û + c -e d, et q^e ^ == a + <^ — c
En effet, puisque a , b \ c , d ^ on aura
donc a '\' d — £?=ô + c — d (27),
c'est-à-dire û = ^ -f- c — d.
De plus, puisque i + ^ = » + f^* P^^ 21^*'^
é + c — c = <i-|-J — c (27) , c'est-à-dire h :=i a '\- d^- c.
On démontrerait de la même manière que if = i + c — r a . et que crss: a-Y d — b. Donc , etc.
ia8. Dans toute proportion continue y le terme moyen est égal à larnoitié de la somme des e:ftr4mçs.
a "^ c Soit la proportion continue <i . i *. ^ . c, je dis que Z> =
En effet, puisque b -}- b =: a -^ c , il est évident que
o = (29). Donc, eto.
129. Si quatre nçmhres sont en proportion arithmétique , -ils seront encore en proportion arithmétique , si l'on met le second term%^ à la placç du troisième, et.le tr^sihmta A'im ptmx> du second, ..•..'
En effet, puhqne a ,b\c , d, ou âttra ...
Û+ rf=4+ c (123).
Ponc a > c \ b .d, pui;>qu'il est démo;itré que a -^ d^r^b ^c (ia5); donc, etc. ^ "
i3o. Si quatre nombres sont en proportion arithmétique, ils seront encore en proportion arithmétique^ si l'on p^^t le pren^er terme à la place du dernier, et le dernier à la place du premier,
Qu€ a . ô * c . ^/, je dis que d , b \ c . a,
£a eSel, pmsqcte a . h \ c . d, Gtt aura
Dope, d . b \ c , a, puisqu'il e^n 4ç»nootié qqç <i + ^=t= * -}- c (laS); donc, etc.
i3i. Si quatre nombres sont en proportion aeitbméêique , ihr seront encore en proportion ariihrnétique , si l'on met les conséquens à la place de leurs antécédens , et les antécédens à la place de leurs conséquens. ^
Que a . b ',tC ' d, }e dis. que b . a \ d * c.
En effet, puisque a . b \ c , d, ou %vira
Donc , & . 4 I d . ç, puisqu'il est démontré qu« a -^ d=s b + c (i25); donc, etc.
Des Raisons et Proportions géométriques.
i32. La raison géométrique de deux nombres est le quotient de la division 4u preirier par le second.
Le premier nombre de la raison géométrique ^'appelle anJécé^ dent , et le second conséquent; l'antécédent et leootîitéquei^imU les termes de la raison.
On représente une raison géométrique en écrivait deipc poiipti entre les deux termes qui la composent.
i33. Si l'on représente par a le conséquent d'wpe ra^isqo géométrique, et par q le quotient de la division du premier terme, par le second , il est évident que le premier terme sera représente' par a X q (54 > cor.).
i34. ^ne raison géométrique ne change point quand on mul-^ tipUe ou q/te Von divise ses d^ux termçs par le m^me nombre.
Soit la raison géométrique a X q \ »; multipliant et divisant les deux termes de cette raison par b, on aura
a X q X b : a X b. et ^^ l p mais
Donc les raisons ay,qXb\ay.b, et — j—^ : - sont
Ou
les mêmes que la raison a X j^ '. ^ (i3â); donc, etc.
i35. Une raison géométrique a X b ; c X â reste la meniez si aux facteurs b, d, o/i substitue deux autres facteurs m, n, pourvu que la raison de va an soit la même que celle de h à à.
En effet , que la raison de m à n soit la même que celle de
m b b k d, îX est évident que — = - (iSa).
Donc ^ - X --= - X ;j(a8),
^^*^^^^ nriT = Tirs ^^^^^
donc la raison a X Tn>k c X n est la même que celle de ^z X ^ k c X d, puisque le quotient de a X Tn par c X ti est égal au quotient de a X b par c X d (i32); donc , etc.
1 36. Quatre nombres sont en proportion géométrique , lorsque le quotient du premier nombre par le second est égal au quotient du troisième par le quatrième.
137. Pour représenter une proportion (^), on sépare le premier nombre du second par deux points , le second du troisième par quatre , et le troisième du quatrième par deux.
Soit la proportion a ; 6 ; * c ', ^; on l'énonce ainsi : a est à b comme c est à d.
i38. On appelle termes les nombres qui composent une proportion. Le premier et le dernier s'appellent les extrêmes; le second et le troisième, les mojrens.
189. Lorsque les moyens sont égaux, la proportion s'appelle continue.
Exemple. a\ b \\ b \ c^est une proportion continue; on peut la représenter ainsi -H* ^ \ b t| c; mais elle doit être énoncée de la même manière que a \ b \\ b \ c,
i4o. Toute proportion peut être représentée par cette formule :
aXq:a\\bXq\b;
(^) Le mot géométrique est toujours sous^ntendu quand on écrit le mot proportion tans qualification.
ce qui est^ évident ; puisque ^ zszq , ti que — --^ =r: q
i4i* Toute proportion continue peut étvo représentt^ par cette formule ,
ou par celle-ci îr:aXqXq\aXq\a. .
Ce qui est évident d'après la définition de la proportion continue (139}.
142. Dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des mojrens.
Soit la proportion géoinélrique a X q \ a \\ b X q \ b ;]q à\s que aXqXb=iaXbXq* Ce qtfi est évident.
Autrement*
Soit la proportion a \ ^ : : c ! rf/ je dis que a X d^^b X c. En effet, puisque a\ b \\ c \ d^on aura
En efiFet, puisque j r= y > ^^ slxxy^
aXb c X b
c'est-à-dire a = — -r — (69).
De plus , puisque a =: ■ ■ , on aura
c'est^^re a x d ^ssc xb (Sg) ;
mais a X d est le produit des extrêmes, et c X & est le produit des moyens ; donc le produit des extrêmes est égal au proauit des moyens.
COROLLAIRE
Il soit évidemment de là que dans toute proportion continuey le produit d«s extrêmes e^ égal au carré du terme moy^rt. . '
ÂRITH. rETRARD. 4
^ PRWGIPES
143. Quatre nombres sont eri proportion, lorsque le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.
Soient les quatre nombres a, ^, c, li; que a X ^ = * X <? / je dis que a\b\\o\d.
En efifet, puisque a%d = cY.h,oxi aura
a y, d ,ij V
c»est-à-dire —^—=0(59).
De plus , puisque ^-^ « c, on aura
« X <f = — (29 , 83), c'est-à-dire -|- = 4" (59)b •/, d d
Donc le quotient de a par 6 sera égal au quotient de c par df donc a : 6 : : c : <i (1 36) ; donc , etc.
lU Quatre nombres ne sont pas en proportion, lorsque le duit des extrêmes n'est pas égal au produit des moyens.
Soient les quatre nombres a,b,c, d; que « X ^ ne soit pas égal à fc X c; je dis que les quatre nombres a, b, c, d, ne forment pas une proportion.
En effet, puisque a X d n'est pas égal kbXc, ^ ne
sera pas égal à 1^ (29**, 77). c'est-à-dire que t^ «
Mra pas égal à c (59). De plus , puisque ^-^ n'est pas ^
i c ±^ ^- ne-sera pas égal à e (29**, 77, 83), c'est - à - dire ' b y. d
que -^ ne sera pas égal à -j. Doue le quotient de â par 6 ne
sera pas égaV^u quotient de c par ^; donc les nombre* a, ô, c,4^, ne seront pas en proportion (i36) ; donc , etc.
i45. Dans toute proportion, un des extrêmes est égal aùproduitdes moyens divisé par Vautre extrême, et un des moyeas est égal au pt^duU dès extrêmes divisé pqr Vaulrc mojrm*
Soit la proportion « : è : : c ; rf; je dis que a = ^ ^ -£ et
que
tf X d[
En eflfet, puisque a X rfas bXe (142), on aura
c'est-à-dire a = — —^ (69).
De plus, puisque aXd=bXc,ou aura
— 7^ == — ^— (^9), c'est-à-dire
= 6, c'estrà-dire * =fL2L:? (5g).
Donc , etc.
146. Dans toute proportion continue, le terme moyen est égal à ta Pacine carrée du produit des extrêmes.
Soit la proportion continuer \b\:b: c; jedisquei»|^^3fj:
En eflfet, puisque i X è = a X c (i4a), il est évident que b = l^a X c (32). Donc, etc.
147. Si quatre nombres sont en proportion, ils seront encore en proportion , si Von met le second terme à la place du troisième et te troisième à la place du second.
Soit la proportion
je dis que a X ? I 6 X ^ Il a ; 6/
Cela est évident, puisque t * = "r- (Sg, i36).
l'48. Si quatre nombres sont en proportion, ils seroht encore eh proportion, si Von met le premier terme à la piaf ç dif derrt^^r et U dernier à la place 4^1 premier^ ^ ' ^
Soit la proportion
aXq: a:\bXq:b, jedis4{ue b \ ay.b X q '.a^q-
St PRINCIPES
Cela est évident, puisque — = — — -- (50, i36).
149. Si quatre nombres sont en proportion, ils seront encore en proportion si ton met les conséquens à la place des antécédens, et les antécédens à la place des conséquens.
Soit la proportion
aXq:a::bXq:b;
je dis que a \ a X q W b \ b X q-
En effet, puisque — - — = — - — = — ,
il est évident que — — — = 7—- — ;
Donc alaXqy.b :b X q (i36).
i5o. Dans toute proportion , la somme des antécédens est à la somme des conséquens comme un antécédent est à son consé-^ quent.
■ Soit la proportion
aXq:a::bXq:b;
je disque a X q + b X q : a + b :: a X q \ a.
En effet , puisque
aX q'\' bX q {a + b) X q a + b ' ^ « + i ~ ^'
et que —^ =5= q (69) ,
il est évident que
donc a X q + b X^ q \ a + h \\ a X J I a (i36) ; donc, etc.
i5ï. Si tant de nombres qu*on voudra sont proportionnels , la sofnme des antécédens est à la somme des conséquens comme uà antécédent est à son conséquent»
Que a X q : a :: b X q : b :: c X q : c ;
je dis que
En effet, puisque
aXq + l^Xq + c X ,q {a + à + c) g
et que ^ ^ ^ = q (Sg),
il est évident que
aXq + bXq + cXq a X q a + ^ + C a
donc a X q+b X q +€ X q : a + b + c y. aX q : y(i36). Donc-) etc.
1 52 ^ Dçns toute proportion géométrique , la différence, (les an^^ técédens est à la différence des conséquensj comme un antécédent est à son conséquent.
Soit la proportion ge'ome'trique a X q \ a\\ b X q \ h;\e A\s que a X q — b X q \ o, — b \\ a X q \ a , on bien que b Xq '•^ a X q \ b — a \\ a X q \ Oy selon que les antéeedens sont plus grands ou plus petits que les conséquens.
P« pff^t «„;«^. aXq—bXq {a ~ b) X q ^ En effet, puisque -^—j ? =- ^ZT* =^?'
et que — j-i = q (5^), on aura
Donc aXq — bXq\a'-^b\:aXq:a (i36).
De plds, puisque
bXq-aXq {b'^a)y.q ^^±}iji^ ^ .k^.
.___ — j, etqtte— --^^jC^j,
il est évident que
Donc 6 X ? — a X ? ; 6 — a : : a X ? I a(i36)5 4wCt^.
COEOLLAIEB.
n suit évidemment des propositions i5o et i5a , que la somme des antécédens est à la somme de$ coi)$équeBS , coinlnei&é)0ièeii(Qe des antécédens e^ A la différence des çoQséquens^ ,,
54 PRINQPES
i53. Si un nombre est à un nombre comme une partie du premier est à une partie rius<econd, lereste dupremier est au reste du èecûnd, corhiHe le premier est au second.
En effet, soient les nombres a,b,^, d; que c soit une partie de a, et </ une parde de *, et que a\b\\ c \ d; je dis que dt— c
Cela est e'vident d'après la proposition précédente.
164. La vomme des deux premiers termes est au second, comme la somme des deux derniers est au dernier.
Soit la proportion a X ql ay.bX q\ b; je dis que û X ?
+ a:a::bxq + b:b.
feeffet,puisqnegAl±S = <y. + ^)><^ t^g+ ,, et ^^e i>i4±^= (^ + 1)^^ . = 9+1 (59), il ert éndeatque
AiTijo
a X «'+ a:6Xgr + -6:C«Xg';« (i36). Donc^ etc.
' rSS^ La ^sûfrtme des deux premiers termes est au premier, comme la somme des deux derniers est au trcÀsikme^
Soit la proportion a')^ q \a V. h >i q\ b) je dis que tf X ? + a\ aX qWkXq + * I ^ X g-
E. effet , puisque -||i- ^ ^^^-J^ = 2^ , et ^ b Xq b X q q ^'^^ ^
donc a X ^ + û : a X ^ : : * X ? + ^ : ^' >^ ? t^'àë). ^
Donc , etc. : \ „ ,.^ . .
i56. La différence des deux premiers termes est aji second, i^HMffé&Va d^Hfnce dés êe'usc iièTniers èsi^ii âèrkief.
Soit la proportion j,/ ' •
ou bien que tf -^ iè '>^' ^ t a '^1 6 — ^ X î : fc.
DE L'ARITHMÉTIQUEl S5
suivaniy[ue les antécëdens sont plus grands oa plui petits que les coinlquens. «
En effet, puisque
et que 1 = "^ -^^ = jr — . i (69),
il est évident que
donc tf X ?-^a: A :: 6 X î — * : *(»3C)*
De plus , puisque^
a — a X q (i — ?)Xtf, a a
et que iri|jLj: = (iJ=l|L>ii = , - , (59),
il est évident que
a -^ ei, X q b -^ b X q — i =: i .
donc a — û X y ; a ! ; ^ t-j& X 5^ t * (i36). Donc, etc.
l5'j. La différence des deux premiers termes est au preff^ier $ comme la différence des deux derniers est au troisième.
Soit la broportion :
a X q je dis que a X q — ^ ou^ienquea, '^^a X q
selon que les fintéç,édens seront plus grands ou |^lus petits que les conséquens.
En effet, puisque /
■ Il * ■ I « -^ ' s;^ ■ ■ I M - I l I CBS. I ^" ^s »
et que — T^é: — ^ 55= "^ i , ■ = (Sg) ,
il est évident que
DoncaXî — «: «X qV.bX q^b \ b X?(i36).
De plus, |Aiisque
et que
il est évident que
àouca—a Xgla XqW b -^ b Xg: bXg(iX).
Donc, etc.
1 58. Tanâ de proporiions gu*on voudra éiant données, le produit des premiers aniécédens est au produit des premiers conséguens comme le produit des seconds émtécédenê est au produit des seconds conséguens.
Soient tant de proportions qu'on voudra :
fxp:
'. ss
je db que
aXnX/XpXAXy:aX/X* .:bXnXgXpXl^Xq\bXgXk.
Su effet, puisque
aXn XfXp X A X g {a XfX h) X {n Xp X q) axfXh aXfXh
=s n X p X g, et que
b X nX g XpX kX g {b X gX k) X {n X p X g) b X g X k A X g X k
^n X p X î(59), il est évident que
aX n XfX p X h X g 6 X » X g Xp X k X q
Done
aXnXfXpXhXq'.aXfXh
::bxnxgxpxf^xq:bxgxk.
Donc y etc.
GOROLLAIRE I.
Il suit évidei|iineiit de là que les carrés, les ctd>es, etc. , des termes d*uoe proportion, forment encore une proportion.
COROLLAIRE H
Il est évident que lorsqu'on multiplie les termes correspondans de plusieurs proportions les uns par les autres , on peut omettre , dans les produits, les facteurs qui sont tout à la fois dans les antëcédens et dans les conséquens de chaque raison.
En effet, soient les proportions
a : b :: c : d b : c:if\ g
Multipliant les termes correspondans les uns par les autres, on aura
aXb\b Xd::cXf:dX g; mais a\c:\ aXb\bX c(i34);
donc a; c ;: c X f : d X g^
Donc, etc.
ïSg. Les racines carrées, cubiques, etc, ^ des termes étune proportion, forment encore une proportion.
Soit la proportion a\ b \\ c ; j; je dis que
que
!n AlIVt nnîiUf 11* .-^ r-r^
\/a : kT :: \/c : yn, etc.
En effet, puisque -r- := -r (i36) , il est évident «{06
rL — ss^-; — , et que -3 — =-r-. «*«• (^a» 33, 33»),
K^ : i^t :: j/T : ylC, etc. (isiS}/, , ;
La proposition préc^Jenten'estvraie que lorsqa'oB peut extraire sans reste les racines carrées , cubiques , etc. , des termes d'une proportion.
Od peut cependant la rt^arder coanme vraie lorsque les racines sont approchées avec un trèi^grand nombre de décimales, parce <|u'alc»K te quotient du premin* terme par le second ne diffère pal gensiblemeqt dM quotient du troisième par le quatrième.
De la Progression arithmétique.
l6o. TTne progression arithmétique est une suite de nombres qnt vont eri augmentant ou en diminuant d'un jnême nombre qu'on appelle différence.
i6i . On appelle termes les nombres qui forment une prf^res^itHi arithmétique.
162. Une progression arithmétique est croissante lorsqneses termes vont en augmentant , et <iécroèssante lorsque ses termes vont en diminuant. Nous ne parlerons que de la progresision aritbjnétiqaecroissaiile.parceque la progression arîilimétique décroissante n'est autre chose qu'une progression arithiaelique croissante reu- Tersée. ' . :. ■' ■
i63. Nous appe)JteK>ns)i;e çlns p»tit4es extrêmes d'une prtgn» sion arithmétique , le premiier tf ri)ie de la ptc^ression , et Iç plfis grand des extrêmes, le dernier terine.
164, On représente une progression arithmétique en séparant ..ï^f-îerpjfiS fOflsécutifo par, un point, *t en piaç^it dpvaot son premier terme deux points séparé;! pacifOe \>gne borizptiùlfi-
i65. Nous appellerons a le pretnief terme d'une prqgresfioa arithmétique; u son dernier tettne; d la différence des termes consécutifs; n le noW^re-des ternies, pt; lescunme des termes.
166. Toute progression arithmétique peut être représentée par la Jbrmule suffi finie ! , 1 ■
5d.a + ^d. a + id .a+2d.a + d.a,
•ression est cfoissaifte fiu décroissiqttSr
ideirt d'après la'definiTisa de la pn^ressRni
î quelco^^t W duneprogaessfot^ Mithmélique , terme à , plus la différence A , prise aittant de ■■ termes. aygnt lui^ ç'eAt'à-4ire ^ue.<u= a -f**^
Ce qui est évident d'après la formule ge'nérale (166).
168. La différence d de deux termes consécutifs d'une progrès^ fiion arithmétique, est égale à la différence des extrêmes divisée par le nombre des termes moins un, ^
En effet, pi^isque w = a + ^ X {n — i) , on aura 0) — û = a + ££x {n — i) — a (27) , c'est-à-dire «• — «œ^X (n— î);
donc = -r (29) ,
c'e9t-à-4ire :==: d, c'est-à-dire d = *^ ^ ,
Dbuc, fetc.
i€p. JEntf*^,deux nombres donnés p e/ q, insérer un nombre m Je m^end i$rithmétiqu€^ '
Qtte/> > y; puisque n = m + ï >
D'M)f%s k formule <f i=ir ^ ■ (160) , on aura ^£ = «^ , ^ , et par conséquent^
yg'g + ^T ^ 'g + ^ X =^^^f-^. î + 3 X R^^ p;
ce. qu'il fallait faire.
Sxxiipu:. Sfttt poopofié d'iosérar quatre iDoyensjproportiDnudis
entre 3 et 7, on aura
d = l^zl^l,
et par conséquent la progression arithmétique suivante :
c'est-à-dire
ce qu'il fallait faire.
170. La somme des termes d^une progression arithmétique est égaie à la demi-somme des extrêmes di et w, multipliée par le
Soit la progression
écrirons au-dessous de cette progression cette même progression renversée de la manière suivante :
il est e'vident que les sommes des termes correspondanssont e'gales entre elles , et que la somme des termes de ces deux progressions est égale à la somme de deux termes correspondans , multipliée ar le nombre des termes de Tune de ces deux progressions. Mais a somme de deux termes correspondans est égale à la somme des extrêmes a, a'{' 3d de l'une de ces progressions; donc la somme des termes de ces deux progressions est égale à la somme des extrêmes a, a -{^ 3d de l'une des progressions , multipliée par le n'ombre des termes de l'une de ces mêmes progressions ; mais la somme de l'une de ces progressions est égale à la somme des termes de l'autre progression ; dune , la somme des termes de l'une de ces progressions est ^ale à la moitié de la somaie des extrêmes multipliée par le nombre des termes.
