PROBLÊME XLII

Trouver U lieu du sommet <Vun triangle dont la base est donnée ^ et dont Us deux angles sur cette base sont telSj que l'un est plus grand que U double de faiure^ d*un angle dormi.

(PI. V, Fig. 5 ). Soient, ABP c^ triangle, AB s^ base coupée en deux parties égales au point P, APQ ou BPM le tiers d^ Tangle donné, c'est-à-dire le tiers de l'angle qui est égal à l'excès àQ DBA sur le double de DAB; et l'angle Z?iWQ sera double de DQ^M. (56). Menez à M(l les perpendiculaires ARj BNj DO;

Bb 2

coupez en deux parties égales l'angle DMQ^ par la droite M S qui rencontrera 2? O en 5, et les triangles rectangles DOQ^ SOM seront semblables ; ainsi vous aurez , OQ: OM il DO : OS. Et.

en soustrayant, OQ — OM : OM :: DO— OS : OS :: DS : OS :: DM: OM. (57). Donc OQ — OM: OM :: DM: OMy donc OQ—.OM=sDM. Actuellement, feites PO = Xf OD=jy,' jéR ou BN=iiy et PR ou P^=3c, et vous aurez, comme dans le problême précédent, OM=i '^ Z7 > « 0Q= -îi+jaL. Par

conséquent , OQ — OM= ~^**^+,"^ ■ D'un autre côté ^

d6 + ÔM=DM,oii bien , y- + ''^;.- ^^7^ ^' = •

4t,,.j,. 8t,^j,i4.4».j,4 réduisant et ordonnant, par

ij'f +-*-'( ±,rv

rapport à^', on aura ^y^* ^^{y'' + 4^cxiy ^^,^^ = o. Et en

divisant toute Tëquation par y — * , elle deviendra , *

y^ + ^y^ ^cx {^ + \bcx ^^ ^* ^^^^ ^^ ^oint D estk luie courbe

— 3** ( — bx^

de trois dimensions, qui devient cependant une hyperbole, lorsque

(*) Le premier membre de cette équarion provient de la substitution des râleurs analytiques dans Téquat. DO + OM zz DAf. Quant au second membre ^ nous avons vu plus haut que OQ — OMzz DM. Donc •••»

{Oq^ OMy = ( ~'*^^:it. """ )'= DM, « c'e« - là le second

membre de Tëquation.

Tatigle BPM est nul, c'est-à-dire lorsque l'un des deux angles sur la base DBA^ par exemple, est simplement double de l'autre DAB. (58). Car alors BN ou * s'évanouit, et l'équation se réduit à j'* = 3 ;c* -[- 2 c*^ — c*.

De la construction de cette équation, on déduit le théorème suivant,

(PI. V , Fig. 6 ). Si on prend C pour centre , et pour asymptotes les droites CS^ CT y qui forment un angle ^CT de iio®, et qu'on décrive une hyperbole 2? 1^ dont les demi-axes soient CFj CA; qu'on prolonge C^ jusqu'en 5, de manière que VB:=s^VC ; et que des points ^ et 5 on tire les droites BDy AD qui aillent concourir en un point D quelconque de l'hyperbole, on aura l'angle BAD='-ABD; et BAD=^\ADE. Cest-à-dire que B AD égale le tiers de l'angle formé par AD^et par le prolongement de BD. Ce résultat n'a lieu que pour les points D de Thyperbole qui passe par le point F; car si des points A et B on mène à l'hyperbole conjuguée qui passe par A y les droites Bd^ Ad y alors des deux angles extérieurs au triangle sur la base, celui qui est en B est double de celui qui est en ^ (59)*