DE L'EXTRACTION DES RACINES

JLjORS (iV^ON veut extraire la racine quarrie (Tun nombre^ il faut par» tager ce nombre en tranches de deux chiffres chacune ^ par une petite virgule^ en partaru de l* unité; ensuite il faut écrire au quotient ou à la racine la Figure dont le quarri est égal aux Figures qui précèdent la première virgule^ ou du moins la Figure dont le quarri approche le plus des Figures ou de la Figure précédant la première virgule. Et après avoir retranché ce quarré j on trouvera successivement les autres chiffres de la raciru^ en divisant le reste par le double de la partie trouvée de la racine , ayant soin chaque fois quon trouve une nouvelle Figure À la racine de la multiplier par elle^mêmi , et par le double des Figures déjà trouvées , et de retrancher ce produit du reste. Ainsi pour extraire la racine de 99856,

séparez par des virgules de cette manière.. . . 9,98,56 Ensuite cherchez le nomhre dont le quarrc 9

égale la première Figure 9, c'est 3. Ecrivcz-r o 98

le au quotient ; et de 9 ôtez 3 x 3 ou 9 , ^ ^

le reste sera o, à côté duquel vous des- 3756

cendrez la tranche suivante 98; et négli- 375^

géant la dernière Figure 8, dites: combien o

de fois le double de 3 , ou 6 , est-il contenu

dans la première 9 ? Rép. i . Ecrivez donc

I au quotient , et ôtez i X 61 , ou 61 de 98, et il restera 37, à côté

duquel descendez le$ dernières Figures 56, et il viendra 3756; nombre

sur lequel il faut recommencer Topcration. Ainsi négligeant la

dernière Figure 6 , dites : combien de fois le double de 31 , ou 62,

D E s R AC I N E s. 35

est41 contenu dans 375 ? (On peut facilement conjecturer la répons^ en voyant combien la première Figure 6 du diviseur est contenue de fois dans' les deux premières 37 du dividende. ) Rép. 6. Ecrivez 6 au quotient, et ref3:anchez '6 x 6z6 , ou 3756 , et il ne restera rien; ce qui prouve que l'opération est achevée. , et que la racine est 3 1 6« Si on demande la racine de 121 78791 9 commencez par le séparer en tranches de deux chiffires en allant de droite à gauche , et opérant sur les deux Figures qui précèdent la première virgule , cherchez quel est le nombre dont le quarré approche le plus de 12 ( )e dis, approche le plus, car il n'est aucun nombre dont le quarré soit exactement égal à 22) , vous trouverez que c'est 4 ; car 5 x 5 , ou 25 , est plus grand que 22, et 4X4 est plus petit; donc 4 sera la première Figure de la racine. Ecrivez donc 4 à la racine , et

de 22 ôtez 4 X 4, ou 16, et il restera 6. A côté de ce reste, descendez la tranche suivante 17, et vous aurez 617 qui» étant divisé par le double de 4, vous donnera la seconde Figure de la racine. Négligez donc la dernière Figure 7 , et dites : combien de fois 8 est -il contenu dans 61 ? Rép. 7. Ecrivez 7 au quotient, et de 617 ôtez le (MToduit de 7 par 87, ou 609 , et il restera 8. A côté de ce reste descendez les deux Figures suivantes 87, et vous aurez 887,

,36 DEL* EXTRA. CTION

qui , étant divisé par le double de 47 , ou 94 , vous donnera là troisième Figure de la racine. Dites par conséquent : combien de fois 94 est-il contenu dans 88 ? Rép. o. Ecrivez donc o au quotient, et descendez encore à côté de votre nombre les deux dernières Figures 91, et vous aurez 88791, qui, étant divise par le double de 470, ou 940, donnera la dernière Figure de la racine. Dites donc : combien de fois 940 est-il contenu dans 8879 ? Rép. y. Ecrivez 9 au quotient, et vous aurez pour racine 4709.

Mais ayant fait le produit de 9 par 9409 , ou 8468 1 , et l'ayant retranché de 88791 , il reste 41 10, ce qui annonce que 4709 n*est pas la racine exacte du nombre 21178791, mais qirelle est un peu plus petite. Alors dans ce cas, et dans tous ceux qui lui ressemblent^ si on veut approcher plus près de la véritable racine, il faut continuer Topération par les décimales, en ajoutant, pour chaque nouvelle opération, deux zéros à côté du reste. Ainsi au dernier reste 41 10 ajoutant deux zéros, il devient 411000; et si on divise •ce nombre par le double de 4709, ou 9418, on obtiendra la première Figure décimale , c'est-à-dire 4. Ecrivez donc 4 au quotient ^ et retranchez son produit par 94184, ou 4 x 94184, ou 376736 du nombre 41 1000, et il restera 34164. Placez encore deux zéros à la droite de ce nombre , et poussez de cette manière l'opération aussi loin que vous jugerez à-propos , vous aurez enfin pour racine 4709,43637, etc.

Lorsqu'on est parvenu par la méthode que nous venons d'enseigner, à obtenir la moitié ou plus des chiffres qu'on se propose d'avoir à la racine , on peut obtenir les autres par la seule division. Ainsi dans l'exemple actuel, si nous voulons extraire la racine jusqu'à la neuvième Figure ; après avoir trouvé les cinq premières 4709,4 ,

on peut obtenir les quatre dernières 3637 en divisant le reste 34164 par le double de 4709,4.

Par exemple , si on demande la racine de 3 2976 poussée jusqu'à cinq Figures : après avoir partagé ce nombre en tranches ,' comme à l'ordinaire, écrivez i au quotient, parce que i X i , ou le quarré de I est le plus grand quarré contenu dans 3 qui précède la première virgule; retranchez i de 3, et il restera i , à côté duquel descendez la

tranche suivante 29, ce qui fera 229. 3,29,76

Négligez la dernière Figure 9 , et divisez '

22 par le double de 1, ou 2, et vous 129 '

trouverez qu'il y est plus de dix fois ; mais 224 il n'est jamais permis de prendre le diviseur ^^g

dix fois, ici même on ne peut pas le 361

prendre neuf fois , parce que 9 x 29 , ou ^^

261 , est plus grand que 229 , d'oîi il faudrait le retrancher ; ainsi écrivez seulement

8 au quotient, et ôtant 8 X 28 , ou 224 de 229, il restera 5, à côté duquel descendant les deux dernières Figures 76, vous aurez 576. Cherchez combien le double de 18, ou 36, est contenu de fois dans 5 7 , et vous trouverez qu'il y est i . Ecrivez i au quotient , et retranchant le produit i x 361, ou 361 , de 576, il' restera 215., Enfin, pour obtenir les autres Figures, divisez le reste 215 par le double de 181 , ou 362, et vous trouverez les deux Figures 59 que vous écrirez au quotient, et la racine sera 181,59.

On tire , par la même méthode , la racine des nombres décimaux. Ainsi la racine de 329,76 est 18,159; et celle de 3^2976 est 1,8159; et celle de 0,032976 est 0,18159^ et ainsi du reste. Mais celle de

DE L' EXTRACTION

3197,6 est 57,4147; et celle de 31,976 est 5,74147. De même la racine de 9,9856 est 3,16; mais celle de 0,99856 est 0,999179, etc^ On peut se convaincre de la vérité de ces résultats par les exemples que nous plaçons ci-dessous. Un point avec une virgule sépare les décimales d'avec les entiers.

Je comprendrai dans une règle générale l'extraction de la racine cubique et de toutes les autres : la méthode en est facile à comprendre , quoique la pratique en soit assez longue ; mais pour ne pas retarder la marche des commençant , je glisserai légèrement sur des calculs d'un usage très-peu commun.

// fetut partager' toute la quantité en tranches de trois chiffres à compter des unîtes , si on cherche une racine cubique ^ et en tranches de cinq chijfres , si cest une racine cinquième^ etc.; ensuite écrire au quotient une Figure dont le cube ou la cinquiïme puissance ( selon qu'on cherche une racine cu^ bique ou une racine cinquiime') égale la Figure ou les Figures qui préckdent la prenuhx virgule ^ eu du moins qui en approche le plus en wmn$i et ayant retranché cette puissétnoe , vous obeiendrei le second chiffre de Im radm in divisant le resu auquel vous aure[ jùint le premier chiffre de la tranche