Extraire la racine m> <ïun nombre proposé a, de ma

4a PRINCIPES

nière que Verreurne soit pas cCun dixième, (Tun centième, dtun millihme , etc.

Ecrivez à la droite du nombre a^ autant de fois m ze'ro que vous voudrez avoir de décimales ; extrayez la racine m de a suivi de m léro, suivant la règle ordinaire; et sépares de la racine autant de décimales que vous aurez ajouté de fois m zéro.

Celte règle se démontre par des raisonnemens semblables à cèui que nous avons faits pour rapproximatiou des racines carrées et cubiques (96, 97, 107, loa).

Des Raisons et Proportions milkmëtitfixes.

>i3. La raison arithmétique de deux nombres a, b, est la différence de ces deux nombres.

La raison arithmétique de 7 à 5 est a ; la raisoh arithmétiqae de 5 à 7 est a ; la raison arithmétique de a à d est a^^b, 611 b — a, selon que a jdsi plus grand ou plus petit que b.

Le premier nombre d'une raison arithmétique s'appelte ànté^ cédera, et le second conséquent; Tantecédent et le coniséquent sont les termes de la raison .

ii4* On représente une raison arithmétique en écrivant un point entre les deux termes qui la composent.

Pour représenter la raison arithmétique de 7 à 5^ ou de 5 à 7, on écrit 7. 5 ; 5. 7.

11^. Si Ton représente par a le plus petit terme de la raison arithmétique , et par d la différence de ses deux termes , il est évident que le plus grand .sera représenté par a ■■\- d. Il suit de là que toute raison arithmétique peut être représentée par la form ule a + <i. a ^^ ou par la formule ja^^^i i-<^jL. selon que le premier Terme est plus grand ou plus petit que le second.

116. Une raison arithmétique ne change point quand on ajoute à ses deux termes ou quoh en retranche le même nombre^

Soit la raison arithmétique u^d, a , dont la différence est ^ale à d; ajoutons 6 à ses deux termes, ou retranchons b 4e ses deux tenues. Il est évident que la différence de a -(- d-^-b k &'\'by eX que la différence de a + d — b k a — b sera toujours égale à if . Le raisonnement serait le même , si Ton avait la raison a. a -|~ ^*

117. Quatre nombres sont en proportioit aritbinëtiqne , lorsque l'excès du premier, sur le second est égal à l'excès dli trwsième sur le quatrième , ou lorsque l'excès du second «ulr le premier est égal à l'excès du quatrième sur le troisième.

118. Pour représenter une pitiportiou arithmétique^ on écrira nn point entre le premieir nombre et le second, deux points entre

DE L'AMTBMÉTIQUE. 43

le second et le troîsièfne, et un point entre le trobième et le quatrième.

Soit la proportion arithmétique a . ^ ' c . ^^; on l'énonce ûnsi : a est à b comme c est à d.

119. On appelle termes les nombres qui composent unç proportion àrilhmétiquë ; le premier et le dernier s'appellent les extrêmes; le second et le troisième, les moyens.

120. Lorsque les moyens sont égaux , la proportion s'appelle continue.

Exemple, a . b \ b . c est une proportion continue. On peut la repréiienter ainsi ^ a . b , c; mais elle doit s'énoncer de la même manière que a . b \ b\ c^

121. 7\fute prcportian arithmétique est représentée par Tune ou r autre des deux formules suivantes :

suis^ant que les antécédens sont plus grands ou plus petits que leurs conséquens.

Ce qui est évident d'après la définition de la proportion arithmétique (i 1 7).

1 22. Toute proportion arithmétique continue est représentée par Tune ou Vautre des deux formules suivantes :

ou tien

Cela est évident d'après la définition de la proportion arithmétique cOntintie (120).

123. Dans toute proportion arithmétique, la somme des extrêmes est égale à la somme des n^jrens^.

Soient les propél'tian) arithmétiques

a'{'d,a\b'\'d,b,eia,a-\'d\b.b-\'d;

. je dis que

Cela est évident.

Autrement.

Soit la proportion arithmétique a . 6 * c • c/; je dis que a^d ^b+c.

Ea effet, pubque a , b \ c , d , Toq auira

a — ù= c-^ d, ou bien 6 — a=zd — ^(117),

suivant que les antécédens seront plus grands ou plus petits que les conséquens.

Que l'on ait, !• a — b = c — d. Puisque a-^bssic — dj^ ou aura

c'est-à-dire a = c — d-^- b.

De plus y puisque az^c — d-^^-b^ou aura

a + rf=?c — rf + * + J(26),

c'est-à-dire a + ^ =• <? 4" ^*

Que l'on ait I 2* ô — azszd — c. Puisque^ — atud^^c, on aura

c'est-à-dire b = d — c + a.

De plus y puisque h=sd — c -{- a, on aura

c'est-à-dire i -|- c =rf-{- a.

Donc la somme des extrêmes est égale à la somme des moyens , soit que le^ antécédens soient plus grands ou plus petits que les conséquens; donc, etc.

124. Dans toute proportion arithmétique continue, la somme des extrêmes est égale au double du terme mojren»

Soient les proportions arithmétiques continues

a'\' 7.d . a •\' d \ a-{-fl?.«eta.a-(-i/;a-|-^/.a4- 2^/

je dis que

a + 2rf+ « = a X (û + ^,

et que a -|- a -|- 2^/== 2 X (« + ^).

Gela est évident.

Autrement,

Soit la proportion arithmétique continue a.b \b.c, l'on aura

ou bien b — a=c — 6(120),

suivant que les antécédens sont plus grands ou plus petits que les conséquens.

Qu^on ait, i® a — b^b — c, on aura

c'est-à-dire a^ssT^b — c.

De plus , puisque û = 26 — c, on aura

a4-<^ = 26 — c+<?(^6)> c'est-à-dire a -j- c =s aft.

Qu'on ait, a® ^ — û=c — ô; on démontrera delà même manière que 2& =a -f- c. Donc, etc.

laS. Quatre nombtes sont en proportion arithmétique lorsque la somme des extrêmes est égale à ia somme des mqjrens.

^ Soient les quatre nombres a, b, c, d, et que a + d=^b + c:}e dis que a . b l c . d.

Les antëcëdens sont plus grands ou plus petits que les conséquens. Qu'ils soient plus grands;

Puisque a + d=:sù + c, on aura

a + d—d=b + c — d (27); c'est-à-dire a=^ b -{' c — d.

De plus, puisque a=z b -{' c — d,on aura

a — fc = ô + c — d — ^(27), c'est-à-dire a — b = c — d.

Que les antéce'dens soient plus petits que les conséquens.

Puisque a + d = b + c, on aura

c'est-à-dire dsssb+ c — a.

De plus, puisque li = fc + ^ — ^^ ^^ ^^^^

c'est-à-dire d—c^b—a.

Donc a — ô = c — d,^tb — a = ^ — c,

suivant que les antécédens sont plus grands ou plus petits que les conséquens ; donc a. b: c.d{ll^); donc, etc.

126. Quatre nombres ne sont pas en proportion arithmétique lorsque la somme des extrêmes n'est pas égale à la somme des ntojrens.

Soient les quatre nombres a, i, c, d, et que a -|- ^ ne soit pas égal à ô -j- c; je dis q^« les quatre nombres ^ , ^, c, rf, ne sont pas en proportion arithmétique.

46 P&}NCI»)BS

Puisque a -|- c? n'est pas égal à é + ^> ^ + ^"^ 4 ^^ ^^* F** égal i ^ + c — cf (5»7**j> c'es^ - à - di^^^ ^^^ ^ ^e sera pas égal à b •\' c — d.

De plus , pui<ique a n'est pas égal à&-|- c — d, a — ^œ sei^a pas égal k b -{• c — d — b (27**), c'est-à-dire que a + ô ne sera pas égal à c — d, Oji démontrera u de la même manière que b. — a n'est pas égal k d ^^ c. Donc les quatre nombres a, b , c, d , ne sont pas en proportion arithmétique ^117)» donc , etc.

127. r)ans toute proportion arithmétique, un des extrêmes est égal à la somme des moyens moins l'autre extrême; et un des i^i^ei^ es^ égçl à la somme dçs extrêmes moins Vautxt mqyen.

Soit Va proportion arithmétique a . b \ c . if ^ je dis que