Dis^iser une fraction par une fraction

Multipliez la fitacUotai dividende par la fractkm diviseur renversée, ''■':'

Soit ~ à diviser par | ; je dis que le quotient sera |-~.

En eâet, pnisque —j est le quotient de - divisé par quatre (87) , il est évident qve le quotient de ~ divisé par ^-, c est-à-dire par la cinquième partie de 4> égalera cinq fois—^, c'est-à-dire f^. Donc,' etc. . \

85. Diviser, un nqptbre entier pavun nombre décinial , un nombre décimal par un nombre entier, et un nombre décimal par un nombre décipiaL

i" et 2* cas. Ajoutez au nombre entier autant de zéros qu'il y «ura de décimales daâs l'autre nombre ; supprimez ia virgule , et faites la division comme à l'ordinaire.

Soit 327 â dîvisier par 5,32 ; je dis que le quotient de 327 par 5,32 est le mèftib que le quotient de 32700 par 532.

Eli effet ,4)tiisque 327 = ^^, et que 5,32 = ^^| , il est évident que 327 divisé' par 5,32 sera égal à ^^^5— ai visé par-J-J^; mil» lilM divisé par A»j = m^i^ =l|J|i ^85). Donc ,^ etc.

n en serait dé même si l'on avait à diviser 327,6 par 34- 3* cas. §qit,52^6 à diviser piM^ 4*27 t Puisque 52,6= y^=4j^, et que 4>?7 =^îl^«'i1 ^^^ évident que 52,6 divisé par 4>27 • égalera ^«.«taivisg p^t.^u.^ais ^V divisé par \^. est; ^al , à -'^^^^^Wr" = -VA-- Ponf , etc. ,

a6 PRINCIPES

Pe la Formation des Nombres carrés, et de rExtrac-

tion de leurs Racines.

86. Si deux nombres sont premiers entre eux, h carré de Pun d'eux est le premier de f autre é

Soient les nombres 71 et 16 qui sont le^ premiers eotre eux; je dis I** que 71 X 71 et 16 sout premiers eatre eux.

Puisque les nombres 71 et i(> sont premiers entre eux , si Fon divise le plus grand par le plus petit, le plus petit par le pve* mier reste , le premier reste par le second reste, et ainsi de suite» on aura enfin un reste qui sera égal à l'unité (60). Que ces cU* visions soient faites , et que 71 divisé par 16 donne 4 PCMir quotient et 7 pour reste; que 16 divisé par 7 donne a pour quotient et 2, pour reste , et que 7 divisé par a donne 3 pour quotient et 1 pour reste ;

Puisque le dividende ëgale le diviseur muHrplië par le quotient , plus le reste , on aura :

71 = 16 iC 4 + 7iî6 = 7 X 2 + 3,7 = 2 X 3 + I.

Multiplions tous les termes de ces égalités par ji, et â h suite de ces égalités ainsi multipliées écrivons ces mêmes égaU* tés , nous aurons :

71 X 71 =71 X i6 X 4+ 7» X 7,71 X 16 «171 X 7X2 + 71 X 2,71 X7 = 7ïXaX3 + 71,71 = 16 X 4 + 7>i6 = 7 X 2 4- 2, 7 = a X 3 + i.

Supposons, s'il est possible, que les nombres^i X ^i et 16. lie soient pas premiers entre enx ; et que le nombre /^, plus grand que Tunité , soit diviseur de ces deux nombres.

Puisque P divise 71 X 71»^ divisera le nombre. 71 >< ï6 X 4 + 71 X 7 , qui lui est égal. Mais P divise 'ti X i6X 4 » puisque P divise ï6; donc P divise 71 X 7; car, lorsqu'un nombre eu divise un autre, il divise aussi ses multiples , et lorsqu'un nombre en divise un autre et une de ses parties , il dtTisé aussi l'Autre partie (34 et 36).

Puisque -P divise 71 X î6, le nombre Pdîvisera 71 X 7 X 3» + 71X2, qui lui est égal. Mais on a dérnootré que P dirvise 7 1 X 7 ; donc P divise 71X7X2 (34) ; donc P divise 71 X * (36).

Puisque P divise 71 X 7, le nembre P diviser^ 71 X a X 3 -jr 7 1 . Mais on a démontré que P divise 71 X a ; donc le pombre P divise 7 1 X 2 X 3 (34)» «t. par conséquent T i (36)* ,.

Puisque P divise 71, P divise 16 X 4 4" 7 qui \\fi est égaJ j mais P divise 16 : donc P divise 16 X 4 (M)> et par conséqi^nt

Puisque P divise 16, P divise 7 X a + a qui W est égal; mais P divise 7 : donc P divise 7X3 (34), et par eoiisëcnieBt a (3Q,

Puisque P divise 7, P divise i X 3 + i ; mais JP divise 7, donc P divise 2X3 (34), et par conséquent i (36) ? donc P^ qui est plus

grand qne Tunit^, divise l'unité, c'est-à-dire qu'un nombre plus grand que l'unité est contenu une ou plusieurs fois dans l'unité , ce qui est absurde. Donc les nombres 71 X 71 et 16 sont premiers etttre eux.

Je dis 2** que les nombres 71 et 16 X 16 sont premiers entre eux.

Multiplions tous les termes des premières égalités par 16,' et à la suite de ces égalités ainsi multipliées écrivons ces mêmes égalités.

Supposons, s^l est possible, que 71 et 16 X 16 ne soient pas premiers entre eur, et que le nombre Q, plus grand que l'unité, sqit (^iviseur de ces deux nombres.

Nous démontrerons de la même manière , que Q sera diviseur de l'unité; ce qui est absurde. Donc 7ieti6x 16 sont premiers entre eux.

Donc , si deux nombres sont premiers entre eux , le carré de î'un d'euK est premier avec l'autre nombre.

87. // est impossible él^ assigner exactement la racine carrée ^e^ nombres qui ne sont pas les carrés Jim des nombres^ X , a ,

Soit le noipbre 7 ; je dis qu'il est impossible d'assigner exactement la racine carrée de ce nombre.

plqs une fraction. Réduisons l'entier en fraction; ajoutous cette ]pouVçlle fraction avec la première , et que la fraction qvii résulte de cette addition soit rçduite à sa plus simple expression. Pifîsquç Iç numérateur et le dénomins^teur sont premiers entre eu.x , le carré du numérateur et le dénominateur se»ont premiers entre eux (86). Mais si le c^rré du numérateur et le dé- ^ominalfeur sont premiers entre eux, le carré du dénominateur et le c^rré du numérateur seront aussi premiers entre eux (86). lV|ais 9i le carre dq pv^mérateur et le carré du dénominateur 9ont premiers entre eiuç y le carré dvi dénominateur ne sera pas divi- §etir dt:^ çprré du numératei^r ;; U çst donc impossible qtae 1«^ c^rré 4^ cette fraction soit égal à 7f II est dope inapo^sible d'assigner exactement la racine carrée d.ç 7. Qn ferait le mçme raisonnamç^t pour t;out autre nombre qui. ne serait pas Jç carré g uu 4«s iiombres^ \y^ 21, a, 4> 5, etç.

Q0R01J.Adai£.

Il suit ^e lâ que les racines carrées de^ nombres 2,3,5, etc. ,

être.