PROBLÊME LVIII

Décrire une parabole qui passe par quatre points donnes.

(P/. VIII, Fig. 2). Soient ces quatre points A^B^C^D; joignez ^ et ^, et coupez AB en deux parties égales au point E. Menez une droite quelconque £F que. vous supposerez un diamètre de la parabole, et le point Fy le sommet de ce diamètre. Joignez A et C, et

par le point D menez k AB \à parallèle D G qui rencontrera A C en G. Faites AB:=^ay AC=ib, AG=iCy et GD^d. Sur ^ C prenez une ligne A P d'une grandeur quelconque ; par le point P menez kABhi parallèle /' Q » et supposez que le point Q appartient à la parabole. Faites AP:=^Xy et P Q =y. Prenez ensuite une équation quelconque à la parabole , et qui exprime la relation qui existe

entre AP et P Q. Soit cette équation j^ = e +/:v dr V g^^hx.

Actuellement supposez AP ou a: = o , le point P tombera en ^ , et P Q ou j^ aura deux valeurs , Tune zéro , et l'autre . — A 5. Faisons donc , dans l'équation que nous ayons prise ^ jir = o , elle

deviendra, y = di V^, c'est- à - dire y ^= càzg. De ces deux valeurs, la plus grande est, y=^e + g^, et la plus petite est^ y ^=1 c — g^ = — AB =3 — a. Or àans le cas de X r=a Oj nous avons vu qu'une valeur de y était aussi zéro. Donc on a, o = « + ^ (*), ce qui donne , « = — g* De la seconde équation , c — g=» — a^ on tire, en mettant pour c sa valeur — g, trouvée par la première équation, on tire, dis -je, -^ig=a — a, ou g=sja. Ainsi, au lieu de l'équation que nous avons prise , nous aurons celle-ci ,

y = — j;a +fx ± V ^a"^ +kx.

Supposons encore que AP ou x:=AC^ de manière que le point P tombe en C, nous aurons de nouveau P Q = o. Au lieu de x dans la dernière équation, écrivez ^C ou ^, et au lieu de j^, o, et elle

deviendra, o =s — ^ ^ +/i =t V'^a* + bk. Ou bien

( * ) Il est bien évident que, dans le cas de x = o , la plus grande valeur de y est zéro 4 puisque son autre valeur est négative , et qu'une quantité négative est plus petite que zéro.

ï <î — /& = V^7 tf* + ^A. Et en quarrant chaque membre •

— tf/* + f^b^=^bhy ou bien , /* b — fa = A. Par conséquent , au lieu de l'équadon supposée ^ nous aurons celle - ci • . • :

j.=3— ltf+/Ar iV^^tf" +/***— A^.

Supposons de nouveau que u^Pou x=^AG ou c, nous aurons , PQ^ ou ^ = — GDz=i — d. Ecrivons donc» dans la dernière équa* tion , c au lieu de jt ^ et ~ ^ au lieu de j^ ^ et elle deviendra ,

— ^5= ^\a +/c dty/^a^ +P bc —fac. Ou bien

7 tf — d — /^ =5 V^i tf* +/^bc — /tfc, et ent quarrant chaque membre et réduisant, -^ ad+ d^ + idcf+é^f^=pbc. On voit que / étant l'inconnue , Téquation est du second degré. Si , pour abréger , on feit b — c ou GC^=^k^ et qu*on résolve Téquation ,

on trouvera , /= 4 ± j/ZfJE^JEZHT. / étant ainsi déterminée , réquation y=n — ^a+fx-àz V ^à" ^f^bx —fax^ est entièrement déterminée, et par conséquent aussi la parabole dont elle exprime la nature.

Voici de quelle manière on < la construira. Du point C menez k BD là, parallèle CH jusqu'à ce qu'elle rencontre DG en H; prenez une moyenne proportionnelle DR entre DG et DH; tirez la droite CK^ et parallèlement à CK menez El qui passe par le point E milieu de jiB^ et qui rencontre DG en I; prolongez ensuite lE jusqu'en ^, de manière que vous ayez EF z El :;

..-.1 ..^ft s

EB\DI — EBj alors FE sera un diamètre de la parabole ,

V sera le sommet de ce diamètre , et -y^ sera son paramètre. (64).

Tomt /. H hi

PROBLÊMELIX.

ni

Décrire une section conique qui passe par cinq points donnés,

( Pi. VIII, rig. 3 ). Soient ces points ^, 5, C, D, E. Tirez ACy BE qui se couperont mutuellement en ff. Menez à BE la parallHe JDI^ qui rencontrera AC au point Ij ensuite à ^C la parallèle EKy. qui rencontrera en K^ DI prolongée. U faut prolonger aussi DI jusqu'en F^ et EK jusqu'en G y afin d'avoir la proportion JHxHC : BHxHE :: Ai xiC\ FixiD:: ekx

KG : FK X KD. Et les points F et G appartiendront, comme on sait, à la section conique. U faut cependant observer que si le point H tombe entre tous les points A^C^B^E^om hors de tous ces points, le point / devra tomber entre tous les points AyC^D^F^ ou bien entièrement au-dehors ; et le point R entre tous les points Z?, Fy Ey G y ou entièrement au-dehors. (65). Mais si le point H tombe entre les deux points -^, C, et hors des deux autres points JB, i?; ou entre les deux points 5, £, et hors des deux autres A^ C, le point / devra tomber entre deux quelconques des quatre points A y Cyf\ Ùy et hors des deux autres. De même le point K devra tomber entre deux quelconques des quatre points D^F^E^G^et hors de deux de ces mêmes quatre points. C'est ce qui arrivera en prenant /F, KG d'un côté ou de l'autre des points I et K^ selon que l'exige le problème^ Les points F et G étant déterminés , coupez AC et EG en deujc parties égales, en A^ et en O, ainsi que BE et FD en L et en Af. Tirez A^O, LM qui se couperont mutuellement en Rj et LM et NO seront les diamètres de la section conique; le point R en sera le centre, et BL et FM seront les

ordonnées du diamètre LM. Prolongez LMdc part et diantre , si cela est nécessaire 9 jiisqu^aux points P etQ, de manière que vous ayiez

Wl : FM:: PLxLQ: PMxMQ^ et les pointe P et Q seront les sommete de la section conique ^ et PQ en sera le diamètre

principal. Faites PLxLQ^ : LB :: PQ: Ty et T sera le paramètre. Ces deux lignes connues 9 la section est déterminée.

II reste maintenant à montrer de quelle manière il, faut prolonger de part et d'autre la droite LM jusqu'aux pointe PetQy pour qu'on ait la proportion Tl : FM:: PLxLQ: PMxMQ. D'abord PLx LQ=i{PR — LR){PR + LR), car PL = PR — RL, et LQ = RQ + RL, ou PR + RL. Enfin (^PR — RL) {PR + RL)^

PR—TL On a de même PMxMQ=:(PR + RM)(^PR^RM)^ TA — RM. Donc Tl : FM :: PR'-Tl : TR — RM. Et en soustrayant, Tl — FM : FM :: RM —RLiPR — RM. Par conséquent £L — FM et FM étant donnés, ainsi que RM — RL^ il s'en suit qu'on aura aussi, PR — RM. Et si à cette dernière quantité vous ajoutez la quantité donnée RM^ la somme sera PR^ Ponc Ton connaîtra le demi-diamètre PR = QR,

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