DES DIVISEURS

Quelquefois on trouve les diviseurs plus facilement que par les règles précédentes. Par exemple, lorsque dans la quantité proposée une lettre ne se trouve que d'une seule dimension , il faut chqfcher le plus grand commun diviseur des termes dans lesquels cette lettre se trouve, et des termes dans lesquels elle ne se trouve pas, et ce diviseur commun divisera toute la quantité proposée; et si on ne trouve aucun diviseur commun, on peut être sûr que la proposée n'a point de diviseur. Par exemple , soit la quantité proposée x^ — ^ax^ — Sd'x^ + iSa^x + cx^ — acx'' — Sa'cx+ 6a^c — Sa"^; cherchez le diviseur commun des termes + cx^ — acx^ — Sa^cx + 6a^€y où c n'est que d'uge dimension, et des autres termes x^ — 3 ax^ — Sa^x^ + iSa^ X — 8a^, et ce diviseur commun x^ + lax — ifl* divisera la quantité toute entière.

Lorsque la seule inspection de deux quantités ne suffit pas pour faire découvrir kur diviseur commun^ on parvient à le trouver en retranchant continuellement la plus petiu des deux quantités de la plus grande , et ensuite le reste y de la plus petite; et le diviseur cherché sera enfin celui qui ne lais^' sera aucun reste. Ainsi pour trouver le plus grand commun diviseur des nombres 103 et 667, ôtez trois fois 103 de 667, ôtez ensuite trois fois le reste 58 de 203 , et deux fois le reste 29 de 58 , et il ne restera rien. Ce qui marque que 29 est le diviseur cherché.

La manière de trouver U diviseur commun des quantités littérales n*est pas différente de celle des nombres» Lorsqu'elles sont composées ^ .on y par^ vient en retranchant la plus petiu , ou ses multipUs , de la plus grande ; mais il faut pour cela ordonrur les deux quantités et k resUy par rapport à une mime lettre , comme on ta fait pour la division ; u à chaque sous* traction , réduire les quantités en ks divisant par kurs diviseurs simples , ou par quelque quantité qui divise tous kurs termes , comme firaieru des divis^rs Tome L H

ç8 DE LA RECHERCHE

simples. Ainsi pour trouver le diviseur commun du numérateur et du dénominateur de la fraction '^l^' 7^> "** q' 71 L^I^i"" ^''^ 9 muM-r

pliez le dénominateur par x , afin que son premier terme devienne égal au premier terme du numérateur ; faîtes ensuite la soustraction , et il restera — xax^ -{- ixa^x — Sa^; quantité qu'on peut réduire en la divisant par — 2<z, et qui devient x^ — 6d^x + ^a^. Retranchez-la du dénominateur, et il restera — ax^ — la^x + la^. Divisez encore cette dernière quantité par — ^ , et elle deviendra x^ '{' lax — la^. Multipliez-la par x*, afin que son premier terme devienne égal au premier terme de la dernière quantité soustraite x^ — 6a^x + j^a^ y et de laquelle mainteftant il faut soustraire; et Fopératlon faite , il restera — xax^^ — j^a^x + ^a^ ^ qui, étant divisé par — itf , devient x^ + lax ^-^ la^ ^ et comme cette dernière quantité est absolument la môme que le reste précédent, si on l'en retranche , il ne restera rien : il est par conséquent le diviseur cherché. Divisez maintenant le numérateur et le dénominateur de la fraction donnée par ce diviseur, et elle sera réduite à la fraction plus

Simple — -^-^ — .

De même si on avait la fraction — np--^ — n — ^l l ^ i — ôtt-*

il faudrait commencer par réduire ses termes en divisant le numérateur par a^ , et le dénominateur par 3 b ; ensuite retranchant le double de 3a' — ^a^c — lac^ + 6c^ de 6a^ + i^a^b — j^ac^ —

lobc^ . il restera , à

— lobc^

;. quantité qui peut être réduite

en divisant chacun de ses deux termes par ^ b + 6c ( comme si 5 i + 6c était un diviseur simple ) et elle devient 3 ^^ — 2 c*. Multipliezla par tf, et la retranchez de 3a' — ^a^c — lac^ + Gc^^ et le

DESDIVISEURS. 59

second reste sera — 9 «' c + 6 c' , qu'on peut simplifier de même en le divisant par — 3 r , et il devient 3 ^* — 2 r* comme le précédent ; c*est pourquoi 3 tf* — 2 c* est le commun diviseur cherché. Divisez donc lé numjérateur et le dénominateur de la fraction proposée par

ce diviseur, et elle se trouvera réduite à ^^ + ^ ^*

Lorsqu'on n'a! pu trouver par cette méthode de diviseur commun , on peut être sûr qu'il n'y en a point, à moins qu'il ne vienne des quantités qui ont servi à réduire le numérateur et le dénominateur,

comme, par exemple, dans la fraction -^.-^ -^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^.^ ^-^^ , si on dispose tous les termes selon les dimensions de la lettre d^ le

numérateur deviendra ,

d^ , ^ , et le dénominateiu:.. . . •

— lac^

d 3 . Il faut commencer par les réduire en divisant

chaque terme du numérateur par a^ — c*, et chaque terme du dénominateur par la — 2c, comme si a^ — c* , et 2 ^x — ic étaient des quantités simples. Alors le numérateur sera réduit à ^ — c*, et le dénominateur à lad — c* , et ces deux quantités ainsi préparées n'ont plus aucun diviseur commun ; mais les termes a^ — c^ et la — 2c, qui ont servi à réduire le numérateur et le dénominateur, ont le diviseur commun a — c , par le moyen duquel on peut réduire la fraction proposée à celle-ci : -^ — Ad -T'a^ci "^ ^ * ^^^^ ^^ les- termes a^ — c^ et 2 ^ — 2 c n'avaient eu aucun diviseur commun , la fraction aurait été irréductible.

Telle est la méthode générale de trouver les diviseurs communs. Mais on les trouve presque toujours d'une manière plus courte en cherchant tous les diviseurs premiers de l'un des deux termes de la

6o DE LA RECHERCHE DES DIVISEURS.

fraction , et en essayant si , parmi ces diviseurs premiers , il ne s*en trouverait pas quelqu'un qui divisât l'autre terme sans reste. Ainsi,

pour réduire la fraction a^2.ab * ^^^ moindres termes,

il faut trouver les diviseurs de la quantité a^ — abj qui sont a et a — t; il faut essayer ensuite si a ou a — i peut diviser sans reste a^ — a^b + aV — P : a — ^ le divise , et le quotient est a* + b^.

De sorte que la fraction proposée se réduit à "'"1" \

DE LA RÉDUCTION DES FRACTIONS. 6i

De la réduction des Fractions a un dénominateur commun.

JuBS fraalons se réduisent à un dinominauur commun , en multipliant chaque terme de tune par le dénomiruLUur de Contre , et réciproquement.

Supposons qu'on ait les deux fractions -|- et -j qu'il faille réduire au même dénominateur. Multipliez les deux termes de -|- par d,

et les deux termes de -^ par t , et elles deviendront -jj- et -y^ • Or ces deux fractions ont le dénominateur commun i d. De même tf ou -j- et -^ deviennent -^j- et -^. Mais lorsque les dénominateurs ont un diviseur commun, il suffira de multiplier réciproquement par les quotiens. Ainsi les fractions -^ et -^ peuvent être ramenées à celles-ci , -^75- et -^^ , en multipliant alternativement ,

par les quotiens qu'on obtient , en divisant les dénominateurs par leiu* commun diviseur t.

Cette réduction à un dénominateur commun est siu- - tout utile dans Taddition et la soustraction des fractions. Car lorsque deux fractions ont des dénominateurs difFérens, elles ne peuvent être réunies , avant d'avoir été réduites à la même dénomination. Ainsi

-f + -^ devient, par la réduction , ^ + ^j ou ^^^^/^ . Et a H — — devient — -J- — . Et -y^ jj- devient — jyj — ou

T^^- Et 4±5- -.»-**, devient

—^ -^'.-:^;^ -^- — qiu se réduit à ^,^ , De même. . .

f + ^ devient 77 + rr ou '^^^^ qui est la même chose que 77. Et

^-1 devient ^-.^ ou li. Et ^-^ devient^-^ ou ^, c'est-à-dire, j. Et 3 f ou 1 + ^ devient —• + ^ ou ^i.. Et 25 ^ devient ^.

Lorsque les fractions sont en plus grand nombre , il faut les réduire

par parties. Si vous avez, par exemple , —^ tf + -—^ T^TT*

commencez par retrancher a de -—^ le reste sera "* ' ^** "> ajoutez à cette quantité -î^ et vous aurez ^"^ "lÂ/^ * Retranchez enfin de cette dernière quantité ^ , et le reste sera

-2 ^^^^Z,^ax^ • ^^ même si on avait 3 | — ^ , il faut

commencer par trouver la somme de 3 y qui est ^ , et ensuite de

ce dernier nombre retrancher y, et le reste sera fj-.

De la réduction des Radicaux a leurs moindres termes.

Lorsqu'il est impossible de tirer la racim de tome une quantité ratUcaU , on peut souvent la réduire en tirant celle (Tun de ses diviseurs.

Cest ainsi que Vd^ h c devient a vbc , en tirant la racine du divi*

seur a^. Et V^48 ou v 16 . 3 devient 4 V^3 , en tirant la racine du

diviseur 16. Et Vj^^a^bc devient j^aV-^bcy en tirant la racine

du diviseur i6a\ Et [/ ^^^-4^+T^^"" ou

l/lZEïIE±±ELfirde\'ient JlZiiL VJb, en tirant U racine du

diviseur '''-4a*-|-4*' . Et iX . "V "' ■ ^ 7^^^^ ou en rëdMisant