Le carré de ta somme de deux nombres renfehne le carré

du premier y le double du prepiier par le second , et le carré du second.

Soient les nombres 5 et 4 ; je dis que le carré de leur sooime qui est 9 renferme le carre' de 5, le double de 5 multiplié par 4 9 et le carré de 4«

En effet, le carré de 5 -|- 4^*^ ^6^^ ^^ carré de 9, puisque 5 + 4 =9* Mais le carré de 5 + 4 égale 5 -t" 4 P""** ^i^fl f^^* » ^^ encore 4 fois, c'est-à-dire (5 -f- 4) X 5 -|- (5 -|- 4) X 4> c'est-àdire à5 X5 + 5x4 + 5x4 + 4x4' c'est-à-dire à 5 X 5 + ^X5x4 + 4x4j donc le carré de 9 renferme le carré de 5, le double de 5 par 4 » et le carré de 4» Donc, etc.

80. Le carré d!un nombre ne peut a\^oir que le double des chiffres de la racine , ou le double moins un»

Soient les nombres loooo et 99999 9 composés chacun de cinq chiffras.

Je dis d'abord que le carré de loooo, qui est le plus petit nombre représenté par cinq chiffres , a neuf chiffres à son carré, c'est-à-dire le double des chiffres de la racine , moins un ; ce qui est évident, puisque le produit de loooo par 10000 doit être égal à l'unité suivie de nuit zéros (34).

Je dis en second lieu que le carré de 999999 qui est le plus grand nombre représenté par cinq chiffres, a dix chiffres, et ne peut en avoir davantage.

En effet , le carré de 99999 ne peut avoir moi'n$ de dix chiffres, car le carré de 90000, qui est plus petit que 90099, en a dix.

Le carré de 99999 ne peut pas avoir plus de dix chiffres. Car , qu'il en ait davantage, si cela est possible, onze, par exemple, puisque 100000, qui est plus grand que 99999? n'a que onze chiffres à son carré, et que ce carré est le plus petit nombre représenté par onze chiffres , il est évident que le carré d'un nombre plus petit serait plus grand que le carré d'un nombre plus Çrand , ou du moins que le carré d'un nombre plus petit serait égal au carré d'un nombre plus grand; ce qui est absurde. Donc, le carré de 99999 ne peut avoir que dix chiffres. Donc , les carré» des nombres placés entre looôo et 99999 ne peuvent avoir que le double des chiffres de leurs racines, ou le double des chiffres de leurs racines, moins un, etc.

Le raisonnement serait le même pour tout autre nombre. Donc, le carré d'un nombre ne peut avoir que le double des chiffres de la racine, ou le double des chiffres de la racine, moins un.

90. Le nombre des cliiffres de la racine carrée, d un nombre est égal à 'la moitié du nombre des chiffres de son çarr.^ , lorsque le nombre des chiffres du carré est pair, et égal à la moitié du nombre des chiffres du carré ^ augmenté dç T unité, lorsque le nombre des chffres est impair.

Je dis i*^ qu'un nombre de dix chiffres a cinq chiffres à sa racine.

DE L^ARlTHMÉtlQUE. èg

En effet , sa râcitie ne peut en avoir davantage ; car, si elle en avait six , son carré en aurait au moins onze ; elle ne peut pas en .avoir moins ; car le carré du plus petit nombre représenté par cinq chiffres , en à neuf.

Je dis 7? qu'un nombre de neuf chiffres a cinq chiffres à sa racine; car le carré du plus petit nombre de cinq chiffres est le 'plus petit nombre de neuf chiffres.

Le raisonnement serait le même pour tout autre nombre i donc y etc.

91. Puisque le nombre des chiffres de la racine carrée d'un nombre est égal à la moitié du nombre des chiffres de son carré , lorique le nombre des chiffres du carré est pair , ou é^^al à la moitié du nombre des chiffres de son carré, plus un , lorsque le nombre des chiffres est impair, il est évident que si, en allant de droite à gauche, on partage le nombre dont on veut avoir la racine carrée, en tranches de deux chiffres, le nombre des chiffres de la racine sera égal au noqibre des tranches : la première tranche à gauche peut n'avoir qu'un seul chiffre.

92. Extraire la racine carrée d!un nombre de trois, ou de quatre chiffres.

Séparez par une virgule deux chiffres à droite, extrayez la racine du plus grand carré contenu dans la tranche à gauche du nombre proposé, écrivez-en la racine à la droite du nombre proposé, soustrayez le carré de cette racine de la tranche à gauche ; à la droite du reste, écrivez les chiffres de la seconde tranche; ayant doublé la racine carrée de la première tranche, placez un zéro à la suite de son double; divisez par ce dernier nombre le reste du nombre proposé; écrivez le quotient à droite de la racine de la première tranche ; élevez au carré le nombre placé à la droite du nombre proposé : si le carré de ce nombre est plus grand que le nombre proposé, diminuez ce nombre d'une, de deux, etc., unités, jusqu'à ce que le carré de ce nombre ne soit pas , pour U première fois , plus grand que le nombre proposé , et soustrayez ce carré du nombre proposé : je dis que le nombre trouvé sera la racine carrée du nombre proposé, lorsque la soustraction se fera sans reste, et qu'il sera la racine du plus grand carré contenu dans le nombre proposé, lorsque la soustraction se fera avec un reste.

En effet, puisque la racine carrée d'un nombre de trois ou de quatre chiffres doit avoir deux chiffres , des dizaines et des unités (91), et que les deux derniers chiffres, vers la droite du nombre proposé, ne peuvent pas faire partie du carré des dizaines, il est évident que les dizaines de la racine sont la racine du plus grand carré contenu dans le nombre représenté par le chiffre ou par les chiffres de la première tranche à gauche : mais le carré de la racine du nombre proposé doit renfermer le carré des dizaines , le double produit des dizaines par les unités et le

3o PRINCIPES

carré des unités (88) ; donc le nombre proposé, moins le carré des dizaines du nombre propose , renfermera le double produit des dizaines par les unités et le carré des unités; donc, si Ton divise le reste par le double des dizaines, on aura les unités de la racine du nombre proposé, lorsque le carré de la somme des dizaines et des unités de la racine trouvée, ne sera -pas plus grand que le nombre proposé , et le nombre trouvé sera la racine du nombre proposé , ou la racine du plus grand carré contenu dans le nombre proposé.

Exemple. *- Soit proposé d'extraire la racine carrée de 5329. Cette racine aura deux chiffres (91).

Séparez par une virgule les deux derniers chiffres à droite. La racine du plus grand carré de la première tranche à gauche étant 7 , écrivez 7 à la droite du nombre proposé ; de 53 soustrayez le carré de 7 , à coté du reste 4 * écrivez 29 ; divisez le nombre 429 par i4o, qui est le double de la racine de la première tranche suivie d'un zéro ; écrivez le quotient 3 à la droite de la racine de la première tranche ; élevez 73 au carré. Si le carré de 73 est égal au nombre proposé, il est évident que 73 sera la racine du nombre proposé ; et si le carré de 73 est plus petit que le nombre propose^, soustrayez-le de ce nombre; et s'il est plus

{;rand, diminuez 73 d^une, de deux, etc., unités, jusqu'à ce que e carré du reste ne soit pas, pour la première fois, plus grand que le nombre proposé. Il est évident que, si la soustraction se fait sans reste , 73 sera la racine du nombre proposé ; et que , si elle se fait avec un reste, 73 sera la racine du plus grand carré con-^ tenu dans le nombre proposé; car si 73 était augmenté d'une unité, son carré serait plus grand que le nombre proposé.

g3. Extraire la racine carrée a un nombre de cinq ou de six chiffres.

Partagez par des virgule** ce nombre en tranches de deux chiffres , en allant de droite à gauche ; extrayez la racine carrée des deux premières tranche^ à gauche , comme dans le numéro précédent ; à la droite du reste , écrivez la dernière tranche à droite du nombre proposé ; ayant doublé la racine carrée des deux premières tranches, écrivez un zéro à la suite de son double ; divisez par ce dernier nombre le reste du nombre proposé ; écrivez le quotient à droite de la racine carrée des deux preiaiières tranches ; élevez au carré le nombre placé à la droite du nombre proposé : si le carré de ce nombre est plus grand que le nombre proposé, diminuez ce nombre d'un^, de deux, etc.; unités, jusqu'à

DE L'ARITHMÉTIQUE. 3t

œ ^w Sùncmcé se ^t pas, paiw la preaière fois, plus gra^d qtt€ le iiombre proposé, «t «oustrayeE ce carre du iioml>re proposé. Je du qu« le nombre placé à la droite du nombre proposé sera ta racine du nombre proposé, lorsque la soustraclion se fera sans reste , et qu il sera la racine du plus grand carré contenu dans le Nombre proposé, lorsque la soustraction se fera avec an reste-

En effet, puisque la racine carrée d'un nombre de cinq ou de SIX cbïl res doit avoir trois chiffres, des centaines, des dizaines et désunîtes (91), et que les deux derniers chiffres vers la droite du nombre proposé ne oeuvent pas faire partie du carré de la somme des cenUines et des dizaines de la racine, il est évident que la som-< me descenUines et des dixainesest la racine du plus grand carré contenu dans le nombre représenté par les chiffres des deux premières tranches ; mais le carré de la racine du nombre propiié doit renfermer le carré de la somme des centames etdes divines, le double du produit de cette somme par les unités et le carré des unités (88); donc si du nombre proposé on soustrait le carré de la somme des centaines et des dizaines, le reste renfermera le double produit de la somme des centaines et des dizaines par les ùhit^, et le carré des unités ; donc si Von divise le reste par le double de la somme des centaines et des dizaines, 011 aura les ^unités de la racine du nombre proposé, lorsque le carré de la somme des centaines, des dizaines et des unités de la racine trouvée ne sera pas plus grand que le nombre proposé , et le nombre trouvé sera la racine du nombre proposé , ou la racine du plus grand carré contenu dans le. nombre proposé.

Exemple. Soit proposé d'extraire la racine carrée ée i!i53i6; cette racine aura trois chiffres.

Séparez par des virgules le nombre proposé en tranches <îe deux chitfres, en àltunt de droite à gauche ; que la racine des dfeux preinlèriss tranchés à çanche soit de trente-cinq dizaines ; écrivez 35 à la droite du nombre proposé ; soustrayez le carré de 35 des deux fj^mières tranches 5 et à côté du reste 28, écrivez la dernière ttànebe 16? diviser 2816 p^r «joo , qui est le double des dizaines de la racine trouvée ; écrivez le quotient 4 à la droite des dizaines 4e la racine; élevez 354 a« carré; si le carré de 354 est égaâ au BMdbré propesé 5 il est évident que 364 est la racine du ncNffiiyre proposé ; et si ce carré est plus petit que le nombre proposé, souî^ trayez-le du nombre proposé ; s'il est plus grand, diminuez ce nombre d'une , de deux, etc., unités , jusqu'à ce que le carré du reste ne soit pas, pour la première fois, plus grand que le nom- J^re proposé. Il est évident que^ si la soustraction se lait saAS

3a PRINCIPES

reste , 354 sera la racine du nombre propose ; et qne si elle se fait avec un reste , 354 sera la racine du plus grand carré contenu dans le nombre proposé ; car si 354 ^^^i^ augmenté d'une unité , son carré serait plus grand que le nombre proposée

94. Extraire la racine carrée d*im nombre de sept ou de huit, de neuf ou de dix chiffres, etc.

Extrayez la racine du nombre représenté par les chiffres qui précèdent les deux derniers ; écrivez cette racine à la droite du nombre proposé ; soustrayez le carré de cette racine du nombre représenté par les chiffres qui précèdent les deux derniers ; à côté du reste , écrivez les deux derniers chiffres du nombre proposé; doublez le nombre trouvé; écrivez un zéro à la droite de son double ; divisez le reste par ce dernier nombre ; écrivez le quotient à la droite du nombre trouvé, etc.

On démontrerait, comme dans les numéros 92 et 93, que le nombre placé à droite du nombre proposé est la racine de ce nombre , ou la racine du plus grand carré contenu dans ce nombre.

95. Si ce qui reste d'un nombre dont on a extrait la racine carrée est égal au double de la racine plus un , ou plus grand que le double de la racine plus un , la racine trou\^ée est trop petite.

Soit 5476 le nombre dont on veut avoir la racine carrée , que ',1a racine trouvée soit ^3, et que le reste soit 2 X 73 + i , je dis que la racine trouvée est trop petite.

Eneffet, puisque (74)» =(73 +i)»=73 X 73*+ 2 X 73 + 1 (88), il est évident que le carré de 74 sera égal à 5476 , et que la racine trouvée 73 était trop petite d'une unité.

COROLLAIRE

Il suit évidemment de là que , lorsque le reste est plus petit que le double du nombre trouvé augmenté d'une unité , le nombre trouvé est la racine cherchée du plus grand carré contenu dans le nombre proposé.

96. La racine carrée d^un nombre représenté par l'unité suivie d'un nombre pair de zéros est égala V unité suivie de la moitié des zéros du nombre proposé.

Cela est évident , puisque le carré d'un nombre refH'ésenjté par l'unité suivie de zéro, doit être l'unité suivie d'un nombre double de zéros (43).

97. Extraire la racine dun nombre qui n*est pas un carré, de manière que F erreur de la racine enmoins ne soit pas d*un dixihncy d'un centième, dun millième, etc.

Ecrivez à la suite du nombre proposé deux^ quatre, six, etc., zéros, selon que vous voudrez que Terreur ne soit pas d'un dixième, d'un centième, d'un millième, etc.; cherchez ensuite la racine, selon la règle ordinaire, et séparez de la racine autant de

DE UAftiTHMÉTIQUE. 33

dechnales que vous aurez ajouté de fois deux ze'ros; je dis que l'erreur en moins ne sera pas d'une unité' de la dernière décimale.

Soit proposé, par exemple, d'extraire la racine carrée de 7, de manière que l'erreur ne soit pas d'un centième en moins.

A la droite de 7 écrivez quatre zéros y cherchez la racine de 70000 ; 264 sera la racine du plus grand carré contenu dans 70000 ; séparez deux décimales , je dis que 2,64 est la racine approchée de 7 , l'erreur approchée n'étant pas d'Un centième en moins.

En effet , puisque le carré de 264 est plus petit que 70000 , et que le carré de aoS est plus grand que 70000, il est évident que le

carre de , cest-à-dire que rr^ — =- est plus petit que

100 ^ 100 X lOQ ^ ^ ^