Réduire un nombre entier en fraction

Soit 7 à réduire en cinquièmes : je multiplie 5 par 7 ; et audessous du produit 35 , j'écris le nombre 5 ; la fraction -^ sera égale à 7 réduit en cinquièmes.

En effet, puisque l'unité vaut cinq cinquièmes, il est évident que 7 unités vaudront 7 fois cinq cinquièmes, c'est-à-dire trentecinq cinquièmes.

Donc pour réduire un nombre entier en fraction, il faut multiplier le dénominateur qu'on veut lui donner par l'entier , et écrire au-dessous du produit le dénominateur qu'on veut lui donner.

59. On ne change pas la valeur d'une fraction quand on di^' vise ses deux termes par le même nombre.

Soit la fraction ~, qu'on divise ses deux termes par 3 , je dis qu'on ne changera pas sa valeur.

En effet , en divisant i o par 2 , on rend les parties de l'unité deux fois plus grandes ; mais en divisant 6 par 2 j on rend le numérateur deux fois plus petit; donc on ne change pas la valeur de la fraction f en divisant ses deux termes par 2; puisque «

ARITH. PEYRAKD. 2

i8 PIUNCIPBS

quand les parties de Tunité deviemient deux fois plus grandes , on en prend deux fois iriôlns.

fc 6o. Deux nombres inégaux étant donnés, trouver leur plus grand commun diviseur.

Soient les deux nombres communs 90249 3760 \ il faut trouver ^eur plus grand commun diviseur.

Divisons 9024 par 3760; que 2 soit le quotient, et i5o4 k premier reste.

Divisons 3760 par le premier reste ; que 2 soit le quotient, et 7S2 le seconci reste.

Divisons le premier reste i5o4 par le second rest^ 7S21 et que 2 soit le quotient sans reste.

Puisque le dividende égale le produit du diviseur par le quotient plus le reste , nous aurons : 9024 = 3760 X 24-1^4» 3?^

Bss i5o4 X 2 + 762, i5o4 = 752 X 2.

Je dis i<* que 762 est un commun diviseur de 9024 et de $^60.

En effet, puisque 762 divise i5o4, 752 divise i5o4 X ^ (34); mais 762 divine 762, donc 762 divise i5o4 X 2 X 782 (35), c està-dire 3760; mais puisque 762 divise Snôo , 762 divise 0760 X 2 (34) ; mais 762 divise i5o4; donc 762 divise 0760 X 2 X i5o4) c'est-à-dire 9024 (35); donc 762 est un commun diviseur de 9024 et de 3760.

Je dis 2® que 762 est le plus grand commun diviseur de 9024 et de 3760.

Que cela ne soit point, et que P, plus grand que 752, soit un diviseur commun de 9024 et de 3760.

Puisque P divise 3760, P divise 3760 X 2 (34) ; mais P divise 9024; donc P divise iSoi (36) : puisque P divise 16049 P divise i5o4 X 2 (34); niais P divise 3760; donc indivise 752 (34)i c'est-à-dire que P, plus grand que 702 , est contenu une ou plusieurs fois dans 752 , ce qui est absurde ; donc un nombre plus Srand que 752 ne saurait être un commun diviseur de 9024 et e 3760.

Donc 752 est leur plus grand commun diviseur*

COROLLAIRt: I.

Il suit de )à que, pour trouver le plus grand commun divisetir de deux nombres , il faut diviser le plus grand par le plus petit, le plus petit par le premier reste, le premier reste parle second , et ^Insi de suite jusqu^à ce que Ton trouve un reste qui divise le reste précédent ; ce dernier reste sera le plus grand commun diviseur de ces deux nombres.

COROLLAIRE II

Si le reste qui divise le reste précédent sans i*este, était Fanké, les deux nombres n'auraient de commun diviseur que

61. Réduire une fraction à ta plus simple expression sans changer sa valeur.

Cherchez le plu;» grand commun diviseur des deux Urtnes de la fraction proposée, et divisez ses deux termes par leur ]^lus grand commun diviseur la fraction sera réduite à sa plirs sitiiple expression sans avoir change' de valeur (54)- %

TO. Tout nombre terrhiné par un eh^re pair ou par un zéro est divisible par deux.

Tout nombre terminé par S est divisible par 5^

Tout nombre terminé par zéro est divisible par S et par 10.

COAOLLAïaB*

Il suit de là y 1* que les deux terme:$ d'une fraction iont divisibles par 2 , lorsque ces deux termes sont terminés ^ar des chi£fres pairs ou par des zéros , ou bien lorsque l'un dès termes est termmé par un chiffre pair et l'autre par zéro;

2* Que les deux termes d'une fraction sont divisibles par 5, lorsque ces deux termes sont terminés par 5 ou par zéro , ou lorsque l'un est terminé par 5 et l'autre par zéro ;

3^ Que les deux termes d'une fraction sont divisibles par 10 , lorsque ces deux termes sont terminés par zéro.

63. On peut diviser par 9 ou par 3 tout nombre dont la somme des chiffres est divisible par 9 ou par 3.

Soit le nombre 18765 dont la somme des chiffres est divisible par 9 et par 3 , je dis que ce nombre est divisible pai* 9 et par 3.

En effet, puisque 10765= loooo + 8000 + 700 + 6b -f- 5, que loooo rz 9999 + i , que 8000 = 1000 X 8 = (999 Hh ï )

évident que 18765 = 0099 + i + 999 X8+8 + 99X 7 + 7 + 9X6 + 6+ 5- Mais les nombres 9999» 999 X 8 , 99 X 7, 9X6, sont chacun divisibles par 9 et par o (34); ^onc leur somme est divisible par 9 et par d (35) ; mais la somme A^s nombres 1 , 8 , 7 , 6 , 5 , est divisible par 9 et par 3 ; donc le nombre 16765 , auquel ces deux sommes sont égales , est aussi divisible patr 9 et par 3 (35). Donc , etc.

COROLLAIBE.

n suit de là que les deux termes d'une fraction sont divisibles

f)ar 9 ou par 3 , lorsque la somme des chiffre:^ du numérateur st a somme des chiffres du dénominateur sont chacune divisibles par 9 ou par 3.

64. Deux facteurs A ef B peuvent recevoir deux amtngemens d^èrens.

Car ^ i^ut écrire 4 Y. B et B y, A. .

loooo = 999Q + I , que 8000 = 1 000 X 8 = ( 999 + ï ) 999 X 8 4- o, que 700= 100 X 7 = (99 -4- i) n =99 + 7, que 60= 10 X 6=(9 + 1)6=9 X 6 + 6, il est

ao PRINCIPES

65. Trois facteufs , A,B, (^^ peuvent reces^oir st^c arrange^ mens différens.

Car chaque facteur étant le dernier, leâ deux autres peuvent recevoir deux arrangemens différens. On aura donc 3 fois 2 arrangemens drfférens , c'est-à-dire six arraugemens difiereus.

66. Quatre facteurs A, B , C , D , peus^ent recevoir vingt-quatre arrange/nens différens.

Car chaque facteur étant le dernier, les trois autres recevront six arrangemens différons ; on aura donc quatre fois six arrangeinens différens, c^e^ît-à-dire vingt-quatte arrangemens différens.

Par le même raisonnement on prouverait que 5,6, etc. , facteurs peuvent recevoir 120, 720, etc. , arrangemens différens.

67. Le produit de deux nombres est toujours le même quel que soit celui des deux qu'on prenne pour multiplicande (*).

Soient les nombres 3 , 5; je dis que le produit de 3 par 5 est le même que le produit de 5 par 3.

Que cinq rangées de trois points soient placées les unes au-dessous des autres.

Il est évident 1" que le nombre des points contenus dans les cinq rangées sera égale à la rangée j4B , répétée 5 fois , c'està-dire au produit de 3 par 5.

Il est évident 2° que le nombre des points contenus dans les cinq rangées est encore égal à la ranî^ée AC, répétée trois fois, c'esi-à-dire au produit de 5 par 3 ; donc le produit de 3 par 5 est égal au produit de 5 par 3. Donc , etc.

68. Le produit des trois nombres 2 , 3 , 4 9 <^< toujours le même, quel que soit celui des trois qixon prenne pour multiplicande , et quel que soit celui des deux autres qu'on prenne pour promit r multiplicateur ^ c'est-à-dire que les trois facteurs peuvent recevoir tous les arrangemens possibles , sans que le produit cesse d!étre le même.

Que deux rangées ÀB ^ DC , de trois points soient chacune placées à côté l'une de l'autre , et que ces deux rangée<$ soient répétées quatre fois, comme on le voit dans la figure -^G.

vers cateu

3X^X4» ^^^* « il faudrait dire n multiplié par 3 , multipli<5 par 4 , etc.

iplie par 4 le produit par 3; donc le nombre des points contenus dans la figure AG est égal à 2 X 3 X 4*

multiplie par 3 le produit par 4 ; donc le nouïbre des points contenus dans la figure AG est égal à 2 X 4 X 3.

Il est évident 3» qu'on aura tous les points contenus dans la figure AG^ %\ l'on multiplie tous les points contenus dans la face AEFB, c'est-à-dire si Ton multiplie par 2 le produit de 3 par 4 ; donc le nombre des points contenus dans la figure AG est égal à 3X4X2; donc les trois produits 2X3X4*2X4X3, 3 X 4 X 2., sont égaux entre eux , puisque chacun de ces produits est égal au nombre des points contenus dans la figure AG j mais chacun de ces produits est toujours le même, quel que soit celui des deux premiers facteurs qu'on prenne pour muUipl^ cande (67) ; donc chaque facteur étant le dernier, les deux aut^s peuvent recevoir deux arrangemens; donc les trois facteurs 2,3, 4 , peuvent recevoir six arrangcmens , c'est-à-dire tous les arraugemëns possibles, sans que leur produit cesse d'être le même.

69. Le produit de quatre nombres, A, B , C, D , e^/ toujours le même, quel que soit celui des quatre qu'on prenne pour multiplia candé, quelque soit celui des trois restans qu'on prenne pour pre^ mier multiplicateur , et quel que soit celui des deux restans qu'on prenne pour second multiplicateur*; c'est-à-^re que les quatre facteurs A, By 0, l^^peui^ent recevoir tous les arrangèmens pcs^ bibles , sans que lexir produit epêse d'être le même.

!i2 PRINCIPES

Je djs qu'on aura A X B X C X D = ji X B X D y C=i AxCxDxB = BxCxDx^^

Je dis I» qu^on aura Ax B x Cx D^=z A X B X I> X C

En effet, puisque A X B , multiplié par €, et ensuite par D, est égal k A X B , piultiplic par D, et ensuite par C (68), il est évident que ^ X ^X Cx DmzAX B X D X C.

J« dis 9t^ qu'on aara^ X^MCx^ = ^X C X D X B.

Bn effet, poUque A X B X Cz=zAX C X ^ (68) , il e9t évi* dent qu'on aura A X B X CxD = AxCxBxD; nmc A X (^p niuhiplié par D, est égal k A X C, multiplié par D, et ensuite pari? (éS); donc A X B X C X Dziz A X C X D X B.

Je dis 3« que ^ X i? X ^ X ^ = ^ X C X D X A.

En effet, puisque A X B X C=B X Cx A (68), il est évident que >^ X ^ X Cx p = Bx Cx A X D; mais B X C, multiplié par A , et ensuite par D, est égal à B X C, multiplié par D, et ensuite par A (68) ; donc A X B X Cx Ds=B X C X D X A; donc A X BxCxD=zAxBxDxC^=A X C X D X B = B X C X D X A; mais, chaque facteur étant le dernier, les trois autres peuvent recevoir six arrange-' mens, sans que leur produit cesse d'être le même; donc les quatre facteurs A, B, C, D, peuvent recevoir vingt-quatre arrangemens différens, c'est-â-dire tous les arrangemens possibles, sans que le produit cesse d'être le même; donc , ^etc.

70. On démontrerait d'une manière sembliAle que 5, 6, 7, etc., facteurs peuvent recevoir tous les arrangemens possibles, sans que leur produit cesse d'être le même.

7 1 . Lç produit de plusieurs facteurs est divisible pe^r tau^ nombre gui divise un de ces fadeurs.

Soit i5 X 7 » je dis que 3 divise i5 X 7.

E^effel, puisque 3 divise i5, et que le quotient de i5 , par 3 , estS, Oii^3 X $5CFi5j(Jonc i5x 7 = 3x 7 = 3x35: nva^ç 3 X 35 est div4«ibkpar 3; do^ç i5 X 7> qu* égale 3 X 35, ç^t aussi divi&iblte i^v 3; donc^ etc.

72. Om, ne change pas la valeur dune fràetion quand 01% tn^thi'* plie ses- deùa termes par le voéme nombre*

Scrït la fraction |; qu'jott mjultiplie ses deuY Urtfaes par 3; j^ 4i^ qu'on ne change pas la va le uv de cette fraetio».

Efi effet, en multipliant 5 par 2^ on rend les palîties die rvaûé deux tei« plu« petites; ms^s çn multipl^nt le puWr^tieuit p^^r 2 , on reM le numére^tei^r deux ibis plus gran^ v donc o^. njç cb^iijg^ pas la v^lew 4? I4 fra^ctipn | en multipliait sesf dîeui^ t^^i!;^^ par 2,^ui9que, qiis^nd les partiçs de l'unité dJÇvi^en]:leni4q^x {q^ plus petîus y çtn en prend fiçux fois plus.

Î3. Rédaim dmx^fwaaiom» eu même dé^iomirHiumr. lultipliez les éeèi« tettseà de k première .pair U d^aoïiiipaiettf

DE L'ARITHMÉTIQUE. aî

ie la seconde , et les deux termes de la seconde par le dénominateur de la première.

Il est évident i* qu'en suirant cette règle on ne change point les valeurs des fraciêons , puisqu'on multiplie les deux termes de chaque fraction par le même nombre (72).

Il est évident 2® qu'on les réduit au même dénominateur , puisque les nouveaux dénomiuatcurssont deux produits égaux(67).

74» Réduire tant de fractions que Von voudra au même dénO'» rmnateur, /

Multiptîex les deux termes de chaque fraction par le produit des dénominateurs de toutes les autres fractions*

Il est évident i* qu'en suivant cette règle, on ne ehvige pas les valeurs des fractions, puisque l'on multiplie le$ deux termes de f haque fraction par le même nouibre (7a) ; il est évident 2<* qu'on les réduit au même dénominateur, puisque les aouveaus dénominateurs sont des produis ^aux (70)..

- 75. Troui^er la somme de plusieurs fractions*

ai les fractions proposées ' ont le même dénominateur, audessous de la somme des numérateurs , écrivez le dénominateur coii^mon.

Soient les fractions j + }, il çst évident que |- -f | !:s ^.

Si les fractions proposées n'ont pas le même dénomraateur, i;éduisez<ies au mén^e dénaoaiiMileur (74)9 et at»- dessous de la somme àe^ numérateurs éarivei le détiominateur commun.

Soient les fractions|y | ; réduisant ces fractions au même dénominateur, on aura ||-, -^. Puisque | sr ^^ et que |ss3 -^^ il est évident que l + WiiHr-ft. Maiç^+ JV=||; doaci + | =

r6. Sousttairo ime fraction d'une autre.

les fractiens proposées ont le même dénominateur , soustrayez le plus petit numérateur du plus grand , et au-dessous du reste écrivez le dénominateur commun.

3i les fractions proposées n*ont pas le même dénominateur, réduisez-les au même dénominateur (74) ; soustrayez le plus petit numérateur du plus gfand, et au-dessous du reste écrivez le i^énominateur commun.

77. La moitié, le tiers, le quart, le cinquihn^e , etc., dCun nombre A , est égala une fraction qm a pour numérateur le nom bre A , et pour dénominateur hs nombres ,^,3,^^S, etc.

Je dis , par exemple , qpe la cinquième partie de trois unités est égale aux trois cinquièmes d^ine senfe unité, c'est-à-dire à trois cinquièmes.

!i4 PRINCIPES

Ea effet y la cinquième partie de trois unités égale la cinquième partie de Tunité, puis la cinquième partie de Tunité, puis enfin la ci nquièipe partie de l'unité ; mais la cinquième partie de Funité est un cinquième ; donc la cinquième partie de trois unit& éf,sAe un cinquième , plus un cinquième , plus un cinquième , c'est-à-dire trois cinquièmes ; donc, etc.

COROLLAIRE

11 suit de là que Ton prend-^a moitié, le tiers , le quarts le cinquième, etc., d'un nombre, en lui donnant pour dénominateur les nombres 2, 3, 4> ^ 9 ^^^'