |.
En effet, les deux fractions i et 7p^ renferment chacune trois parties de l'unité ; mais les parties de la seconde sont quatre fois plus petites que celles de la première ; donc la fraction -^ est 4 fois plus petite que f . Donc . . .
144. Proposition. Lorsqu^on divise le numérateur d\ine fraction par un nomhre, la fraction est divisée par ce 7iom,bre.
Soit la fraction f ; je divise son numérateur par 2 et j'ai f ; je dis que f est une fraction deux fois plus petite que f .
En effet, les fractions f et f représentent des parties égales de l'unité, ce sont des septièmes ; mais la seconde a deux fois moins de ces parties que la première ; donc la fraction f est deux fois plus petite que f . Donc ...
145. Proposition. Lorsqu^bn divise le dénominateur d'une fraction par un nombre, la fraction est multipliée jtar ce 7iombre. ^
Soit la fraction ^\ ; je divise son dénominateur par 3 et j'ai g ; je dis que I est une fraction 3 fois plus grande que Z^.
En effet, les fractions /^ et | renferment chacune cinq parties, mais les parties de la seconde sont trois fois plus grandes que celles de la l)remière ; donc | est une fraction trois fois plus grande que .f^. Donc . . .
146. Conséquences. 1^ Pour multiplier une fraction par un nombre, on multiplie son numérateur par ce nombre, ce qui est toujours possible, ou bien on divise son dénominateur par ce nombre lorsque l'opération peut s'effectuer.
2^ Pour diviser une fraction par un nombre, on multiplie son dénominateur par ce nombre, ce qui est toujours possible, ou bien on divise son numérateur par ce nombre lorsque Topération peut s'effectuer.
FRACTIONS ordinairp:s 87
!47. Proposition. On ne change 2)a s la valeur d'une fraction lorsqnon niiiltijflif" <>fi qU'On. divise les rleit.r, terntrs jxir nn même nombre.
P Soif, la fraction ^ ; je multiplie ses deux termes par 3 et j'ai |-| ; je dis que cette fraction est égale à J,
En effet, elle renferme trois fois plus de parties que 4, mais ces parties sont trois plus petites ; il y a donc compensation.
2^ Soit la fraction f^ ; je divise par 8 chacun de ses deux termes et j'ai I ; je dis que cette fraction est égale à |^.
En effet, elle renferme huit fois moins de parties que J^, mais ces parties sont huit fois plus grandes ; il y a donc compensation. Donc . . .
Réductions des fractions*
148. Définition. On appelle réductions des fractions les divers changements que l'on fait subir à leurs termes sans altérer la valeur de ces fractions.
Il y a quatre principales réductions des fractions.
Première réduction
14^. Réduvre un nombre entier^ ou un 7iom,bre entier suivi dune fraction en une seule expression fractionnaire,
1® Soit à réduire 4 entiers en cinquièmes.
Un entier vaut 5 cinquièmes ou f , 4 entiers vaudront 4 fois | ou ^g~ (nO 146, 10).
150. Règle. Four réduire un nombre entier en une expression fractionnaire^ il faut multiplier le dénominateur donné par le nombre entier. Ce ^produit est le num,érateur dune fraction ayant pour dénom,inateur le dénom>inateur donné.
2<> Soit à réduire 6 entiers § en une seule expression fractionnaire. Un entier vaut 3 tiers ou ^, 6 entiers vaudront ^- ; -/ et § font -/.
Donc 6 -f § =3=1 ^.
151. Règle. Pour réduire un nombre entier suivi dWmefractio)t en une seule expression fractionnaire^ on ynultipUe le
♦Il serait mieux de dire : tran^formaiion (Us /radions
ss
fJénomi liât fur de lafractioi par le nombre entier^ on ajoute à ce produit le numérateur^ et Von donne à la somme pour dénominateur le dénominateur de la fraction,
EXERCICES
Réduire en expressions fractionnaire.
3 unités en demis
4 unités en tiers
5 unités en sixièmes
6 unités en quarts
7 unités en cinquièmes
1 034. 10 unités en huitièmes 1 035. 15 unités en neuvièmes 1 036. 17 unités en dixièmes 1 037. 25 unités en dix-neuvièmes 1 038. 32 unités en treizièmes
8 unités en septièmes !l 039. 54 unités en vingrt-cinquièmes Réduire en une seule expression fractionnaire.
Gif
84 tV
90 il
Deuxième réduction
152. Extraire les entiers contenus dans U7ie expression fractionnaire.
Soit à extraire les entiers contenus dans l'expression '^^^.
Une unité valant 8 huitièmes, autant de fois 8 sera contenu dans 147, autant l'expression fractionnaire contiendra d'unités. Le quotient de 147 par 8 est 18, et le reste de la division 3 ; donc i|^ = 18
153. Règle. Pour extraire les entiers contenus dans une expression fractionnaire, on divise le numérateur par le dénominateur ; le quotient indique les entiers ; le reste, s'il y en a un, est le numérateur d'une fraction dont le dénominateur est celui de V expression fractionnaire proposée.
EXERCICES
Extraire les entiers contenus dans les expressions suivantes, et donner
le reste s'il y a lieu.
2JL
Ail
iUi
lU-
Troisième réduction
