PROBLÊME LX

Décrire une stcdon conique qui passe par quatre points donnes y tt quif dans un de ces points ^ touche une ligne droiu donnée de position.

• ( PL VIII, JF7g. 4 ). Soient les quatre points donnés -^,5, C, Z>, et ^£ la droite donnée de position, que doit toucher la section conique au point ji. Joignez deux quelconques des quatre points, D et C par exemple, et prolongez la droite Z)C, s'il est nécessaire, jusqu'à ce qu'elle rencontre en E la ligne tangente. Par le point JS^ menez à Z?(7 la parallèle J7F, qui rencontrera la ligne tangente en F» Ensuite par le point 2>, menez k jiE une parallèle />/, qui ren>contrera BF en T. Sur les droites BFy DI prolongées, s'il est né^ cessaire, prenez FG ^ Hl d*une longueur telle, que vous ayez la

proportion TÈi CExED ilÂFiBFxFG :: DlxIHl BlxIGy

et les points G et H seront ^ comme on sait , à la sectioa conique (66) y pourvu que vous preniez FG, Iff du côté convenable^ par rapport aux points F et I y comme on l'a enseigne dans le problême précédent. Coupez en deux parties égales les droites BGy DCy DH en Ky Ly M; tirez KLy MA qui se couperont en Oi et O sera le centre, A y le sommet, et M H l'ordonnée du demidiamètre A O. Toutes ces choses étant cpnnues , la section conique est déterminée.

Des questions géométriques. 145 problême lxi.

Décrin une secnon conique qui passe par trois points donnés , et qui ^ dans deux de ces points ^ touche deux droites données de position.

( PI. VIII, Fig. ç ). Soient ces points donnes Aj 5, C; les tangentes aux points ^et B ^ AD et BD ; enfin D l'intersection commune des deux tangentes. Coupez AB en deux parties égales au point E ^ tirez DE que vous prolongerez jusqu'à ce qu'elle rencontre en F la droite CF menée parallèlement k ABy vous aurez DF poiur le diamètre de la courbe, et A E et C F seront les ordonnées à ce diamètre. Prolongez DF jusqu'en O, et sur Z?0 prenez OV moyenne proportlomielle entre DO et EO. (*). Faites en Inême temps cette proportion, ÂE : CF :: FE x(FO+ OE) i FF x(^0 + OF). Le point V sera le sommet de la courbe , et le point O en sera le centre. Ces points connus, la figure est déterminée. Actuellement FE^=^FO—OEy et par conséquent

Fe(fO + 0E) = (^F0 — 0E) (FO+OE)='Fà—OE.

En outre, comme f^O est moyenne proportionnelle entre DO et

{*) Le lecteur doit bien ycir que O étant le centre inconnu de la courbe , les lignes DO, VOy EO sont toutes inconnues ;' mais aussitôt que ce point O sera connu ^ ces trois lignes le seront aussi. Car l'équation à la soutangent^ pour l'ellipse et Thyperbole (seules sections coniques qui aient un centre) étant

S = -5 -, on en tire pour Tellipse ^tf* = *(^+*), ou V0z=.E0y,D0.

Donc toutes les opérations que Newton fait avec ces lignes » sont purement analytiques , jusqu'à ce que le centre O soit déterminé*

-rtrf:.*.

146 DELARÉSOLUTION

£0, on aura, FO=sDOxEO; par conséquent ' rO — Ô£ =a DOx OE — ÔE = OE(^DO—OE) = OExDE. Par le même raisonnement on trouvera , VF^VO ■{■ OF)^vd — ÔF = DOxOE — ÔF; par conséquent on a, Te : CF :: DE xEO: DO xOE-'ÔF. De plus, ÔFz=Ëd — iFE x EO + Tè.

Ainsi, DOxOE—ÔF^DOx O E — ÔE + xFE X EO ^ YÉ=aDExEO + iFExEO-~TÉ, et alors TÊi'CF:: DEx

FE

£0: DExEO + iFExEO-^FE :: DE: Z?£ + iF£-45

Ainsi la quantité DE + lEF-^ -^ est connue ; retranchez-la

de la quantité également connue DE + :i.F£^ et il restera, -ys"'

(juantité connue; appelez-la A^, et vous aurez, -^ z=aÉO. Ainsi

vous connaîtrez £0, qui elle-même fera connaître FOy moyenne

proportionnelle entre DO et EO.

Cest ainsi qu'au moyen de quelques théorèmes d'Apollonius , on résout, d'une manière assez expéditive, ces sortes de problêmes, qui peuvent l'être aussi sans autre secours que la seule algèbre. Par exemple, si on voulait résoudre ainsi celui des trois derniers problêmes , oii il s'agit de faire passer une section conique par cinq points donnés, ^, 5, C, Z), £ (P/. Ylll ^Fig. 6); joignez d'abord deux quelconques des cinq points, -^ et C; joignez -en après cela deux autres 5 et £, et les droites -4(7, BE se couperont en un point H. Menez parallèlement à J?£ la droite Z)/ qui rencontrera ^C en'/; menez encore parallèlement BE une autre droite queU conque K L rencontrant AC en X , et la section conique en X%

Supposez qiie la section conique est donnée, afin que le point K étant connu, le point L le soit aussi, en l&isant AKzzx et KLzzy. Afin ^'exprimer la relation qui existe entre les r et les j^, prenez Téquation la plus générale des sections coniques , par exemple , ^ + ^ -^ 4* cx^ -¥ dy -¥ ex y 4- y* = o, dans laquelle a^ b^ c^ d^ e marquent des quantités déterminées avec leurs signes , et :i: et y des quantités indéter*minées. Maintenant , si nous pouvons trouver la valeur des quantités déterminées , nous aurons la section conique. Supposons donc que le point L tombe successivement en^, C, 5,£,Z), et voyons ce qui en résulte. D'abord , que L tombe en ^ , on aura , dans ce cas , AK et KL y c'est-à-dire ^ x et y égales à zéro , et tous les termes de réquation s'évanouiront. Ainsi il faut effacer a de cette équation , qui deviendra , bx + cx^^\'iij^txy-\'y^z=o. Ensuite si L tombe en C, on aura, AK ou x=:AC et LK ou^ = o. Faites donc ACzzf; et substituant / pour ^ , et o pour y^ dans l'équation -à la courbe, elle deviendra A/+ cp = o, ou bien ^ = — cf. Et si on écrit encore — cf pour b dans Téquation , elle se changera en — cfx + cx^ + dy + exy +y^ = o. Ensuite , si le point L tombe sur le point -S, on aura, AK ou jr = AH et KL ou y = Bff. Faites AH=3g^ et BH=s k, et écrivez g au lieu de x^ et A au lieu de y dans Téquatîon, elle deviendra, — c/g+cg^+ ih + egh + A* = o. Si le point L tombe en £, on aura, AKz:=.A H ^ ou ji: = gr, et KL ou yz=iHE. Au lieu de HE^ écrivez — k (avec un signe négatif, parce que HE tombe de l'autre côté de -^C) et en substituant g pour :*: et — k pour y ^ la dernière équation devient, — cfg + cg^ — dk — egk + k^ zz o. Retranchez cette équation de la précédente , et il restera dh + egh + h^ + dk + egk — Jt* = o. Divisez ce reste par A + A, et le quotient sera d + eg +

148 DELARÉSOLUTION

h — il =2 o , multipliez-le par h , et retranchez le produit dh-^egh-^k^ — hk^nOy de réquation — cfg + c^ + dh + cgh-^-h^ =io^ et le reste sera, — cfg + cg^ +'hkj=^o f d'où Ton tire

€ =r ^lif ' Enfin si le point £ tombe en 1?, on aura, AK ou

x=sAI et KL ou^ = DI. Ainsi écrivez au lieu de j4I^ m y et au lieu de Z?/, /i, et substituez m pour xetn pour y dans l'équation — cfx + cx^ + dy + exy +y^ s=z o^ et elle deviendra.... — cfm + cm^ +dn + cmn + n^=zo. Divisez cette dernière par

n, €t vous aurez , '"^•^* + ^'"* ^d + cm+n=iO. Retranchez-en d + eg+ h — A:s=:o, et vous aurez pour reste "^ /^^^ +em — e|f + /2-Â-f*; = o, ou bien "^'^'f'^ ^ n — h + k := eg — cm: Maintenant, à cause des points donnés A^ B^Cy D ^^y les lignes ^C y AH y Aly BHy EHy Dl sont connues. Or ces lignes étant représentées respectivement par/, g', /n. A, *, /«, il s'en suit que

c^ dernières quantités sont aussi connues. Donc l'équation

c =3 -7 nous donne la valeur de c , et c étant connu , nous

aurons la valeur de tg — cm par l'équation ^'^''^^ -h /i — h^k^=ieg — cm. Et la quantité cg — cm ou ^(jf — /w) étant connue , ainsi que le facteur g — m y l'autre facteur c est aussi connu. Tout cela étant trouvé, Téquation d + cg-^-h — A:s=o, ou bien d^k^h-cgy nous donnera la valeur de d. On connaît maintenant la valeur de toutes les quantités déterminées qui entrent dans l'équation cfx =^ cx^ + dy + cxy +y^. Avec cette équation , l'on déter^ minera, par le moyen de la méthode de Descartes, Tespèce de section conique qui résout le problême.

Si on donne seulement quatre points Ay By C'y E et hi position 4*une droitç ^F qui touche la section conique ^ et passe par uo.

4es

des quatre points donnés A^ on pourra plus facilement déterminer Tespèce de section en cette manière : ayant trouvé comme ci-tdessus les équations cfx ssscx'' + dy + êxy +y^; J= k — A — cgy et c c=3 f ^ ^ f imaginez que la tangente j4F aille rencontrer la droite EH en Ff ensuite que le point L se meuve sur le périmètre de la Figure CDE^ jusqu'à ce qu'il vienne tomber au point ^; la raison 'dernière de LK k AK sera celle de FJff à AHf comme il est aisé de le voir en considérant la Figure. Faites Fffsssp^ et dans le cas qui nous occupe, oîi on cherche la raison dernière de LK k A Ky on aura, p l g\l y l x^ oyi -^^^ = x. Donc à la place de x dans l'équation cfx = ex^ + Jy + ^^y + y^f écrivez, -^^ , et il viendra, S££JL aga ';rr 4. jy ^ J-Ul, 4.^». i>ivisez tout par y, et elle

sera réduite à , -^^ = - ^^J^ + d+ -^^ +y. Maintenant, comme on suppose que le point L tombe au point A^ il s'en suit que KL ou y eisx infiniment petit ou nul; effacez donc les termes multipliés par jr, et l'équation sera réduite à -^^ = d. Faites donc c=s ^ ^ »

ensuite d^is^lli^y et enfin #s=a inAiri- Et <:, ty d étant une fois trouvés , l'équation cfx i=i cx^ + dy + cxy + y^ y déterminera la section conique.

( PL VIII , Fig. 7 ). Si enfin on ne donne que trois points AfByCyetlà position de deux droites ATy CT qui touchent la section conique dans deux de ces points A et C, on obtiendra ^ comme ci-dessus , l'équation à luie section conique , cfx =3 cx^ -|dy'^êxy'\'y^. Ensuite si on suppose que l'ordonnée KL soit Tome L I i