DES RADICAUX
les deux termes au même dénominateur... y ^*^''«* + 4^^p'»' devient
fl' WJ»
en extrayant la racine du diviseur, , commun aux deux termes....
rr
devient, dis-je, -^ t/o^ + 4/^. Et 6 V/|i ou 6 V^7\ devient. .
6 .jy i (çn extrayant la racine du diviseur f|) ou bien ^ k | , ou bien Àf- V^, et en extrayant encore la racine du dénominateur 4... •y- V/ 6. Cest ainsi que a y JL , bu ce qui est la même chose , a l/'-ii- devient -^ V^a ^ ( en extrayant la racine du dénominateur tf*), ou enfin V^ab, Et v S a^ b-k- 16 a^^ ou ce qui revient au même , y S a^ {b+^a) devient 2 a yb + 2 /ï , en extrayant la
racine cubique du diviseur 8^'. De même si on a y a^ x^ on peut tirer la racine quatrième de son facteur a?- qui devient alors Va , et le multipliant par yax^ on a V^ . y ax^ ou biçn en extrayant la racine quatrième du facteur a^j elle devient ay^ . De même
y^^x^ peut être changé en a y a x^ , ou bien ^n x a J/^— > ou même encore en Vax ya^x. (7).
Au reste, cette réduction ne sert pas seulement à abréger les expressions .des quantités radicales, mais çncore à les additionner et à les soustraire , lorsqu'elles sont réduites à leurs plus simples termes , pourvu toutefois que leurs signes radicaux soient de même degré ; car autrement l'addition et la soustraction seraient impossibles : c'est ainsi
que V48 + V 75 ; ou ce qui est la même chose
Vi6 . 3 + V 25 • 3 deviennent , par la réduction , 4 V^3 +5 V3 ou
64 DELARÉDUCTION
9 v/3. Et /Jg — V/I4 devient 4 Z^- ^l^Jou ^ V^J. De même
^/Tpr-^ l/ZIEÎfyï+ï^ ou bien
1/IEIIL+ y/^ (^'-44^ + 4^')^^ devient, en tirant hors du
radical tout ce que cette quantité contient de rationnel *
2l^\/7b + -î-=llL \/7b, qui se réduit à ^ V'TT. Et
|/^8 tf' ^ + 16 fl* — |/^^* + 1 tf ^* , ou ce qui revient au même • . .
J/^8 tf' (*+ itf) — K ^' (^+.2tf ), et en tirant de cette quantité tout ce qu'elle contient de rationnel , elle devient
2 a yb + la "T^ by t+ la qui se réduit à 1 a — b yb + 1 a»
De la réduction des Radicaux a la même dénomination*
Lorsqu'on a des quantités radicales de différentes dénominations à multiplier ou à diviser , il faut d'abord les ramener à la même dénomî^ nation; ce qui se fait, en donnant pour exposant à leur radical commun le plus petit nombre qui puisse être divisé sans reste par les autres exposans; et en multipliant les exposans des quantités sous le signe par le nombre même qui a servi à multiplier l'exposant du signe.
Ainsi V^lc à multiplier par y a^ x , devient d'abord ya^ jc' qu'il
faut multipliçr par ya!^ x^ y ce qui donne ya7x^. Et ko" par.
yaxy devient ya^k multiplier par yax^ ce qui donne ya^x»
Et V6 par |/ {, devient y -^6 k multiplier par y{y ce qui donne
/^^ ou K 30/ Par la même raison, a\^c devient V^
muldpliaiit
multipliant VTc ou V t^ bc. Yxj^aV-^bc devient V^ 1 6 ^^ , multipliant V -^bc ou V j^%ar bc. Et 2 tf kM- 2. a devient J/ 8 tf% multipliant J/ A + 1 tf ou 1/8 a^ b+ i6a\ De même encore — ^ devient . . r- ou bien 1/ -IL. Et ^Z devient — J ou bien..
\/x a b. Et ainsi du reste.
De la réduction des Radicaux a leurs expressions radicales les plus simples par l* extraction des Racines.
Lorsque les racines sont composées d'une partie rationnelle et d^Ine partie radicale quarrée y il faut en extraire la racine de la manière suivante :
A désignera la partie la plus considérable d^unt quantité qiulconque proposa
et B la moindre ; — ^^ sera U quarré de la plus grande partie de
À ___ ^^ À^ ^__ /î* la racine , et sera U quarré de la plus petite qu'il faudra
joindre à la plus grande avec le signe de B. (8 )•
Si la quantité proposée est, par exemple, 3 + k8^, en écrivant 3
pour A et V^8 pour B; V A^ — B^ sera i, et le quarré dd la plus
grande partie de la racine sera ^"^^ ou i , et le quarré de la plus
petite sera ^""' ■ ou i : donc la racine de la quantité proposée est
Vi + V 2 ou bien i + V \.
S'il s'agit dé trouver la racine de V32 — V/24, je fais ^= K 32
et B = V'^^ alors V A"- — B'- devient V^i — 14= V^S", et. . ... Tomt I. I
66 DELARÉDUCTION
j+i^^=^ ^^^.^^^ >^> + i/F ou bien 3 v/I î et -<-^"^^^^^
devient — i^^^^ — L ou bien Vi, Cest-à-dire , que le quarré de la plus grande partie de la racine est 3 Vi , et le quarré de la plus petite est k 1. Par conséquent la racine quarrée de la proposée est
De même si on a a^ + ixVa^ — x^ dont il faille extraire la
racine quarrée , faites ^ =3 û* , et B = xx V a^ — jc* , et vous aurez ji^ — B^ =3d^ — 4 x^ (a^ — x^) ou bien d^ — j^a^ x^ + /^x^ dont la racine est a^ — i x^. Le quarré de la plus grande partie
sera donc ^ ''^ "^ ^ * ou a^ — x^ ; et le quarré de la plus petite tf» — (tf^ — 2x«) ^ ^^^ ^2 ^ ^^ p^^ conséquent la racine de la proposée est
Vx^" + Va^-x^ ou bien x+ V^^—x\ Qu'on ait encore la quantité
a^ + yax — iaV^ax+4x^ dont il faille extraire la racine quarrée ;
faites a^ + ^ ax:=iA y et laV^ax + ^x^ =z B ; alors A^ — -S* deviendra tf'^ + 10 a^ x + 1^ à^ x^ - 4^' jc- i6a^ x^yCe qillseréduità, a^ + 6 a^ x + ^ar x^y dont la racine quarrée est a^ + ^axy valeur
de vA^" — B^. Maintenant le quarré de la plus grande, partie de la
racme ou r- — f =5 -î-XJ X — xJ — =: «^ + 4^ jt; et
le quarré de la plus petite partie , ou «
quarrée de la quantité proposée est ^a^ + 4ax — V^ax.
Enfin qu'on demande la racine de 6 + y S — V12 — v 24. le fais 6+ V/8"=^ et B =: — VTx — V^ ; alors ^» — ;»* = ».
DESRADICAUX. 67
Donc la plus grande partie de la racine est J/ 3 + K 8 = i + V^, comme ci-dessus; et la /plus petite partie de la racine est k 3. Donc enfin la racine de la proposée est i + k 1 — K3 .
Au reste , lorsqu'on a plusieurs radicaux de cette espèce , on peut trouver les parties de la racine beaucoup plus promptement , en divisant le produit de deux quelconques de ces quantités radicales par une autre quantité radicale qui donne pour quotient un nombre rationnel
et entier ; car la racine du double de ce quotient sera le double de la partie de la racine cherchée. Prenons le dernier exemple oîi nous avions
^8, V^TT , V^i4, et faisons d'abord — ^' '^ ==2.; ensuite. . . .
^^'^^ =3 4, et enfin ^'^'^^^ = 6 ; donc les parties de la
racine sont i, VT, V/3 , comme ci-dessus. (9),
Il y a aussi des règles pour trouver les racines plus élevées des quantités numériques , composées de deux parties, qui, étant élevées au quarré, deviennent commensurables.
Soit une quandtc composée dis deux parties A dti B ; que A soit la plus grande ; et que U degré de la racine soit indiqué par c. Cherche[ le plus petit nombre n dont la puissance n^ soit divisible sans reste par A^ — B^j et soit le quotient Q; prene^ en nombres entiers la valeur la plus approchée de
VA + B. V^, et que le résultat en soit r. Divise^ A VQ par son plus grand diviseur rationnel^ et que le quotient soit s. Prenez la va&ur la
plus approchée en nombres entiers de -77^; «^ soit ccue valeur t; es
ts ± l^t» J» — Il
sera la raàm chtrchUy si clU est susceptihk (TextraC"
ùon. (lo).
Qu'on ait, par exemple , à extraire la racine cubique de V 968 + 25 ;
on aura A^ — 5* = 343 , dont les diviseurs sont 7,7,7. Donc
« = 7 et Q= I. Ensuite -rf+ 5 V Q ou V968 + 15 , a une valeur un peu plus grande que 56; car, en tirant la racine approchée du premier terme, on trouve 31, qui, étant ajouté à iç, donne 56, dont la racine cubique la plus approchée est 4. Donc r=3 4. De plus , A vQ ou V^968 devient , en extrayant tout ce qu'il y a de rationnel, v 4 . 121 . 2 ou 22 V 2. Ainsi en divisant 22 Vi par toute sa partie rationnelle , le quotient est Vi. Donc s = vxy et
— -— devient — -^- ou 4 ou 4 , ou , en se contentant
de prendre en nombres entiers sa partie la phis approchée, \l^ ^ : Et en prenant encore dans cette dernière quantité la valeiu: la plus approchée en nombres entiers, elle devient 2. Oa a donc / = 2 et
fi= 2 v/2, et V t^s'-n^ v/¥ir^= I, et î^=: r. Donc 2 v/ 2 4- 1 est la racine cherchée , si pourtant la racine de la proposée est susceptible-d'extraction. Je l'essaye donc en élevant z VT+ i. au cube, et U me vient ^^+ zj. Donc la racine est exacte.
Soit encore 68 — V4374, dont il faille extraire la racine cubique. On aura ^* — 5* = 250. Ses diviseurs sont .-5,5, ^, a. Faisons ^=>^X 'i = io. Etn' = 10' s=3 1000 qui se divise sans reste par
DESRADICAUX. 69
150, et donne pour qubdent 4. Donc Q =3 4. Et y A+B . V^Q,
ou bien k (68 + V^4374) . V^ étant pris en nombres entiers les
plus près de sa valeur , donne 7 == r. De plus AV Q ou 68 V^ , en extrayant tout ce qui est rationnel , est 136 vT. Donc i = i et
OU
Z z OU ^ = 4. Donc / = 4 , en se bornant aux
nombres entiers les plus approchés. Donc ts = 4 et
\/ i^s' — n=i V^i6— 10 = /? et l/^ ou 1/7 == |/^*- Par conséquent la racine qu'il faut essayer est V- •
Si on demandait la racine quarrée-cubique (*) de 19 v6 + 41 K 3 , on aurait A^ — 5* = 3 , on aurait aussi /2=3, Qc=8i, r=5,
5 = ^/6", r=»i, / i = V/ô" et /?irZT= V/6 — 3 =3 /J; et yQ, = K ^* ou y^. Ainsi la racine qu'il faut essayer est. , .
Au reste , dans des opérations de cette espèce , si la quantité contient une fraction, il faut réduire tout au même dénominateur, et prendre séparément la racine du numérateur et du dénominateur. Si les termes de la quantité avaient un commun diviseur, il faudrait prendre séparément la racine de chacun des facteurs. Si on demandait , par exemple , la racine cubique de V241 — 1 1 ^ , il faudrait
(*) C'est ce qu'on appelle plus communément la racine cinquième.
