CHAPITRE PREMIER

est un espace infiniment ^ petit en épaisseur et en superficie ;.lé '

Ï ^oint géométrique ne peut tomber sous • e sens : on l’expliquë par le point pby-sique qui s^indique avec la pointe d’uii' compas. Le point de section est celui où deux lignes se rencontrent, hê point de centre est celui qui est également éloigné'de toutes les lignes qui déterminent une figure régulière , comme une circonférence , par exemple : . ' .

' ' -Des Tiignes. ..

Les lignes sont des longueurs , sai^s ^ largeur ni épaisseur, indiquant le passage d’un point à un autre. Elles scait droites ou courbes.' *

La ligne droite est la plus courte par laquelle on pàr vient d’un point à un autre. Voyez, pl. 7, a. '

* La ligne courbe est celle qui va d'un point à nn autre; après avoir décrit une portion.de cercle , ou s’être , d’une façon ou d’autre , écartée de la ligne droite.

Voyez figure 2,/?/. id., b.

La ligne à plomb ou verticale est celle qtii va de haut en bas sans peu— cheï ni à droite ni à gauche. Voyez I C , fig . 1 7 , et C B .fig» 18,. ( C’est celle que \ suit un corps pesant qui tombe.)

• La ligne perpendiculaire est la ligne qui , s’élevant sur une autre ligne, forme, avec elle, de chaque côté, un angle de , valeur égale. "Dans la fig. 17 , IC est perpendiculaire à A B ; dans celle 18 , lès lignes C B , A B , sont perpendiculaires

. l’uné à l’autre.

■ -La ligne horizontale est celle qui ' n’incline d’aucun côté. ( L’eau tend toujours à suivre cette ligne;)

La ligne parallèle est , dans tout es ses

Ï >at ties, également distante d’i^ne autre . igné {cc , fig. 5 , et d, fig, 4 , sont ■•'.'des parallèles) . Ces lignes , prolongées ' à l’infini , ne se rencontreraient pas ; la ligne parallèle ne peut exister seule.

, La ligne diagonale est celle qui , coupant un carré ou jme autre figure par * le centre , va d’un angle à l’angle opposé..

• La ligne 7, est une diagonal^.

La ligne nommée diamètre est celle qui,. tirée d^un des^ points d’une circonférence ou d’une ellipse, passe par le centre ,et va toucher le point cmposé de cette même circonférence ou ellipsé (h, ' fig. 8, est le diamètre de la circonfé- ' .

rence h). Une ellipse a deux diamètres principaux , un grand et un petit ; tous les diamètres d’une circonféi'ence sont égaux en longueur. Le rapport du diamètre à la. circonférence , est de 7 à 22' environ . . •

Le rajron est une ligne droite qui part du centre et se rend à l’un des points de la circonférence; c’est la moitié du diamètre. Les lignes i , A: , f , m ,fig^ 9, sont des rayons.'

La spirale s'éloigne du centre en . tournant. (Voyer ci-après, maniéré de tracer la volute du chapiteau ipniaue,)

■ .La corde ou sous-tendante est la ligne droite qui aboutit à un arc ou portion de .

cercle par ses deux extréniités. C B , E B , fig. 1 8 , sont les cordes ou sous-tendantes des arcs al ' .

La ligne circulaire (la circonférence) est celle qui tourne tout autour d’un point nommé centre, ét dont tous les points sont à une distancé égale de ce

Di ;izr ;1 by Googlc

12 GiOMÉTKiE.

c.epti-e ( Voyez^^ : 8 ct'9^). La circqnfé^ rênce se 'divise^ suivant l’attcieuqe< mesure, en 36 o portions, qu’on appelle

, iet suivant la nouvelle en' 4 oo. Ce sont ces degrés qui servent à mesurer les anglès dont il sera' ci-^après parlé. Onpeut se faii’e une idée de cette division à l’inspection de la ^g- • 9 •

"L’arc est une portion de la circonférence. Voyez a a^ÿg. 18.

La tangente est une ligne qui touche la circonférence . sur un point ', sans y pénétrer. Voyez <2 , //g'. 8. ' ■

La sécant^ est celle qui pénètre dans • cette circonférençe.’ Voyez ^ 8« .

L’hélice est une ligne qui tourne autour d’un cylindre ( Voyez plus bas ce mol) en allant d’un bout à l’autre*) ( La»

vis est une hélice . )

' ' Les Angles.

L’angle se forme par la rencontre, de deux lignes. Il y a trois sortes d’angles , le rectiligne , le curviligne fiie mixtili— ^ gne.^ Le rectiligne est produit par la rencontre de deux lignes droites ; le curviligne par celle de deux lignes courbes; le mixti ligne par la rencontre d’u rte ligne droite et d’une ligne courbe. Ainsi l’angle E B C , Jlg, 18, est rectiligne les

GÉOMÉTRIE. l3

anglesy //g^. ig, sont curvilign'es , et' Tangle 20, est inixtilignè.

Les angles changent en outre de. dénomination suivant le nombre de degrés renfermés entre les lignes dont il se composent ; ils sont, suivant ce nombre de degrés, droits , aigus ou obtus. ' ■

L’angle droit renferme go degrés , l’angle aigu moins , l’angle obtus plus.

Ainsi , dans la Jig. g , l’angle formé' par la rencontre des lignes ik est un angle droit ; Celui formé par la rencontre des lignes i l est un angle aigu ; celui formé par la rencontre des lignes estun angleobtus.L’angleiA:cu / 772 ,renférmant ' dans son ouverture go degrés , est Fangle que les menuisiers nomment iV équerre ^ l’augleaigu composé par la renconu-e des lignes 2 / , ou Ik ^ ou Â: m , et renfermant ^

45 degrés , est celui que les menuisiers nomment éé onglet. On se sert , ’pour .

mesurer les angles’, d’un instrument encorne ou en cuivi'e, qu’on nomme rapporteur, .C’est à l’aide des angles qu on .mesure les surfaces et les hauteùrs des ^ bâtimeus , édifices , etc.j ’ , "

La surface ou superficie est une éten- due en longueur et en largeur , ^qui n’a. pas de profondeur] Elle est déterminée par les lignes qu’indiquent ses limiu

1 4 GjÉOMÉTRIE.

et.peüt affetter toute espèce dé formé.

Ou distingue trois espèces de surfaces '; plariQ y connexe , concave,

Uue figure inscrite est celle dont tous les angles touchent à une circonférence qui renvironne..C Voyez fg, i3. )

. LoVsque.ce sont les côtés de çette figure qui touchent la circonférence , elle est circonscrité. {Yoyezfg. i40-

Une figure concentrique est celle composée de plusieurs cercles ou autres lignes ayant un centre commun.

• Lorsque la figure a plusfieurs centres , on la nomme excentrique. Dans ce sens , Tovale et l’ellipse sont des figures excentriques.

On noininej^of^g^o/ie ( qui' a plusieurs côtés) une surface quelconque déterminée paV des lignes droites.

Les polygones réguliers sont ceux dont . les angles et les côtés sont égaux ; les irréguliers , au contraire , sont ceux dont les angles et les côtés sont inégaux.

Les polygones réguliers sont susceptible? d’être inscrits dans un cercle dont il^ touchent la circonférence par leurs angles : on en compte dix qui ont un nom qui leur est .propre ; savoir : '

Le, triangle équilatéral , qui a trois angles.et trois côtés, ( Voyezyig'. lo,) ^

Digilized by GoogI

Lé quadrilatère ou carré , qui a quatre angles ou quatre côtés. ( Yoyez jiÿ^ 'j . )

Le pentagone , qui a cinq angles et cinqcô^s. ( Voyez i3.) * .

hhexagone , .qui a six angles et six côtés. ( Voyez 14.) «■ '

Ueplagone J qui a sept angles et sept côtés. (Voyez^g-. i5.)

octogone , qui a huit angles et huit côtés. (Voyez^g--. 16.)

h’ennéagone a neuf angles et neuf côtés, he' décagone en a dix , Yundéc'agOTie onze ; enfin le dodécagone a doiizo angles et douze côtés. Passé ce ’nomhre d’angles et de côtés , les figures sé dési-^ gnent sous le nom commun à toutes, de'polygone.

Lorsque les diftéreiis polygones sont- .

ii régulieis , divers noms leur sont affectés. Le rhomhe , le parallélograinine*,' le ' •

trapèze et autres , sont des polygones j 1 nous parîerons'plus bas de quelques-uns d’entre eux. Leur nomenclature entière t ne se^'ait pas utile ici ; ceux qui voudraient faire une étude plus approfondie de cette partie de la science , feront bien d’avoir recours aux Traités destinés .à eette science. La majeure partie des inenui- .

siers se bornera à la connaissance des variétés du triangle et du quadrilatère.

Digilized by Googit

antres inégaux, mais parallèjes ; deux de ses angles, sont aigus , les deux autres obtus. (Yoyez fig. 2t5i.)

Le trapézoïde a tous ses angles et tous ses côtés inégaux.

Les figures curvili ghes soni formées de lignes courbes : on dit un triangle curviligne ^ lorsque .ses côtés sont courbes, ^et ainsi de suite pour les autres figures. L’ellipse figure 27 , et l’ovale figure planche zV/em, sont également des figures curvilignes.

Les figures composées de différentes figures ou de lignesdedifféretites espèces," se nomment figures composées. De ce nombre sont le demi-cercle ^ composé d’une ligne droite et d’une ligne courbe ; le secteur , composé d’une partie, de cercle et de deux rayons (Voyez i, h, Ijin, figure c) planche id. ;; le segment est composé d’une portion de cercle qu’ofi nomme <irc , et d’une ligne droite qu’on nomme corde ou èous- tendante^ ( Voyez B C fl, figure , planche id.).

Dei Solides. j

Les solides sont des ü^rès qui ont la longueur, la largeur, l’épaisseur: les principaux. $ont la sphère ^ le cylindre ,

l8 GJB(^MÉTRIÈ.

le prisme , le cône , la pyramide , le parallélipipede. ^

I®. La sphère, ou globe , ou boule 7 J planche 2 .^ ), n’a qu’une surface également distante , dans toute son étendue , d’un point rationnel situé dans son intérieur, qu’on nomme centre. Le diamètre qui traverse une sphère , se ' nomme axe (Voyez k,fgure id., planche* idem ) ; on nomme horizon ou équateur un cercle tracé sur la sphère, égaleitient distant dans tous ses points des deux pôles A A ; ce cercle est indiqué sur la fig. , par la ligne ponctuée B B.

On appelle grands cercles ceux dont les* plans rencontrent le centre de la sphère. . ^

On appelle petits cercles ceux dont les plans s’éloignent de ce centre.

On tyouve cinq solides réguliers dans > la sphère , le tétraèdre , Vhexaëdre , V octaèdre', le dodécaèdre et V icosaèdre.

■ • Le Tétraèdre à quatre faces et quatre

ahglesi'( Yojez^fîguj'e 3b , planche id. ) ;

. , déployé , il forme quatre triangles équilatéraux' (Voyez figure 3 i , planche id. ); le tétraèdre est la pyra'midela plus simple.

L'hexaèdre a six faces et 'six^angles ,

. ■ c’est le cube; il est représenté fig. 32,

Digilizerf hy GoogU

GÉOMÉTRIE. . . ig

pl, id.-f déployé Jî^. 33, il affecte la foiihe d’une croix composée de six quadrilatères égaux.

L' Octaèdre a huit faces ti iaiigulaii es.

( Voyez /g-. 34 , déployé/^' 35): r

'* Le Dodécaèdre présente ^dans sa surface douze pentagones réguliers , égaux entre eux. (Voyez fig, 36 j; la Jig: 3'j le leprésente déployé. f

U Icosaèdre présente dans<sâ surface , .

vingt triangles équilatéraux , égaux^ntre eux. (Voyez Jîg. 38), la Jig. 3g en représente le déploiement.

2 °. Le Cylindre est un solide dont la base est une circonférence, et le soiniuet une autre circonférence de meme dia- ' mètre. ( Voyez jig. [\o.) -* . •

5°. Le Prisme di cinq faces dont trois sont des parallélogrames, et les deux autres des triangles. (Voyez Jig. 40*

Le cylindre est la continuation indéterminée delà circonférence, comme le prisme est la continuatTon indéterminée du triahgle ; et le parallèlipipède, la continuation indéterminée du quadrilatère.

4°. Le Cône est un solide dont la base ' est une circonférence et le sommet un point. ( \ oyez Jig, 4*2 )• L.e cône est 'droit . , si la ligne qui va du centre de la base, au

GÉOBUÉTM'E. '

point du sommet, est perpendiculaire • à la base ; îl est oblique si cette même li^ne est oblique. ^ ^

On ne peut couper le cône droit mie 'de cinq manières ; c’est ce qu’on appelle \e?, sections coniques.

I®. Parallèlement à la base, (Voyez fi^. 43 ) , c’est le cône tronqué ; la section donne un cercle.

2 ^. Obliquement à la base, (Voyez Jig. 44 ) section donne une ellipse,

3®. Perpendiculairement à la base , passant par le sommet ( Voyez^z^. 45’).

lè section présente un triangle.

' i Perpendiculairement à la base, passant sur le côté incliné du cône.

' ( Voyez lâ fig. 46), la section présente une hyperbole.

5". Parallèlement au côté du cône (.Voyez^^. 47 )> I 21 section présente une parabole.

6*. La /^rum/de. est un corps dont la ba^e est un polygone et le sommet un point ( Voyez 48 ). La pyramide est droite, si la ligne qui va du centre au sommet , eSt perpendiculaire à la base , la' pyramide est inclinée, si la ligne de , centre est inclinée.

7 °! Le P arallélipipède est un solide à '

six faces., dont quatre sont des parallèlograines, et les deux autres des quadrilatères. {'So'^GZ flg. 49.)

Telles. sont à peu près les termes et les ligures qu’ils expriment, dont la connaissance peut être 'utile au menuisier ; mais,nousle r(épétons,nousne donnerohs ici qu’une nomenclature. Il faudra avoir recours à des ouvrages j)lus étendus pour apprendre à connaître théoriquement ces diverses figures. ?*'n donnant ces notions superûciefles , nous n’avons pas eu la prétention d’apprendre quelque chose aux amateurs , mais de familiariser les ouvriers avec les premiers élémens d’une science qu’il leur importe extrêmement de connaître; de leur donner le goût de cette sorte d’étude, de leur faire comprendre que cette géoûiétrie qu’ils se figurent si difficile et au-dessus des forces de leur entendement, n’est point du tout hors de leur portée , et qu ils en vaincront les difficultés ‘s’ils veulent les aborder hardiment et avec un désir soutenu de les surmonter. Des principes decette science plus répandus parmi les ouvriers anglais, sont la seule cause de leur supériorité sur la majeui’e partie des nôtres ; que nos Fiançais se rendent en

foule aux cours de Géométrie appliquée, auUls se procurent et étudient les liv res ' ■ ^énientaires que les savans ne cessent de publier sur cette science et qu’ils ont soin de dégager de tout ce qui est trop sciencifique et cette supériorité • 'anglaise disparaîtra; nos ouvriers auront alors tout ce qUe les Anglais possèdent , et de plus cette inîagination vive, cette facilité pour apprendre, cette souplesse d’exécution et surtout ce goût, cette entente du bien et du convenable que la nature semble s’être plu à répartir aux Français. -

Nous allons faire suivre ce qui précède de l^explication de quelques tracés auxauels le menuisier se trouve souvent dans le cas d’avoir recours pour fixer ses ‘idées dans l’exécution des diverses sortes d’ouvrages qu’il est appelé à confectionner. '

Maniéré cC élever sur une horizon- • taie, une Perpendiculaire formant deux angles droits.

' Soit A làyfg. pl. id. l’horizontale

• (■^) Notamment le cours de Géométrie appU- - tfnc de M. C. L. Bergery , de Metz.

CtÉOMÉTUIE. 23

sur la quelle on veut élever unej jferpendiculaire au poiut G. De ce, point , comme centre,, décrivez à volonté avec le com- ' pas, le demi-cercle DEF, qui coupe . /

A B j aux points D E '.également distans de C : décrivez à volonté en écartant le compas , et prenant D F pour centre , les deux arcs GH, et de leur

r oint d’intersection à C , tirez la' ligne Ç ; elle sera perpendiculaire à A B, et donnera deux angles droits ou équerres.

2® Mtinihre (f éleQer une Perpendiculaire '

à V extrémité éCune ligne. .

Soit le point B , fig. 1 8 , pl'. id., celui sur lequel on veut élever la perpendiculaire B C. Prenez un point à volonté'

D , au-dessus de la ligne A B ouvrez un.cpmpas de D en B, et prenant Dpour .

centre i décrivez l’àrc G a B a E qui .

coupe la ligne A B aux points E B.

Tirez du point E en passant par le point D , la ligne E D G , jusqu’à ce qu^elle coupe l’arc G B a £ au point G. Menez . \ de ce point à B , la ligné C B. • Elle sera perpendiculaire à A B. . , ' . *

3®. Tracer un Cerclé quipassepdr trois points donnés A B C.,Jig, 5 o , pL •

H est clair que ce trace ne pourrait .

24 (iéOMÉTRlE..

s’exécuter, si. les trois points étaient en ligne droite ; il faut donc qu’en les joignant deux à deux , on en obtienne trois droites, A B, A G, CB, formant tpangle. C’est ainsi qu’on pourra tou- ^jours reconnaître si le tracé est possible* Pour l’effectuer , il y a deux choses à trouver, le centre et le rayon. Or, la circotiférence devant passer par A et B , le centrO doit se trouver à égale distance de A et de B , il sera donc sur B , perpendiculaire à AB et au milieu; par les mêmes raisons il sera sur F G, perpendiculaire au milieu ,de B C , et pai conséquent l’intersection H des deux perpendiculaires , sera le centre cherché.

Si l’on élevait une perpendiculaire au , milieu de A C , elle devrait aussi passer ■ par le centre.: le tracé de cette troisièhie perpendiculaire est donc ün moyen de vérifier l’exactitude de l’opération. Le Le centre H' étant trouvé, il est visible que le rayon est la droite HA, ou la droite H B, ou la droite HC; ce tracé est d’un fréquent usage ; il arrive en effet souvent dans la pratique, que l’on connaît seulement quelques points de la circonférence qui doit être décrite ; il suffit alors d’employer trois de ces points quel-

conques , cbmirie . nous • Tcnofts' Cl em-r ;, pl()yev À’B C, pour que la circonférence ^ •:

passe par tous les autres. , •' '

4". Un Cercle étant donné ^ en trouver 'le centréï . '

Le procédé que nous venons d’en- " • • : seigner^ suffit pour y parvenir; mais il. ' est bon de remarquer que les deu:x cordes AB,CD, /îg-. ,que l’on pçiit' placer à volonté, à tout endroit de la. circonférence ne doivent pourtant point' être ' parallèles, parce qu’alors il n’y aurait pas de croisement dans les pe'ipendi- .

culaires , E D , F G, et que le centre H , ne serait pas indiqué ; il faut, autant qiie possible, que ces deux cordes forment équerre entre elles, ainsi qu’on d’a représenté dans la fleure , parce qu’alors le croisement H se faisant à angle droit ou à peu près , le point de cèntre qu’il détermine , devient bien plus facilement perceptible.

Partager un Arc A B CyJig.Sh, en ' deux parties égales. .

•Tirez la corde A C; élevez' au .milieu de cette corde une perpendiculaire D B j • .

le point B où cette. perpendiculaire rencontrera l’arc sera le milieu de cet arci

Art du Mcn. 2

ü6 GÉOMÉTRIE.

En etfet , chaque point de D B étant ég'aleincnt éloigné de A ct de C, les cordes A B, B G , sont égales, et par conséquent ’ leurs arcs sont égaux,

6". Diviser un Angle en deux parties égales.

Du soininet là^Jig. 52, décrivez un arc A C enti'e les côtés A B , B C , et partagez cet arc èn deux .parties égales par la sécante B D {Voy. l’opération ci-dessus) ; les atîçles A B D , C B D seront égaux puisqu’ils auront pour indication des arcs de même rayon et de même longueur. " '

Pour diviser un arc ou un angle en quatre parties égales , il faut d’abord diviser en deux et diviser chacune de ces parties en deux angles, toujours parles points milieux, et ainsi de suite pour opérer une. division en ^un plus grand nombre dé parties.'

Trouver le D^ntre d’un triangle.

Nous avons dit § 3‘, comment on fait .passer un cercle par trois points donnés; il rie s’agit, pour frouver le centre du triangle, que de l’inscrire dans un-cercle.

Le centre de ce cercle sera celui du triu;igle. Cette règle s’appliquera éga-

' lenient pouf, trouver le centre de tqîit polygone régulier, puisqu’il s’agit de faire passer un cercle par trois de ses ' 'angles, pour que le même' cercle les embrasse tous. Le centre- du. cercle sera celui du polygone. . ' "

, 8". Maniéré de tracer une Elli^&e.

Maniéré. — Tiie*‘la ligne A B , figure 53 , planche id. ; tracez un premier cercle dpnt le centre I sera pris sur cette ligne ; prenant ensuite sur la même ligue A £, le point ou elle est coupée par le premier cercle', et se servant de ce point marqué 2 sur -la figure pour centre , on' trace un second cercle, puis des points marqués 3 et 4 r on tracera les .

deux arcs qui .réuniront les deux cercles " et en feront une ellipsé.

2 * Manierez— Par le moy^m que nous venons- de' décrire, la largeur dé l’ovale sera toujours la même relative- - ment à sa longueur \ en voici un autre qui permet de donner à celte figure telles proportions qu’on désirera. — Traceida • ligne horizontale S T, figure 54 ». sur laquelle vous élevez la perpendiculaire •

IJ V ; coupez une planchette bien droite d’un côté, et inarquez^ÿ de ^ à K-, ' la

28 GÉOMÉTIUÉ.. .

distance S X, é^ale à la, moitié du ^raml axe.S T, puis la distance Z égale à la • du P^dt axe U V ; cet*instriimeiU

dispose, placez-le sur les deux axes de , l’ellipse, de façon que le point K réponde à la ligne du petit axe, et le point / à la ligné du grand axe; faites-le circuler suivant ces lignes sans les quitter, et la ligne que parcourra le point* Z formera ‘ le-contour de l’ellipse,

,3^ Manière. — Ges deux manières ne peuvent guèèe être applicables qu’aux petits tracés.; mais lorsqu’il s’agira de tracer de grands cintres, il faudia avoir recours à d’autres opérations. Nous allons donner d’autres manières de tracer ces courbes , parce qu’elles tiouvent •souvent leur application. Ces combes, (jue les ouvriers nommen,t OK>ales^ quand elles sont complètes , et anses de panier, lorsqu’une moitié manque, sont composées de plusieurs arcs A 13 , B II G , G D , etc. , figure 55 , qui se touchent deux à deux en B G, etc ; on les emploie principalement pour les cintres, des arcades qui doivent être surbaissées comme celles des alcôves.

Les anses de panier les plus simples sont cêlle§ qu’on appelle aussi courbes à

<îÉbM'ÉTRîte. ac)

trois centres ) ce nom 'leur vient dé ce c^ii’il n’entre que trois arcs A B H C , ij D dans leur composition. Le prcnier et le dernier de Ces arcs ont même rayon et iipme longueur; en outre ils sont tangens aux arêtes, A E, DF des' pieds .

droits de l’alcove.'

* La plus’ usitée des courbes à trois ceii- .très esfcèlle dont les arcs ont chacun • 6o® ; si pour les tracer on veut suivre le

f irocédé ordinaire , on marquera le mi- ' ieu G de la largeur A D de l’arcade , et en ce point on élèvera line perpendiculaire G H , égale à la hauteur sous clé.

On portera G H deD en I,on partagera G I en quatre parties égales ; on prendra ces trois parties R I pour rayon d’un demi cercle qu’on, décrira de K, De- l’autre extrémité L du diamètre, on décrira un arc qui ait pour rayon la distance de L au point N, où le demi-cercle coupei*a GH.- Le point N où cet arc coupera A D ser^ le centre de l’arc A B,' dont le rayon sera par conséquent N A. Portant N A de D en O , on trouvera le centré de l’autre petit arc. Reste à déterminer \é centre dn grand arc B C. Pour cela, ayant dé^ çrit l’arc A B plus grand; qu’il ne doit .

être, bn le coupera parmi petit arcVlon|-

3o / géométrie.

le tenue soit et le layon A JN.'Le

Î joint B , intersection des <leux arqs , sera e contact, de A B el de B H C , et si on tire B N jusqù’à sa rencontre atvec H G , le point P sera le centre de B , lé / rayon de ce même arc sera P B, et comme la distance N P des centres se trouvera, par là , égale à la différence des rayons B P, B^, l’arc B H C sera touché iuté— rienrement en B par l’arc A B. Ces arcs auront donc une tang^ente commune, et ' -leur raccordement ne produira aucun jarret, ;

4* -Maniéré m — Si, au lieu de partner ' la longueur A B ,Jigi 56, en trois parties égales cohime nous l’avons indiqué dans -notre* premier exemple , on la partage en quatre,' l’ellipse sera plus allongée.

Les points de divisions extrêmes C D seront -deux centres. Pour avoir les deux «antres, on tirera parole milieu de A B la perpendiculaire E F , et l’on prendra G E,' G F, égaux chacun à G D ; de cette - construction résultera que les arcs H A I, I K, K B L, LH seront chacun de ga®, puisque les angles C F, D E seront inscrits à' la circonférence G, et que leurs cotés passeront par les extrémités dqs diamètres 'de cctlc même circonfércnce>

Digitizeé >y Googlc

GÉOMÉTlllE. . 3l

9 ®. Arç surbaissé ^ décrit d*un mou- • vement phts continu.

Les courbes dont nous venons d’enseigner le tradé, ne sont pas d’un aspect agréable pour un- œil e^xercé ; elles ne font point de jarret; mais les rayons des* arcs qui se touchent sont trop dilférens Uun de l’autre pour qu’on n’apercoive pas à la première vue qu’elles ne sont

S oint décrites d’un mouvement contint!.

;ous croyons donc donner d!a- ^

près M. Bergery , auquel' nous avqn$ emprunté les deux démon.strationsci-dessus, un procédé général au moyen duquel ' on puisse éviter ce défaut Iprsqu’on le voudra. ' .

Supposons, pour prendre un. exemple, qu’il s’agisse de former par des arcs de cercle , un cintre surbaissé dont A B soit la demi,-longueur , et B G la haiiteür soo| clé , mesure prise à psu’tir de la ligne de naissance Ah,Jig. 5 '] , pl. id. Je décris de B deux quarts de cercle , l’un avec B A pour rayon , l’autre avec' B G , et je ■ divise ces mêmes arcs en un même nom* • bi e quelconque de parties égales. Par les points de division de chaque- arc-, je mène des parallèles au rayon de l’au- , ' '

3?. > r^ÉOMÉTUIE.

tre , ce qui me donne les points D E F de la courbe demandée. Elevant alors une perpendiculaire au milieu de la droite A D , je prends le point G où elle coupe A B pour centre de l’arc qui doit joindre A et D. La rencontre de D G et de la perpendiculaire au milieu de la droite DE, me donne le centre 11 de l’arc D E , l’intersection I de E H et de la perpendiculaire du milieu de la droite EF est le centre de l’arc E F ; enfin à l’intersec- -4 tion K de F I et de C B prolongée, se trouve le centre de l’arc FC, test-à-.

dire , que FK , égale K C , ou que la perpeiidiculaire L au milieu de la droite C F passe par le point K.

' ^ .On compréndra facilenmnt qu’il suffit d augmenter le nombre des divisions de chaque quart de cercle pour rendre encore plus faible la difféience de deux **ayons consécutifs, tels que H E I F, et pour obtenir une courbe encore plus agréable à l’œil que celle A D E F C que je viens de tracer.

On voit facilement que si l’ellipse était achevée, il se trouverait six nouveaux centres placés deux à deux dans les trois autres angles droits ([ue forment A B , (^

• B, et les prolongemens de ces droites.

GÊOMÉTUIE. 33

comme le fonl, Il I, dans l’angle droit A B K, mais on n’obtiendrait qu un (^entre analogue à G, qu’un autre analogue ' à‘K. On aurait donc en tout douze centres dillérens et douze arcs , tandis que les deux circonférences B contiendraient ' seize parties chacune. En général, le nombre d’arcs dont se compose l’ellipse entière j tracée d’après ce procédé, est toujours de quatre unités au-dessous du nombre des divisions , qu’on fait dans chacune des circonférences entières dé- • dites avec les rayons A B, B C. Si, par.

exemple, on divise chaque quart de cercle en six parties égales , les circonférences 'entières en contiendront vingtquatre, et l’ellipse sera composée de vingt arcs dillerens. . - » ,

lo^. Arc rampant.

La ligne de naissance d’uh cintre n’est ' pas toujours peiq>endiculaire, aux arêtes des pieds droits même quand ces arêtes sont verticales, ou quand les pieds-droits n’ont pas de talus. Dans les arcades destinées à soutenir des rampes , par exemple, la ligne de naissance est, inclinée • sur l’horizontale, et de telles arcades ne peuvent pas être faites en plein cintre ,

parce qu’il serait iiïipossible de tracer une demi-circopférencè qui eût à la fois pour points de çontact sur les arêtes des pieds droits, les deux extrémités de de la ligne de naissance : c’est donc uiie espèce' d’anse de panier qu’il faut faire en pareil ca§ : cette courbe prend alors le nom d’arc rampant. ' '

L’arc rampant le plus simple ne se compose que de deux portions de cercle qui se racco^’dent. Pour en trouver les centres, quand on connaît la ligue de naissance ou de rampe A 58, il

faut tirer par le milieu C une parallèle aux deux arêtes des pieds-droits A DJB E ; ■ prendre CF égale à C A ; abaisser de F une perpendiculaire sur AB^ et mener par A B les droites A G, B H perpendiculairement à A ï), B E. Les points G , Il ainsi tix)uvés , sont les centres des arcs A F , B F qui forment l’arc rampant A F ■ B. . ,

Il est clair en effet que si en mène F 1 ^ parallèlement à AC, ces deux droites seront égales , puisque D 1 , F C sont pai'îallèlesj par conséquent F 1 égale I A, comme en outre I F se trouve perpendiculaire à G F, G A et G F sont rayons d’ün cercle langent en A F aux droites D.l, F 1, de

' (iÉOMÉTiriE. ^ 35

même que H B, Il F sont rayons d’un cercle tangent en B F aux droites F N , IN.

La droite I N tangente à l’arc rampant au point de raccordement des deux por-, lions, ce cercle est appelée ligne de sommité y et dans certains cas, c’est cette ligne qui est donnée. Il faut alors en déduire la position'de la ligne de rampe au moyen de l’écartement des pieds-droits, à cet elFet, on marque le milieu F ou tout autre point de IN, pour le lieu du raccordement ; on porte I F ^n I A , N F en N B et A B est la ligne de naissance. H ne r^ste plus qu’à élever sur I N la perpendiculaire F H et à terminer comme précédemment; bien' en tendu .que A B n’est point parallèle à IN, quandF n’est pas pris au milieu de cette dernière droite. '

Si la ligne de sommité et celle de naissance A B sont données de position et- de grandeur , le tracé de l’arc rampant n’est pas toujours possible. Supposons par exemple que J M parallèle ou non à.

À B soit la ligue de sommité donnée, il faudrait que J L étant égale à J A, le raccordement se fît enL pour que les droites .TM,! I) fussent tangentes à l’arc de gauche , et que le contact de la seconde

36 GÉOMÉTKIK.

se trouvât en A; mais il faudrait en même teins que M K- étant égale à M B , le raccordement se fît en K pour que les droites M J , M E fussent tangentes à l’arc de droite, et que le contact de la dernière se trouvât en B. Par conséquent il est im- ])0ssiblc que le raccordement s’opère sur la droite JM, et qu’en même teins les arcs soient tangciis aux arêtes des piedsdroits , l’un en A , l’autre en B.

Mais si l’on ne peut pas se donner à la fois la ligne de naissance et celle de sommité, on puutdu moins fixer l’iiiclinaison de la seconde par rapport à la première. Alors on trace entre les piedsdroits une droite quelconque, J M, qui fasseavüc AB l’angle choisi, et après avoir marqué des points K L au moyen d’arcs décrits de J et de M avec les rayons J A , MB, on tire les droites A L, B K qui, par leur intersection, déterminent le point de raccordement F , de manière que J N parallèle à J M menée par ce point, soit •tangente à la fois aux deux parties de l’arc rampant.

Le point F est ici le milieu de I N parce qu’il a été déterminé sur la figure relative au premier cas : il n’aurait pas cette position, si J M n’eût pas été tracé

Diniii

•;"/ Cioogk:

, • ^ GÉOMÉTRIB. 37 '

pai'àllèlement à A B,ofi si nous eussions ' T réellement ineliné «le 4® degrés, par exemple, la ligne de sonimité sur la ligne , de naissance. , ' • ' ‘

11 ne faut ajouter que peu de choses ' au premier de ces tracés, pour en tirer' un procédé propre à la formation d’une • ovale , sur deux droites égalés A B , F P • qui.sq coupent par le milieu, en faisant un angle quelconque. On voit, ettectivément que les quatre centres 0,H,0,Q ‘

se trouvent aux intersectipris de perpendiculaires abaissées de chacune des extrémités A, B, F, P, des depx droites ' ,

données sur Fune etFautrô de ces droites^

Tracer la Volute ionique. ,

Comr^ie dans l’a rchi lecture et plusieurs autres arts on fait un grand usage 3 g la volute ionique, et que cette courbe se . compose de portions de cercle, nous avon s • pensé qu’il convenaitde donner le iiioyeit de la tracer. Entre plusieurs procédées, tous bous sans dou te à coni^î tre, tuais qu’ i L nous serait impossible de rapporter ici;, nous avons choisi celui de Goldman^ .tel.^ . ' ' . * • que nous l’avons donné dans un autre • . ^ ’

trai;é d’architecture tliéorique et que, publié ei^ i$ 24 '^ eu àdaplapt touto-

• Ak'tdikMan. f ' 5-

■ ’ 38 ' GÉOMÈTliïE. .

fois les moilificatioris appol’te'es par le savant g/^mèlre dont nous avons déjà parle. > ^

- . On se donne la dis^nce du point de

départ A au centre B deJ’Oeil, pl. 9 ..1 /®. Cet Œ.U est mi cercle ([ue Vinven-»

leur de la volute ionique y a placé pour < éviter la dillicullé de la terminer par un ' * .point.^ Le rayon B C de ce cercle a pour ’Ion(5;uçur un neuvième de A B. L’œil éiant décrit, tirez perpendiculairement \ au, diamètre C D qui passe par A , un ser coTid diamètre E Ê ;" tirez aussi les cordes , • C E, E 1 ) ,;D F, F C; menez par le centre B des droites parallèles à ces cordes, numérotez ces intersection^ en allant de M gauche* à' droite, et en cçminençant à celle C E; divisez les droites i-Z ,• 2-4 , en, six parties égales chacune et numé- . rotez' les premiers points de division ;

puis les' deuxièmes,* puis les troisièmes ,

. en suivant' Fordre précédent. Entin du jmint 'i aVec la distance I A pour rayon ,

. décrivez un ar%qni se termine en G sur jre px’olongcmcnt de la droite 1-2. Du point * '/2avec 2 G pour rayon, décrivez un arc ' qui se termine- en II, sur le prolonge;?

, 'ment' de la droite 2-5; Du point' 3 avec 3 H pour raypn décrivezmn arc qui se

lerniine en I sur le prolongement de la cl roi te 3-4'. Du poi n 1 4 avec 4-î pour rayon décrivez un arc qui se termine enK sur le jirolougcmenl de la droite 4-5. Du point 5, avec 5 Iv , pour rayon décrivez un arc ‘qui se termirko en L sur le prolongement de 5-6 et continuez toujours ainsi. La volute sera terminée quand vous aurez décrit un arc du point 1 2 avec 1 2 R pour'* rayon. Le dernier arc rencontrera la circonférence de l’œil en un point S. Mais la rencontre se fera de telle sorte c[u’elle ne différera pas beaucoup d’un raccordement ou d’une tangente. C’est pour qu’il en soit ainsi et pour que la volute ne se Æsserre pas U’op rapidement , qu’on discontinue de prendra les points i 2 . 3 ^

i iour entrer après la première révo — ution ; c’est-à-dire quand on est revenu à la droite i A. La courbe ferait à peu près une révolution de moins, si l’on n’emj)loyaitpasles points5 6 7 , etc., et le dernier arc couperait la circonfé- ,rence de ‘l’œil de telle façon que les tangentes de ces deux courbes, au point d’intersection , feraient entre elles un assez mand angle.

Si Ion veut donner un filet à la volute, il faut marquer les points abcd aux

ÙO * GKOMÉTIUr.

quarts ries divisions i - 5 , 2-G , 3-7 , 4“^ ; fi f g h y aux (juarts des divisip'ns' 5*9,

• 6-10, 7-11 , 8-1 2 ; i h l m aux quarts des divisions 9 B, 10 B, 1 1 B, 12 B, un point .

j‘ au c{uart de U V , puis décrire comme ^ précédemment une nouvelle volute qui

• commence en T et qui ait pour centres, les' points abc de f g li i k l m. Cette

. ^courbe se rapprochera de plus en plus de la première , le filet diminuera con-

" tinuellement de largeur, et il finira par se réduire, pour ainsi dire , à un trait vers le point S.

1 2.]\ouscrôyonsutiled’ajouterànosdémonstratioiis le tracé de l’ove dont l’emploi a souvent lieu , soit dans les profils des différentes moulures, soit dans les ornemens des corniches.

Soit A B la plus grande^ largeur de l’ove (Voyez 59 on élèvera

une perpendiculaiie au milieu C de cette droite AB; on divisera l’une des moitiés en deux parties égales pour avoir AD, longueur des Y4 de AB; puis on portera cette longueur de A euE et de B en F sur le piolongement de \ B. Décrivez alors une circonférence du point C \ avec C B pour rayon; marffuez les milieux

* Cil des quai is de cercle Al, BJ ; dés points.

GÉOMÉTUiE i\t

EF avec E B, F A poui- rayons, décrivez des arcs B K AK qui sc terminent aux droi-* tes E G, F H prolongées ; des points G H avec G K, H K pour rayons, décrivez deux arcs qui se coupent en L sur le prolongement de CI, marquez le milieu M de J L, menez les droites GN, H 0,qui se croisent en M et s’arrêtent aux deux derniers arcs; enfin du point MavecMN pour rayon , décrivez l’arc N 0; l’ovale A K OL N B sera terminé.

Tels sont les tracés les plus essentiels à connaître pour l’ouvrier menuisier ; il n’est aucune des opérations que nous venons de lui enseigner qu’on ne puisse faire de plusieurs autres manières ; mais nous n’avons pu les rapporter toutes, lous n’avons pu qu’efïleurer cette matière ît non l’épuiser ; et notre ouvrage sur la iienuiserie deviendrait une espèce d’entyclopédie, si nous avions traité à fond •liacun des arts qui s’y rapporte : ces rélexions s’appliqueront également à ce [ui va suivre relativement à la mesure • les surfaces; nous n’avons pu que fourlir des idées générales en engageant le ecteur à faire une étude spéciale de cette lartie de la géométrie dont il trouvera i chaque instant à faire une utile appli-

4a GÉOMÉTRIE., \

cation. S’il s’agit d’un parquet, d^ime • boiserie, etc., qu’il .soit obligé de toiser, l’ouvrier devra, d’après la forme particulière afl'eclée parla surface, faire une division quelconque la plus analogue à cette •surface, soit en triangles, soit en parallélogrammes , soit en portions de cercles , ou même combiner ensemble ces diverses divisions selon le besoin. Il arrive bien rarement que les surfaces a mesurer SC trouvent présenter des surfaces régulières. 11 faut donc savoir à propos réduire en quadrilatères tout ce qui est susceptible d’être cQinpris dans cette ligure , puis pour les angles rentrans ou saillans , établir des triangles qu’on . mesurera séj)arément et qu’on ajoutera à la somme déjà trouvée et ainsi de suite pour les diverses conformations de la surface à mesurer.

1 °. Mesurer un rectangle.

11 faut mesurer la longueur et la largeur, et multiplier l’une par l’autre ; le produit est le hombrè de mètres carrés , ou centimètres , ou toute autre mesure contenue dans le rectangle. Supposons que le rectangle à mesurer ait 44 niètres sur le côté le plus grand, et sûr le

CéOMÉlRlÉ/, ’ ’43

«etitcôté, on multipliera 44 pa»' et l’on aura .528 pour le nombre des autres carre's compris dans ce rectanp^le.

a®. Mesurer un carré.

L’opération est la même que pour, le i ectaij^>le. Si un carré a c) mètres sur un de ces côtés U les aura également sur les trois autres. Dans ce cas il suffit de mesurer un de ces côtés et de multiplier ce nombre par lui-même; ainsi on dira, c) fois q font 81 , et Ton saura que le carré a 81 mètres carrés en superficie.

. 3 ®. Mesurer un triaiwlc. \<

■On abaisse une perpendiculaire du sommet à<la base, et au moyen, de celte ligne Qïï mesure la baüteur du triangle, puis on mesure la base et Ton multiplie Tun des deux nombres parla moitié de l'autre-. Si donc un triangle a 6 inètrês de base sur 5 de hauteur, multipliés 5 par 3 , qui feront i 5 , npinbre des nièlrps carrés contenus dans le triangle.

4 **- Mesurer ûnrJiomhe: '

Lie i hombe ou losange étant composé • le deux triangles unis par leur base , on oit cpneevoir qu’U deviedt très-facile à

' f\\ I GÉOMÉTRIE.*

mesurer, en i<^pétant deux fois l’opéra- . lion dont nous venons de parler.

• 5". Mesurer un trapèze. ’

' On mesure séparément les Seux côtés parallèles, et on réunit les produits ; on mesure ensuite séparément le triangle, qui n’a pas été compris dans ropération,

' et l'on additionne les deux produits. Un irapète , d’ailleurs , est toujours formé

• par la réunion de deux triangles. On le <!ivise donc par une droite ; on opère sur chacun des triangles, ainsi que nous

• . l’avons indiqué ci-dessus , n® 3 , et l’ad-

dition des produits des ‘triangles donne la capacité du trapèze.

6°. Mesurer un poljrgone,

. ' Divisez les 'triangles par des diagonales

• tirées d’un même sommet , mesurez cha- / que triangle ; additionnez ensemble tous

les produits , la somme totale donnera la mesure du polygone.

Mesurer une circonférence.

Prenez la mesure de la circonférence et multipliez-la par la longueur du rayon , vous aurez la superlicie totale ilc la cil conférence , à peu de chose |nès. . r * ‘ ^

' moult; UES. 45

Nous .u’eti dirons pas davantage sur* ce sujet ; la majeure partie des ouvriers s’en contentera ; ceux qui auront à faire souvent usage d’opérations de cette- nature ou qui sei ont appelés à cuber des bois, devront avoir recours à de plus amples démonstrations que nous ne saunons leur donner sans sortirdes proportions que ndusdevons conserver à cliacune des partieside cet ouvrage. Le menuisier a peu souvent occasion de mesurer des solides ; il achète son bois tout' débité.

Nous terminerons, dans le chapitre 111, ce qui nous reste à dire sur la géométrie, par l’explication de la manièrede réduire ^ oud’auginenter'les prolils,etpardes notions sur la pénétration des solides , qui feront l’objet du quatrième chapitre.