I : 10 : 100 : looo : loooo : lOoooo : 1 000000 , etc
aiQ. Ainsi il sera toujours aisé de reconnaître quel est le logaritnme de l'unité suivie de tant de zéros qu'on voudra ; il a toujours autant d'unités qu'il y a de zéros à la suite de cette unité.
iHous n'enseignerons pas ici la méthode qu'on a suivie pour trouver les logarithmes intermédiaires dé la progression décuple ; elle dépend de principes que nous ne pouvons exposer ici ; mais JDOUS allons expliquer leur formation par une voie qui , à la vérité, ne serait pas plus expéditiye pour calculer ces logarithmes , mais qui suffit , tant pour concevoir cette formation , que pour rendre raison des usages auxquels on emploie ces nombres artificiels.
220. D'après la définition que nous avons donnée des logarithmes, <»n voit que pour avoir le logarithme d'un nombre ![uelconquie , de 3 , par exemple , il faut que ce nombre puisse ftire- partie de la progression géométrique fotKl amenta le. Or, quoiqu'on ne voie pas que 3 puisse faire partie de la progression géométeiqiie ^ i [ 10 ; .100 , etc. , cependant on voit que si, entre i et to, on insérait un très-grand nombre de moyens géométriques (214), coname on monterait alors de i à 10 par des degrés d'autant plus serrés que le nombre de ces moyens serait plus grand , il arriverait de deux choses l'une , ou que quelqu'ua de ces mo^fens se trouverait être précisément le nombre 3; ou que du moins il Ven trouverait deux consécutifs, entre lesquels le no m b re Buterait compris, et dont chacun différerait d'autant moins de 3 , que le nombre des moyens insérés serait plus grand.
Cela po$é , si l'on insérait pareillement entre o et i autant de moyens arithmétiques qu'on a inséré de moyens géométriques entre 1 e^ 10, chaque terme de la progression géométrique ayant pour logarithme le terme "correspondant de la progression arithmeticlue , on prendra^ dans celle-ci , pour logarithme de 3 , le nombre qui s'y trouverai à pareille place 4|tte 3 se trûttveJattsk
io8
progression géométrique ; ou si 3 n'e'tait pas exactement quel* qu'un des termes de celle-ci, on prendrait dans la progressioa aritlimétique le terme qui re'pondrait à celui de la progression ge'ométrique qui approcKe le plus du nombre 3.
C'est amsi qu'on pourrait s y prendre, en effet, si Ton n'avait pas de moyens plus expéditifs. Quoi qu'il en soit , c'est à cela que revient le calcul des logarithmes.
221. Il faut donc se représenter qu'ayant inséré looooooo de moyens géométriques entre i et i o , pareil nombre entre lo et loo, pareil nombre entre loo et looo, etc. , on a inséré |ui8si pareil nombre de moyens arithmétiques entre o et i y pareil nombre entre i et 2 , pareil nombre entre 2 et 3 ; qu ayant rangé tous les premiers sur une même ligne , et tous les seconds au-dessous , on a cherché , dans la première , le nombre le plus approchant de 2 , et on a pris , dans la suite inférieure , le nombre correspondant; qu'on a cherché de même dans la première le nombre le plus approchant de 3 , et qu'on a pris dans la suite inférieure le nombre correspondant; qu'on en a fait de même successivement, pour les nombres 4» 5,6, etc« ; qu'enfin ayant transporté dans une même colonne , comme on le voit dans ia table ci^jqinte , les nombres i, 2,3, 4 9 S 1 ^^c*9 <>n ^ ^^1^^ dans une colonne à côté , les termes de la progression arithmétique qu'on a trouvés correspondans à ceux-là , ou du moins ceux qui en approchaient le plus ; alors on aura l'idée de la formation des logarithmes, et de leur disposition dans les tables ordinaires.
Table des Logarithmes des Nombres naturels, depuis
1 jusqu^à 200.
osanse
Noiub.
ro
BBMi
Logariifames.
Infini nég.
o^oooood o,3oioSo
0*4771 âi' o,6oao6o 0,698970
Noœb.
ai
Logariilimes.
1,255273 1,278754 i,3oio3o
Nomb.
i,38o2ii 139^940 [ 1,414973
mÊOfsaÊi
Logarithmes*
■■ÉEÉ^aBai
Nomb.
Logalidtmes.
Nonb.
DE BEZOtT*.
sBBaaaven Logarithnef.
Nomb.
I,778l5l 1,785330 i,7<yi3qï
i,booi8o 1,810913
1 ,89^095 1,892627 i.QoBoge
i,9i38i4 ï.9îç)rt'78
iii3
Log^ritliims.
2,oii393 2,oi5323 2,049218
2,o8636o 2,o8Qao5 2.09^4*2
2,096910 2,100371 2,io38o4
2,03Ii8q
Logarithmes.
3,i43oi5
3,li6l28
Nomb.
ni
Mm
3,276462 2,278754 2,28ro33
2,3833oi
2,3oio3o
itm
Les logarithmes renfennét daM cette table n'ont que six chiffres après la virgule ; ils en ont sept dans les tMes ordinaires ; mais cette diffiërence ne nuit en rien à l'«sage que nous en ie^ rons <ci-après.
222. Remarquons , au sujet de cette table , que le premier cbifte de la droite de chaque logarithme s'appelle la caracté^ ristiaue y jiikTce que c'est par ce chiffre qu'on peut juger dans quelle décade est compris le nombre auquel appartient ce loga-
iiQ ARITHMÉTIQUE^
nthaie ; Bar «xemple , ù tin nombre a poar cartctérMqw 3 , je
gais qa'ii appartient à des initte , parce que le logarithme .de looo est 3 , et que celui de loooo étant 4 > tout nombre idepais lôoô Jusque loooo ne peut avoir pour logarithme que 3 et une fraction ; il a donc 3 pour caractéristique , et les autres chiffres expriment cette fraction réduite en décimales. ^
Propriétés des Logarithmes»
223. Gotome il ne s'agit ici que des IjMrithmes tels qu'Us sont dans les tables ordinaires , lespropriét^^ue nous «IIobs exposer ne regardent que les progressions géométriques qui ont l'unité pour premier terme , et les progressions arithmétiques qui ont feéi^o pour premier terme.
Comparons donc encore j terme à terme , une progression géométrique quelconque , mais dont le premier terme soit Vu,^ tilté, avectme progression arithmétique aussi quelconque, mais dont le premier terme soit zéro ; par exemple, les deux progrès^ siODS suivaoïtes :
-77 I : I 2 g : 27 : 8t : 243 : 729 : 2187 ^ 656i , etc.
•7 o . 4 • ^ • i^ • i^ > ^^ • J^ * 28 • 32 , etc.
Il suit de la nature et de la correspondance parfaite de ces deux progressions , qu'autaat de fois la raison de la première est facteur dans l'un quelconque des termes de cette progrès^ sion f autant de fois la raiion de la se<fonde est contenue dans k terme correspondant de cette seconde ; par exemple , aans le terme 2x87 , la raison 3 est sept fois ftkcleur, et dcm» 4e terme »8 , la rai$on 4 est contenue sept fois.
En efiet,, selon ce qui a été dit (206 et ^12) , la raison ^t facteur dans tm terme quelconque de la praii^ière , autaJut <te fois qu^il y a de termes avant celui-là ; et danft la seconde , un terme quelconque est composé d'autant de fois la raison qu'il y a de termes avaint lui. Or il y a le même nombre de termes de part et d'autre.
OonclnoUs de là qu'un terme quelcooique de la progression géométriqtie aura toujours pour correspotidant dans la progresiien arithmétique, un terme qui contiendra la raison ae celleci autant de fois que la raison de la premijère est facteur ^ans le terme qwalconque^ont il s'agit.
'224* Donc, si Ton multiplie , l'mn par l'autre ^ deux termes de la progression, géométrique , et si Von ajoute en même temps les deux termes corrc^ondans de la f^vgression arithmétique , le produit et la somme seront deux termes qui se correspondront dans ces progressions.
Car il est évident que la raison sera fréteur dans le produit , autant qu'elle l'est , tant dans l'un des termes multipliés , que dans l'autre ; et que la raison de la progression anthmétique
os BEZOUT. III
sera contenue dans la somme autant qu'elle Pest, tant dans l'un éèi termes ajoutes que dans l'autre .
225. Donc on peut , p^r l'addition seule des deux termes de la j^logressioà arithmétique, connaître le produit des deUx termes èorrespoildàhs dé là progression géométrique , eu supposant ces d^ùjt progressions prolongées suffisaînment.
Par exemple , en ajoutant les deux termes Ô et 24 qui répondent à 9 et 729, j'ai 32 qui répond à 656 1 ; d'où je conclu^ que le prèdctH né ^^ par 9 est 656ï , ce qui est en effet.
:âi26. ©toc , puisque les nombres naturels qui composent la première cokmne de ïa table ci-dessus , ont été tirés d'une progriÈraion géométriqiie qui commencera par l'unité; et puisque leurs loga^ rfthmes àontles termes correspondans d'une progression arithmétique qui commence par zéro , il faut en conclure qu'en ajoutant les logarithmes 'de dâux nombres y on aie loguntkme de leur produit.
De là il 8tt ^sé de conclure les usages sui^rans i
Usage des Logarithmes,
^a'} . Pmit faire une muhiplicationparhgarithmes, il/aut€^t>uter le iû^atiàSne émmultq^lieande au logarithme du multiplécatmir : la somme sera le ioganthme duprodmt : c^ est pourquoi, cherchant cette somme parmi les logarithmes des tables, on trouvera lep^roduit à c6tê< par exempte, si l'onprofKïse de multiplier i4 par i3«
Je tr€m7<e dans la petite table ci-dessus que le logarîlbmê de
14 esc^. • • 1^146128
et «lue eeliii 4e i3 est. ...... 1,113943
La somme -2,260071
répo>nd dans k même table au nombre 182 ^ qui^t en effet te f»roduit. ^
«s6.^ 9éwi ^anper tm nombre, il ^ulfet 4on^ de doubler son logarithme, )^|^«(fu'ii faudrait ajouter ce togariliime ^ loinEnème pour muU&plier le nombre par lui-même.
^09. Par une raison semblable, pour cuher un sombre, il fatuba tri'plebr soâ ki^iitbme ; et en gén^ral^ fM>nr élever un ««ittihre à «»« ^tsstoce quelconque , il faudra proidre son lot^^titfaaie aiita»t de fcMs qu'il y a d'unité dans le nombre qui marque odtte piùsaaiajce; |>ar exemple, pomr élever mi notiri)re à la septième puissance, il faudra multiplier par 7 le Ic^aritbmede ce nombce.
23o. Donc, réciproquement, pour extraire la. racine carrée, dhbique, quatrième, etc. , d'un nombre proposé, il faudra diviser le togaritbmede ce nombre par 2, 3,4» etc. , c'est-à-dire, en général, par le nombre qui marque le degré de la racine qa'on veut extraire. ^
Par exemple, si l'on demande la racine carrée de 144» AJ^t trouvé dans la table que le logarithme de ce nombre est 2,1 58362, j*en prends la moi^é^ 1,079181 ; je cherche parmi les logarithmes
ii:i ARITHMÉTIQUE
à quel endroit se trouve 1,0^9181 ; il repond à 12, qui est par conséquent la racine carrée ae i44*
Si 1 on demande la racine septième de 128, je cherche dans la table son logarithme que je trouve être 2,107210; j'en prends le septième^ ou je le divise par 7 , et je cherche à quoi répond dans la table le quotient o,3oio3o ; il répond à 2, qui est en effet la racine septième de 128.
23 1 . Pour trouver le quotient de la division d*un nombre par un autre, il faut retrancher le logarithme du diviseur du logarithme du dividende; chercher dans la table à quel nombre répond lé lo^ garithme restant : ce nombre sera le quotient*
Par exemple , si je veux diviser 187 par 17 , je cherche dans la table les logarithmes de ces deux nombres , et je trouve
Le logarithme de 187 21,271842
Celui de 17 iy23o449
La différence i,o4i393
répond dans la table à 1 1 , qui est en effet le quotient.
Si la division ne pouvait pas être faite exactement, le logarithme restant ne se trouverait qu'en partie dans la table ; mais nous allons enseigner ci-après ce qu'il faut faire dans ce cas.
La raison de cette règle est fondée sur ce que le quotient, multiplié par le diviseur , devant reproduire le dividende (74) , le logarithme du quotient, ajouté (227) au logarithme du diviseur, doit donc composer le logarithme du dividende ; et par conséquent, le logarithme du quotient vaut le logarithme du dividende , moins celui du diviseur.,
232. D'aprèjs ce que nous venons de dire, il est très-facile de voir que pour faire une règle de trois par logarithmes , il faut ajouter le logarithme du second terme au logarithme du troisième, et de la somme retrancher le logarithme du prem^.
233. Remarquions que lorsqu'on cherche dans les tables ordinaires un logarithme résultant de quelques opérations sur d'autres logarithmes , si l'on ne trouve de différence entre le dernier chiffre de ce logarithme et celui de la table , que sur le dernier chiffre seulement, on doit regarder cette différence comme nulle , parce que les logarithmes de touç les nombres intermédiaires à la pro* gression décuple ne sont qu'approchés à environ une demi-unité d&imale du septième ordre près*
Des Nombres dont les Logarithmes ne se trouvent point
dans Les Tables.
234* Les fractions et les nombres entiers joints à des fractions , n'ont pas leurs logarithmes dans les tables ; il en est de même des racines carrées , cubiques, etc. , des nombres qui ne sont pas des puissances parfaites du degi^é de ces racines. /
DE BEZOUT. ii3
Si 1*00 demande le logarithme d'un nombre entier joAt à une f ractioQ^ il faut d'abord réduire le tout en fraction (86) , et ensuite retrancher le logarithme du dénominateur du logarithme du numérateur. Par exemple, pout avoir le logarithme de 8 -3^ je cherche celui de^, queje trouve «n retranchant i,o4i 3^3 logarithme de 1 1 , de 1,059041 logarithme de 91 ; le reste 0,917648 est le logarithme de 8 f^ puisque 8 -^ ou ^ n'est autre chose que 91 divisé par 1 1 (96).
a35. La même raison prouve que , pour avoir Te logarithme d'une fractioi^ il f aut retranclie]r pareillement le logarithme du dénominateur du logarithme du numérateur ; mais comme cette soustraction ne peur se faire,,ffui9qnele.logadthue du dénominatctir sera plus grand c(he ce)ui 4u numérateur, ou retranchera au contraire le logarithme du num^'r^leur de celui dja, dénominateur ; le reste, qui marquera ce dont il s'en but que la soustraction n'ait pu se faire \ sera le logarithme da la uractîon ^ en appliquant à ce reste tm signe qui marque que la soustraction n'a pas été entièrement faite. Ce signe.est celui-ci —«, qu'on énonte^ moins. Ainsi le logarithme dé la fraction |} serait 0,01 7648 (*>
236. Ce signe est destiné à rappeler, dans' le cakul^que les logarithmes dçs fractions doivent être employés s^oçi un^ règle tout opposée à celle que nous avons prescrite pour lesjega* rithmes des nombres entiers , ou des nombres entier^ joints à des fractions ; c'est-à-dire que si l'on a à multiplier par ttuç.frac*tion V il faut retrancher le logarithme de cette fraction; ^ , ali contraire , l'on a à diviser par unç fraction ^ il faut' ajouter sou logarithme.
La raison en est , pour la multiplication , que multiplier par une fraction, revient h multiplier par le numérateur, et 4 diviser ensuite par le (dénominateur ; donc^ lorsqu'on Opère par logarithmes, on doit ajouter le logarithme du numérateur, et retrancher ensuite celui du dénominateur, ou , ce qui revient au même , on doit seulement retrancher Vexcès du |ogarithme du dénominateur sur lé logarithme du numérateur : or, cet excès est précisément le logarithme de la fraction. A l'éf^^rd de la division , la raisoQ en est aussi facile à saisir. En effet , diviser par } 9 V^^ exemple, revient (109) à multiplier par * ; donc , en opérant par logarithmes y il faut ajouter le logarithme de ^, c'est-àdire (234)'la différence du logarithme de 4» au logarithme de 3 , ou du logarithme du déiominatenr de la fraction proposée , au logarithme de son numérateur^ .
^37. Il peut arriver, et il arrive assez souvent, qu'en, couver-
mm^-^mmmmmÊmm^'^mmmmmi^immit^^i^mmmmÊÊm-m'^mm
(*) Les nombres précédés an signe — se nomment nombl'es négatifs. Nous les ferons connaître plus particulièrement dans Talgèbre,* enifttendant, i;^€MM8 prévenons ifpe o'est èo prendre ^j^ icMe fiasse qne demies regarder comme des nombres au-dessous de zéro^l n'j a rien au-dessoas de zéro,
ARrniMÉTIQtJE. 8
ii4 ARITaMSTIQ^E
\msL]ii ea .une f^ul^ Crfiç^of^ l'efUi^t «t b frâcdum 4otit en ckerçh^ U \Qfif^ri\hm^ f U P^«lt arriver , diH^ » S*>* ^ mn^foér^ut «ak
3^ opmbr^ mii f^6^\p^\MtA$ àe» iàbUê. Pat txàmfUi, A ITm em^(jlç 1/9 logii«ubiyt€i âe €»» -^^y oe U9mbte, v^Amiî en fraéi- Uqo^ rj^w\^j^ à ?.j - ^||% 4o^^ le |àùméri|teur f^9é kft limites 4q6
|l Êi^f 4^^m^ ftâ^pos de Savoir comineB^ <m peat innifftÉ k fegaiitlime d'un noi;nbre qui passe ces limit^.
I^^ ^ejJ^cudre ^^ ^n^u^f Uon^idottatr n'est pas vîgmweAse : mais elle e^t |4h« V^ «nl&iuuMlfe i^imÙ; lès uss^s ocdia^lj^». krknt i|ifte 4ç l'expq^^ ohwrv^w >
338. i'^ Q«'«ti ajotttattt 4;.a> S, ecc; j toitë»à là tàtft^éMni^ <|H« du logarithme d^ttii tiôiiÀre , 4>n multipt&e té ih>ttib^ féàc <p, iOD y iooo^ ete.^ i^itque c^èst ajOMeîf lé tegàrîtliA!!^ de lO, ou de io0f.«tt de looo , 4tt. (aii^ et i2^)).
.2*^ AuixMdtfairia^ ti Tba iretfaUcfee t ^ 2,^9 etcl , tollés i^k <araeténstiqi9t à^vm logatitkme , cVst diviser lé nombtie étMrreëp<H»Aaiitpay 10, ii^O) leoe, ece*
23^. Cela po9é , ^ull soit questipn de trouver le logàr|th|^ de ^7^9 i pareiettipfe.
tattt
tmttver
ce
le notkkhtè prooosé 35n'85g
Je ehatche dans les tablés le Ibgârltlime de 3S78 , qûç ^ trpiive | être 3,5536403 ; je prends en, même tenips à côté açf ce ]ufga- | riitme |^^)/H âmé^cë'i!2i'i,eptre ce tn^me lojg^«^îd^ç et oêiili AeZSy^ , après ijuôî |e*^aid cette règle de trois :
Sï peut uûe ut^ité tie dinérence entre les deux nombr^ ^§79 «t3S78, ' • ''''•'
oÉi à î2t4 d6,^iî6éren<;e eiitre leur$ logarUbmes ;
©ombléh pour 0,89, diff^repce eiptreles^^ et 3678,
aiira-t^pn de di^^rëi^ce entré lé^is fogs^rîtii^eç^ C^^t-^Tilire ^^e Je ckèMbé le qti^ttièihè terme à ^ïi^ prPPPXMoft» 4wit*Ç$^ V^^^ prwajéts sont : |:
" /..lA^.^ tvy , .. v.^.. ^ , -"■!
cc>miHod|é.
DE BEZOTJT.
iiS
-Kl
fft9kvi% lea diérimUès. J'ajoute éont 716 au logarithme S,55384û3 de 3576» etj'ld 3^55371 19 pottf lo);atidliiie èé 3576,59; il ne ^'àl^t plus 9 pè«r avoir celui de 35785^ , k^Mè d^jdùték* detix tuïitës à la céraçtërisliliue du logarithme qu'on vient dé troirtrer, et oki aura 5^55371 19 pdur le logarithme efaerché f ptrbi^tke 35*^89^ est i€M> fois ptof graird qtte 3578)59.
Si les chiffres cju'on doit séparer sur la droite ëtàiéiîi tbiig dès «érm , Épths àVoîr trouvé , datis le^ tàblei , lé logslrithn^è de la ^kttké qcâ ré^te à gàûchè , il n'^ âtttait autre chose à faiife c(u1^ afôiaét ëiMdi d'unités h là catàctéristique qii'oh àùéait séparé de zéros.
d^o. lâHl à^git dii logarithme d W nombre accompagna de 4é^ ciniàk^^ on cherchera ce logarithme, oomme si le nombre proposé n^avàit point de virgule; et, après Tavoir ti*0ttv^t soit im*^ mëdiàrtëtneht dans les tables ,' soit par la métbodb qu'on vient dé dohhër [2^9), on ôtera autant d'unités à la caraeteristiqtte <|u'U y a de décimales dans le nombre propose, parce qa'àyâht oèlisi-^ oeré le nombre comme s'il n'y avait point de virguU , <'iàslrt«(Uiie coJhmè ià , ou 100, ou 1000 , etc. , lois plus grand qu'il à^tsii on dëii le rappélelr à sa valeur par une diminution ootfvenaUê suc la caractéristique de son logarithme (a38}.
241 . Enfin , $'il n'y a que des décimales àam lenémbiv frro^ p4)i$é, on dbercbe^ encore ce nbmbre dans leB'^les, ti^n^e s'il n'y avait pas de vii^k; et, ayant nris^ le Warrichtiie «offés^ pondant f on, le retranchera d'autant âunitjés ^il y a de décimales dans ce même iioi]|lnre, et on fera précéder le v&iè , du signe — * ; |p^r ei^eniple , pour avoir le logarithme de oyo3 , jt cherche celuif de 3 » qui est 0,4771^1 1 Jt le retrâpucbé de dettt unités ,. et appliquant au reste le s^ne -^ , j^ai -^ i ,Sâ!S^ô poœ logarithme de o,o3. En eCTet, o,o3 n'est autre èhose.que ^ ; dr, pour avoir le logarithme de j^y il faut (a35) retraijcher fe I0-* i;arithme de 3 ^ de celui de loe, et appliquer au reste le signé *-*«
tJles Logarithmes doiit les Nombres ne se trouvent poèM
' dans les Tables.
•k^. ^^ recherche n'est pas moins nécessaire que la pr^'eëdfehte. far exemple , pour la division , il arrive rarement que le
Î|ùotîént soit un nombre entier. Or, si l'on fait Topélratidn par ogarithmes , on ne trouvera dans les tables le logarithme res-^ tant , que quand le quotient sera un nombre entier. H y a une iuflxkhé d^autrêS^ cas de ta même espèce.
243. P!ropos6ii&-n6us d^abord de trott!vef à quel hombre ié'^ fjond ùu logarithme proposé, soit qu'il exeè4e le» limites des tdl>les 9 soit qu'il tombe entre les logoniilhinf^ der tal)l«9.
^^ ARITBlfPnQIIE
iiattilrâctioii pari 0000 ;4<mcUn©i«kfcqm'on4roa»^ loooo
Si twip mnàl iï f«tt* *<>«>« 1« compter pour iet dîx-miUîèmflf .
Tout ce oue noof venoo» de dire Uoarera abcin d a mi n e nt des aii»licatk»ipw U fuite. Bomoof^aoqs, quiBtà préMiit, àëc^Nr Si id^. Mr «uilquc» exemples, de UTaotage w les Imi* ^i^QIM tmunuK pour la laciCité et kpronptkud^ de$ cakiAs.
i^Eiq>ix I.
tmqn^^ Meint d'oa mUlièine près.
Logarithme de 179^4 4,254161
^.0|Çarithme de 12836 4,108436
Reste 0,149731
Ce vt9te cherché dans les tables , avec une caractertôtV|9e çlus forte de quatre imités , répond â 13987 ; donc (238) le ^uotn^t cherehé est 1,3987- ^
n demande la racine cubique de 53 , à moins d'uumillièm^rès.
liC logarithme de 53 est 1,724^76
S^ tiers (23o) est 0,5747^9
Ca dernie>^9 cherché dans les tables, arec une caractéristique «jjTforte de trois unité» , répond à 3766 ; donc (238) la racine 'kîrchée esti^,756. ^ * Pouf jttger de l'avantage des logarithmes , on n'a qi^i^à chçi;cher
J^rgeine par la méthode donnée (i56). Il ue faut pas pour cela Ljrarder cette dernière comme in utiles car elle s'étend à une ipà- I|té de nombres auxquels les logarithmes ^^atteindraient pas , par rapport aux bornes des tables.
EXEMPLE m.
Veiit«on avoir, à moMis d^uu centiàme près, la racine ehrquiètne du cube df 5736?
Ou triplera ie logarithme S,7586o^, de 5^36; et; on aura 11,376827 , pour logarithme du cube de 8730. Prenant le cii^auième de ce dernier logarithme, on a a,295i65 pour logarithme J^ la racine cneiquième du cube de $736. Ce logarithnse ^ cherché dans les tables atec «me caractéristique plus f6i*te de deux unîtes,,
n avoir des centièmes, répond entre les nombres 1 799e ^ 1 7996; zÈkt chef <^ée est donc 179,95 , à moins d^un çehtièn^e près^
Qu'il soit questioi^ de trouver quatre moyens proportionnels géométriques , entre 2 ^ et 5 J ?
tement
J\ fav^çlr^it; (2)6) , pour avoir la raison qui doit rfgner dans la
5 régression , diyiser 5 | par :^ | > «t ei^traire la racine ciiiqiiiè«ii« u qnptîent*
Par Ip^rithmes , cette opération est très-simple. Je détermine par les tables le logarithme de 5 "* — '"* " - -t'^tiao 1.
détermine pare "
retranche donc ^ , " «. » ' ^ ^ ^^ ^
prenant donc (280) le cinquième de ce dernier, j'ai 0,066740 pour logarithme de ia raison cherchée. Ce logarithme, cherché dans les tables , avec tine caractérisiique plus forte de^ unités , pour avoir 4 décimales , répond à 1,1661 , è moins d'uoe tinité près; donc bi raison est 1^1661, à moins d'un dix-millièn^e près. Il ne s'agit donc pins, poor aToir les moyens 'proportionnels, que de mviltipUer le premier terwtç a | par ifi66i , puis le produit par 1,1601, ^ ainsi de suite.
Mais ces opératioas peuvent être faites beaucoup plus prompment, à l'aide des logarithmes, en ajoutn^uccessiyement au logarithmeo,4a5969 du premier terme 2 }, l^pairîthme 0,066740 d« la rM9i»i, soi^ double, son triple, et son quadruple, en sorte qu'on anra 0,491^709; o^SS^^g; 0,626189; o,6929i29, pour les logarithmes des quatre moyens proportionnels demandas. Et si l'on cherche ces logarithmes dans les tables, avec trois milles de plus à la caractéristique , on trou^ve que ces quatre moyens proportionnels sont, 3,^09^ 3,626 L4>3aé; 4>8|^'-
REMARQUE
Lorsque, dans une opératio|i où l'on fait uSiS^e des logarithmes, il s'en trouve quelques-uns que Ton doit retrancher, on peut simplifier l'opération par l'o))servation suivante :
Lorsqu'on a à retrancher un nombiîequjelcoiK|U9 d'un aujti;0^i est l'unité suivie d'autant de zéros au'il y a de chiffres dans le pre^ . mier, l'opération se réduit à écrire la différence entre 9 et chacun des chiffres du nombre pr<^sé, à l'exception du dernier, pAn^r lequel on écrit la différence entre 10 et ce chiffre. Par exempU, si j^i 526927 à retrancher de 1 000000, je retranche suçces^ve-^ ment les. chiffres 5, 2, 6, 9, 2, de 9, et lé dernier chiffre 7, je le retranche de 10, et j'ai 473078 pour reste.
Ce reste est ce qu'on appelle le complément arithmétique du nombre proposée.
La soustraction , faite d(^ cette manière , étant trop simple pour pouvoir être comptée pour une opération , il s'ensuit que , lorsqu'on aura à former un' résultat de l'addition et de la soustraction cte plusieurs nombres , on pourra toujours réduire ^opération à l'addition. Par exemple , s il s^^t d^ajouler les deux nombres 672^736, 4^264^^! ^ ^ reUandwv de leui? soQpmc les deux noms
bres 4^7S2, 18675, ce qui exige deax additions et une soustraction, je substitue à. cette opération la suivante :
4264^2 Complément arithmétique de 432752; • . . 567248 Complément arithmétique de 18675. . • . 981325
Somme. . . 2647761
C'est-à-dire que j'ajoute ensemble les deux premiers nombres proposés 9 et les complémens arithmétiques des deux derniers; la somme est 2647761 . XI faut en supprimer le premier chiffre 2 , et les chiffres restans 647761 sont Le résultat cherché.
La raison de cette opération est facile à sentir , en remarquant que si au lieu de retrancher 4^2752 , comme on le proposait , 3 ajoute son complément arithmétique, c'est-à-dire 1 000000 moins 432762 : je^^^en même temps la soustraction proposée , et une augmentat^Hle 1000000, c'est-à-dire d'une oizaine au premier chiffre di^^sultat; donc, pour chaque complément arithmétique que j'aurai introduit, j aurai une^zaine de trop à l'égard du premier chiffre du résultat.
. L'application de ceci aux logarithmes est évidente.
Qu'il soit question , par exemple , de diviser 3760 par 79 , il faudrait retrancher le logarithme ^e 79 de celui de 3760. Au lieu de cette opération, j'écris:
Log. 3760 3,675188
Complément arithmétique du h>g. de 79. . 8,102373
Somme. . 11,677561
Ainsi, i,6n756i est le logarithme du quotient, et répond à 47)59, à moins d un centième près.
Supposons , pour second exemple, qu'il soit question de multiplier IJf par III, il faudrait (106) uAltiplier 676 par 962 , et 627 par 377 , puis diviser le premier produit par le second. Par logarithme , on opérera ainsi :
Log. 676. « 2,829304
Log. 962. 2,978637
Complément arith. du log. de 527. .... 7,278189
Complément arith. du log. de 377 7,423669
Somme. . . . 20,609789
Le logarithme du produit est donc 0,609789, qui, cherché avec trois unités de plus à la caractéristique, répond à 3,234* On peut faire usage du complément arithmétique ,.pour mettra
DE BEZOUT. ,it
les logarithmes des fractions sous la même forme que ceux des nombres entiers, et les employer de même dans le calcul; par là on évitera la distinction des logarithmes négatifs et des logarithmes positifs. Il suffira de se souvenir que la caractéristique du logarithme des fractions, proprement dites, est trop forte de lo unités.
Par exemple, pour avoir le logarithme de f qui n'est (96) autre chose que % divisé par. 4; au lieu de retrancher le logarithme de 4 de celui de 3 , c'est-àvdire de retrancher le logarithme de 3 de celui de 4 9 et de donner au reste le signe — (235) ; au logarithme de 3 , j'ajoute le complément arithmétique du logarithme de 4 ; '
liOg. 3 0,477121
Complément arith. dû log.' 4- • .r- . ^9,39794©
Somme 9,875061 •
Cette somme est le logarithme de j , dont la caractéristique est trop forte ^é 10 unités. Or, il n*est pas nécessaire de faire actuellement la diminution; on peut la rejeter à la fin des opérations dans lesquelles on emploiera ce logarithme.
La même règle s'appliaue aux fractions déciibales; ainsi, pour avoir le logarithme de 0,575 , oui n'est autre chose que X^> au logarithme de 675, j'ajouterils le complément arithmé^ tique du logarithme de looô.
En employant ainsi les complémens arithmétiqpes , au lieu des logarithmes n^atifs des fractions , il n'en est pas plus diffi« cile de trouver dans les tables , les valeurs eu décimales de ces mêmes fractions. Dès que^je saurai qu'un logarithme proposé est , ou renfenne un ou plusieurs complémens arithmétiques , je sais que sa caractéristique est trop forte d'autant de dizapnes qu'il y entre de complémens arithmétiques ; ainçi , si elle passe ce nombre de dizaines, il sera facile de la diminuer, et de trouver le nombipe auquel appartient ce logarithme, et qui ^ra un nombre entier ou un nombre entier joint à une fraction.
Mais si la caractéristique est au-dessous du nombre de dizaines qu'elle est censée renfermer de trop , elle appartient certainement à une fraction que je trouverai de cette manière : je chercherai , par ce qui a été dit (240 ^^ suiif.)^ à quel nombre répond le logarithme proposé; et lorsque je l'aurai trouvé , j'en séparerai par une virgulç , autant de dizaines de chiffres Sur la droite ^ qu'il y aura de dizaines de trop dans la caractéristique.
Par exemple, si l'on me donnait 8,732235 pour logarithme résultant d'une opération dans laquelle il est entré un complément arithmétique , je vois , piûsque sa caractéristique est au-^essou$
laa' ARITHMÉTIQUE
d'une dizftme , qu^il appartient à une fl-âttiob. Je cherche d'a- )x>fd (^2) à qdel iKimbre répofid S^'jSiîsdS, considéré cdmtùe lof^rithme de nombrt entier) je trouve c^u'il t^pond à 53d8o25oo ; #épâra»t 10 cfaiffVes, j'iii d,o639Bo!25oè , pour valeur tres-appi:o- «héi et la fraction qui rép<»nd àti Ic^àrminie prbpo^.
Mais comme il est très-rarement ne'cessaire d'avoir ces frac— ti!Q!fis à «n tel degré de pt^^ci^ioû , on abrégera en dithinuant taiU.de suite la «araotërisiiqfte du IdgaHthine proposé, autàxit qjtt ii &k neècssaôre pcmr k faire toltob^r p4fnïi celles de^ tâbtei ; eLf p^^enan^senlettient le nombre correspondant, cm sépairèfa aUtanl dé chiffiresi de Mi^ins ^tfe ire le ^reterit la règle pi*écé'-^ dehte , autant de moins , dis-je , qu'on aura ôté d'unités a fâ caractéristique' Ainsi , dans le cas présent , je dioâniierais la caractéristique de 5 unités , et , ayant trauyé que 1^ nonibre correspondant ékt S398 , j'en séparerais seulement ciilq chiffres , et j'Mirais o^oSîgS.
Dans tes élévations aux puissances , il faudra observer qu'en fnvlciplitlnt (2^9^ ^ Idgaritnme par le noinbré qui marque le d^gré de k pfxissanee , il ^e trouvera qù*bn multfptiera aiks&i ce dotit liL caractéristique se trouvera trop forte. Ainsi , en élevant au cvhe , par ejtemplé , s'il eiiti^é un complément arithmétique pvopesé, o'est^à-di»e si la caractéristiqtie est «rdp forte de 10 unité», èelle <hi lègatithn^du cube sera trop tôti^ de 3o Unités, et mmsk des autre** Il sertPilonc facile de la tÈctaénet k $à jtme valeur.
Bans les euttàotitMi» des raéîfiie^ , potrr Hït^é iùMté méprï^e, k»t«q^ii'il eirtiret« desi ct^mptëniéns aritbtnéibiqueâ dàtiÈ les logar4Sl»Ëiie$ dont en fera uss^é , ett aura éôïn d'sgotrtéi' ou d*ôter à \k t«fffi(e«éristMfue ftti^n4i de dizaines ^u'il ë^ nécéâ^lre poUr ^iiè «edottieUe^eràfrop l^te soie tyrétisrémetirt d^atïtant de dizaine^ egifa y a d^unitié^ dan^ le notobré ^lii manque le degré de la Mu^aaei et, ayant!, conforitiénàfent à hi règfe owîïtradre , divisé par k nombre <{ui raat^fwe lé* dëgt^ de ht racine , là éai^àttéristîqùe sera DMp forte ]Két^séi»eiit âe 10 uriités.
Par exéttple^, éi od démandé la racine cul)ique de ||y ; au lofg^iûkm&à^it^ , jlajoute le cdtUpIJméikt arithmétique de celui
tog» 27e. • • • ; . . . . . • V w: ;: * • ; V ï . ; ^M<*9>9 Cox^pléinent.a^th. di&log. de $4?. « ^ - <^ ^ . » 7,a630i3
mm^ammÊm^i^ÊmmÊii^
Somme. ; « « . . • 91,702922 A U caractéristique de laquelle j'ajoute. 4 • . . ào
afin qu'elle deyienue trop forte de 3 dizaines » et fat 29,702922
DE BEZOUT. ia3
dont le tiers 99900974 est le logarithme die la racine cubique demandée , mais avec dix unités de trop- à la caractéristique. Ainsi, conformément à ce qui a été observé ci->dessus , je trouve que cette racine cubique est o,7g6| i utoiAs d'un dix-millième près.
L'usage des coniplémens arithmétiques est principalement utile dans les calculs de la trigonométrie^ et par conséquent dans plusieurs des opérations 3u pilotage que Ton veut faire avec une certaine exactitude.
FIN QE l'a|UTB|I^QUC DE BEZOCT.
