io3 1 : : 2854 liy

Ce quatrième terme, qui est. 2786^ i3^ 9^-\h^^ tI*®*^ ^ «oonme que le débiteur doit donner pour retirer son billet.

De la Règle d'alliage.

203. Les questions^ qui appartiennent à cette règle sont, âe deux aortes.

' Dans roue, il s'agît de trouver la valeur iiloyenne ie plusieurs

sortes de cboses, dont le nombre et la valeur particulier àe cha« cane sont connus.

Dans la seconde , il s'agit de connaître les quantités de chaque espèce de choses qui entrent dans un ou plusieuvq^mélangeSy lors* qa'on connaît le prix ou la valeur de chaque espèce , et le prix oi| la valeur totale de chaque mélange.

Nous réservons les questions de la seconde sorte pour TAlgèbre.

Quant aux questions de la première , voici la r^le pour les résoudre.

Multipliez la valeur de chaque espèce de choses, par le nombre des choses de cette espèce; ajoutez tous les produits, et divisez la somme par le nombre total des choses de toutes les espèces^

EXEMPLE

On emploie aoo ouvriers, dont 5o sout payés à raison de 4o sous par jour, 70 à raison de 3o sous, 5o à raison de a5 sous, et 3o i raison de 20 sous ; à combien chaque ouvrier revient-il par jour, Tun portant l'autre?

5o ouvriers à 4o sous par jour font une dépense de 2000. su

La dépense de 200 ouvtiers est donc de 59^0 s. par jour, et

t»ar conséquent (en divisant par 200) chaque ouvrier revient, 'an portant l'autre., à 29 s. 9 den. par jour. Les autres question^ de cette espèce sont si faciles à résoudre , d'aprèf cet exemple > que nous croyons à propos de ne pas insister sur cette matière.

Des Progressions arithmétkfHes.

2o4* La progression arithmétique est une suite de termes dont chacun surpasse celui qui le précède , ou en est surpassé de la même quantité.

* Par exemple , celte suite :

4- i . 4 • 7 • ï^ • *^ • ^^ • 1.9 • 22 . a5, etc. est une progression arithmétique, parce qpe chaque terme j sur* passe celui qui le précède d'une même quantité, qui est ici 3.

Les deux points séparés par une barre, qu'on voit ici à la tête

de ta pvOgresisiOQ , sont destinés à marquer qu*eu énonçant cette

progression , on doit répéter chaque terme , excepté le premier et

, le dernier, en cette manière, i està^ comme 4 csi à fj^ comme 7

€sié> 10, eic.

La, progression est dite crcissûrUe ou décroissante, selon que les terme» vont en augmentant ou en diminuant ; mais coiMne les ipiropriétés de l'uiie et.de Tauitre «ont les mêmes, ea changetat Ij^uiement les moit^ plus ^n moûts, ^ijouteren scaêtrairè, et mut-^

iùi ARITHMÉTIQUE

t^îer ^û dmser /noMs la considérerons ici tini^emerit comme croissante.

èo5. On voit dûïic , d'après la définition de la progressiîon af ithmëtique , qn*âvec le premier terme et la différence com- Èhtme, ou là raison de la progression, on peut former tous les autres termes , en ajoutant conse'cativement cette raison , et que par conséquent :

Le secpnd terme est composé du premier, plus la raison.

Le troisième composé du second , plus la raison , et par conséc|uent du premier, plus deux fois la raison.

Le quatrième est composé du troisième, plus la raison, et par coi^séquent du premier, plus trois fois là raison , et ainsi de suite.

206. De sorte qu'on peut dire j en général, qu'un terme quelconque d'une progression arithmétique est composé du premier, pliis autant de fois la raison qxCiljr a de termes a\fant lui,

tiO'j, Donc, si le premier terme était zéro , tout autre terme de la progression serait égal à autant de fois la raison qu'il y aurait de termes avant lui.

!2o8. Ce principe peut avoir les deux applications suivantes :

,1® Il sert -à trouver un terme quelconque d'une progressipn, sans qu'on soit obligé de calculer ceux qui le précèdent. Qu'on demande ,"^ar exemple, quel serait le centième terme de cette progression : -f 4 • 9 • ^4 • ^9 • ^4? ^'c.

PuUquc ce terme cherché doit être le centième 9 il y a donc 99 içjrmes avant lui ; il est donc composé du premier terme 4 » et de 99 fois la raison 5; il est donc 4 plus 49^9 c'est^à^^dire 499-

269. 2^ Ce même principe sert à lier deux nombres quekooques par une suite de tant d'autres nombres qu'on voudra, de manière que le tout forme une progression arithmétique; ce qu'on appelle insérer entre deux nombres donnés plusieurs moyens propor" tionnels arithmétiques , ou simplement, plusieurs moyens arithmétiques, V •

Par exemple , on peut lier i et 7 par cinq nombres qui fassent une progression arithmétique avec i et 7 ; ces nombres sont 2, 3 , 4i S 9 6; mais, comme il n'est pas toujours aisé de voir, du premier coup .d'ceil, <[ipels doivent être ces nombres, voici comment on peut les trouver à l'aide du principe que nous Tenons de pols^.

il ne »'af^t<que de trouver la raison qui doit régner dans cette progression»

Or^ le pliis ^and des xletix nombres proposés devant être le dernier terme de la progression , doit être composé du pt^^er, c'est-i--dûre -du plus peiit des ^eux nombres^ plus autant de fois la raiâou qiv'il y a: de termes avant lui ; donc, si du plus grand de ces deux nombi%8 on retranche le ^us petit, \e reste sera coffApose d'autant -lie fois la ittison q*^rdoit? y lavoir de termes fUTant

DE BEZOUT. io3

le plus grand ; c'est-à-dire iqu'tl est le-produit de la multiplication de cette raison par le noirfbre des termes qui précèdent Je plus grand; donc (74), si Ton divise ce reste par le nombre dgi terme^qui doivent précéder le plus ffrand , on aura cettç raison.

Or le nombre des termes qui doivent précéder le plus grand, est plus grand d'une unité que le hombredes moyens qu'on veut insiérer entre le,s deux ; donc pour insérer entre deux nombres lionnes tnîH de mojrens arithmétiques qu'on voudra,. il faut retrancher le plus petit de ces deux nombres du plus grand, et diviser le reste par le nombre des mojrens augmenté dune unité. Le quotient sera la différence oU la raison qui doit régner daqs la progression.

Par exemple , si entre 4 et 1 1 on demande d'insérer 8 moyens aritbipétiques , je retranche 4 de 11 , il me reste 7 que je divise par 9 9 nombre de moyens augmenté de l'unité; le quotient -^^ est la différence qui doit régner dans la progression, qui sera par conséquent :

^4 . 4^^, ?| . 6| . 7f 7 f 8| . 9| . loi . M.

Pareillement , %\ l'on demandai^ neuf moyens ari(l|raétiq|iei eotr^ o et .1 f retranchant o de 1 , il reste i qu'il faudrait div^er par 10 9 nombrjsdes moyens augmenté de l'uj^ité , ce qui doiuie 1~> oi| 0,1 poiir la raison. Et par conséquent la progre^ion sera

^ o . 0,1 • Oyd « 0,3 . o^ . 0,5 • 0,6 . 0^7/. 0,8 , p,g . I.

aïo. On voit par U att'entre d^e^x p^ip^re^, si voffin^ qu'ils pnisfeiit être Tiui de 1 iitttr« , on p^i^t timjoiira ii»sérer lant de moyens arithmétiques qu'on voudra.

Mont n'en diron« pas davantage sur lea ptogriq^ioi^ y^ithinétîqœs que nous ne traitons ici que pf r rapport aux logariUifttiQS » dont nous parlerons plus bas ; nous mirons occasion d'y vev^ir niUe|ihi.

Des Progressions géométriques.

211. La progression géométrique est une suite de termes dont chacun contient celui qui le précède , ou est contenu en lui , le mên^e nombre de fois ; par exemj>le cette suite :

•^3:6: in : s^4 • 4^ • 96 • ^9^ 4iit nne profression géo^iiétriqviç , parce quexJiaque terme con<> tient fv^lui qui le procède le même nombre de fois , qui eft ici 2.

Ce Qombiee de fois est ç^ qtf'on appelle la raison 4e la progcession. s

i*es qpaii^e poMU# qtii préci^cleat la progression pnt la même signification qii^ \^% tleux points qui precètient la pogressimp #rithoiéti<|ne (2o4)* Mais on e^ ipet quajtre pour avertir que tf progression est géométrique.

La pr^grfi^fion est di^e croissante on décroissante , félon ^uc les termes vont eu augmentant ou en dimiuiiapt.

io4 ARITHMÉTIQUE

Nous considérerons toujours la progression géométrique comme croissante , parce que les propriété sont les mêmes dans l'une et dans l'autre en changeant le mot de multiplier ea celui de diviser, et celui de contenir en ceux de Ùre contenu^

Puisque le second terme contient le premier autant de fois qu'il y a 4'unités dans la raison , il est donc composé du premier multiplié par la raison.

Puisque le troisième terme contient le second autant de fois qu'il y a d'unités dans la raison , il e^t donc composé du second multiplié par la raison, et par conséquent du premier multi-

Slié par la raison , et encore multiplié par la raison ; c'est-à* ire du premier multiplié par le carré , ou la seconde puissance de la raison.

Puisque le quatrième terme contient le troisième autant de fois qu'il y a d'unités dans la raispn , il est donc composé du troisième multiplié par la raison , et par conséquent du premier multiplié par le carré de la raison , et encore multiplié par la raison ; c'està-dire multiplié parie cube, ou la troisième puissance de la raison. Par exemple , dans la progression ci^dessus^ 6 est composé du premier terme 3 multiplié par la raison 2 ; 12 est composé du premier terme 3 , multiplié par le carré 4 de la raison 2 i 24 est composé du premier terme 3 multiplié par le cube 8 de la raison 2.

212. En 'continuant le même raisonnement, on voit qu'un terme quelcongue de la progression géométrique est composé du premier multiplié pat la raison élevée à une puissance mar^ quée par le nombre dès termes qui précèdent ce terme quel^ conque.

Donc , si le premier terme de la progression est l'unité, chaque autre terme sera formé de la raison même élevée à une puissance marquée par le nombre de^ termes qui le précèdent ; car la multiplication par le premier terme qui est l'unité, n'augmente point le produit.

Four élever un nombre à une puissance proposée , à la septième, par exemple, il faut, suivant l'idée que nous avons donnée des puissances, multiplier ce nombre par lui-même six fois consécutives. Ainsi , pour élever 2 à la septième puissance , je dirais 2 fois 2 font 4 » 2 fois 4 font 8 , 2 fois 8 font 16 , 2 fois 16 font 32, 2 fois 32 font 64, â fois 64 font 128, ce qui serait la septième pujiisahce de 2 ; mais on peut abréger l'opération en dive^es manières : par exemple , je puis d'abord carrer 2 , ce qui fait 4; cuber ce 4 1 ce qui donne 64 9 et multiplier 64 par 2 , ce qui fait 128; où bien je puis cuber 2 , ce qui donne 8 ; carrer 8, ce qui donne 64 9 et multiplier 64 par 2 , ce qui donne 128; ea un mot, peu importe de quelle façon on s'y prenne , pourvu que ^ se trou^ ^ fois facteur dans le produit.

21 3. Le principe que nous venons de poser (212) sur la fonp^-

DE BEZOUT. io5

tion d'an terme quelconque de la progression , et la remarque que nous venons de faire , peuvent servir à calculer tel terme qu'on voudra de la progression , sans être obligé de calculer ceux qui le précèdent. Si l'on demande, par exemple , quel serait le douzième termç de la progression.

TT 3 : 6 ; 12 : 24 :, etc.

Comme je sais (212) que ce douzième terme doit être composé du premier, multiplié par la raison élevée à une puissance marquée parle nombre des termes qui précèdent ce douzième , je vois que , pour le former, il faut multiplia 3 par la onzième puissance de la raison 22. Pour former cette onzième puissance, je cube 2, ce qui me donne 8 ; je cube 8, ce qui me donne 5 12 pour la neuvième puissance, et enfin je multiplie 5i2, neuvième puissance de la raison , par 4 9 seconde puissance, et j'ai 2048 pour la^onzicme puissance de 2 ; je multiplie donc 2048 par 3 , et j'ai 6%^ipour le douzième terme de la progression.

2i4- Une autre application qu'on peut faire du même principe, c'est pour trouver tant de moyens proportionnels géométriques qn'on voudra entre deux nombres donnas. Si l'on demandait trois moyens gépmétriques entre 4 et 64 9 ^^^^ ^^ P^u d'atten-

tion , on verrait que ces trois moyens

géométriques sont 8, 16,

32. En eflfet, tt 4 I ^ : 16 : 32 : 64 forment une progression géométrique ; mais si. l'on proposait d'autres nombres que 4 ou 64 9 ou que l'on demandât tout ai|tre nombre de moyens géométriques , on ne les trouverait pas si facilement. .

Or , voici comment on peut les trouver en veiftu du principe dont il s'agit.

La question se réduit à trouver la raison qui doit r^ner dans la progression , parce que, quand elle sera trouvée, enfermera aisément les termes , par des multiplicationis successives par cette raison.

Qu'il S9it question , par exemple , de trouver neuf moyens géométriques entre 2 et 2048.

2048 sera donc le dernier terme d'une progression géométrique qui commence par 2 ,• et qui doit avoir neuf termes entre le premier et le dernier. 2048 est composé du premier terme 2 multiplié par là raison élevée à une puissance marquée par le nombre des termes qui doivent précéder 2048 : donc (69) , si l'on divise 2048 par le premier terme , le quotient sera la raison élevée à une puissance marquée par le nombre des termes qui doivent précéder 204Ô ; donc , en cherchant quelle est la racine de cette puissance , on aura la raison : or , cette puissance doit être la dixième, puisque, devant y avoir neuf termes entre 2 et 2048, il y en a nécessairement dix avant 2048 : donc , il faut extraire la racine dixi.èitie du quotient qu'aura donné le plus grand nom-o bre 2048 divisé par le plus petit 2.

2i5. Conimé on peut faire le même raisonnement dans tous

iè6 ARITHMÉniÇUE

les ca§ , cottcloons donc en général que , pour insérer entre deux nombres donnés tant de mojrens géométriques qu'on voudra, il faut diviser le plus grand de ces deux nombres par le pbts petit'y ce qui donnera un quotient ; on extraira de ce quotient une racine du degré marqué par le nombre des mojrens augmenté de Vunité.

Ainsi 9 pour revenir à notre exemple , je divise 2048 par 2 , ce qui me donne 10249 dont je cherche la racine diiûème (*) ; eUe ieat 2; donc la raison est a. Ainsi, pour former les moyens e|i question , je multiplie le ^emier terme a continuellement par la raison a ; et , après avoir formé neuf moyens, je retombe maur 3048 , comme on le voit ici : ^ •77 3 ^ 4 • 8 : 16 : 32 : 64 : 128 : 266 : 5i2 : 1024 : 2048.

Pareillement , si Ton demandait de trouver quatre moyens géométriques entre 6 et 48 , je diviserais 48 par 6 , et du c^uotieot 8 je tirerais la racine cinquième ; comme 8 n'a pas de racme cin^ quièm'e exacte , on ne peut jamais assigner exactement «n immubres quatre moyens géométriques entre 6 et 48 : mais oa peut approcher de cette racine , «i près qu*cn le voudra , par ua^ méthode anal<^ue à celle de la racine carrée et de U racine cubique , et que nous ferons connaître dans l'Algèbre. En attendant, il suffit qu'on conçoive qu'il est possible de trouver un nom* bre qui , multiplié qnatre fois de suite par lui-même , approche de plus en plus de reproduire 8, et qu'il en est de même pour toiat autre nombre et pour toute autre racine ; et de là nous conjurons qu'entre deux nombres quelconques, on peut toujours trouver tant de moyens géométriques qu'on voudra , soit exaetemont , soit par une approximation poussée à tel degré qu'on voudra , et c'est ce qu'il nous faut pour passer aux Logarithmes.

Des Logarithmes.

216. Les Logarithmes sont des nombres en progression arîibmétique, qui répondent, terme pour terme, à une pareille ^V^Ue de nombres en progression géométrique. Si l'on a, par exinople, la progression géométrique et la progression arithmétique sui^ vantes :

•77 2 : 4 • 8 : 16 : 32 : 64 î 13^8 : 256, etc.

•7 3 . 5 . 7 . 9 . Il . i3 . i5 . 17 , etc.

chaque terme de la suite inférieure est dit le logarithme 4tt

terme qui est à pareille place d^ns la suite supérieure.

■ " Il .— ^.^ I II I II ■■— — ■— — ■.^fi— — — ^p.»^^»^—

{*) Nous n*a?ou8 pas donné dis méthode pour extraire la raeipe dixième ifita nombre; mats il en est de ceUe-€i comme de la racine carrée ci de la nictiie««ibique : m racine carrée ne doit av^ir (|u'un chiffre lorsque le nombre prppoté n'en n pas plus de deux : la racine cubique ne doit avoir qu'un ciâftre lorsqve le nombre proposé nVn a pas plus de trois ; pareillement U racine dixième D^aoni jamais qu'an chiffre tant q«e le nombre proposé n'eu aura pas plos ée dix : il en est de même pour les atitlvs racines; la trentkkîe, .par exempie, n'aura qu^un chiffre si le nombre proposé n'a pas plus de trenle tjtnffrç/i \ «ela se démontre comme on Ta fait pour la racine carrée et la racine cubique.

^17. Un même nombre peut donc avoir une infinité' de loga-^ jrithmes ditfe'rens , puisqu'à la même progression géométrique on peut faire correspondre une infinité de progressions arithmétiques différentes.

Gomme nous né considérons ici les logarithmes que par rapport à l'usage qu'on peut en faire dans les calculs numériques , nous ne nous arrêterons pas à considérer les différentes progressions géométriques et arithnaétiques qu'on pourrait comparer entre elles; nous passons toiit^ suite a celles qu'on a considérées dans la formation des tables de logarithmes.

218. On a choisi , pour progression géométrique , la progression décuple , et pour progression arithmétique la suite naturelle des nombres; c'est-à-cïire qu'on a choisi les. deux progressions suivantes : '