CHAPITRE IY

Application de ce qui précède à la théorie de la Lune .

La Lune , en vertu de la seule attraction de la Terre , exécuterait son mouvement de révolution dans une ellipse inaltérable ; mais le Soleil , placé à une distance fixe , agit continuellement sur cet astre , et fait changer l’inclinaison ainsi que la forme et la grandeur de son orbite. Ces déplacemens ont beaucoup occupé les géomètres , et particulièrement Euler, Clairaut, Dalembert, Lagrange, Laplace, Poisson, etc., qui ne sont parvenus qu’à les estimer approximativement. Les recherches mathématiques auxquelles les actions combinées du Soleil, de la Terre et de la Lune ont donné lieu, sont devenues célèbres dans l’histoire de la science et sont ordinairement désignées sous le nom de problème des trois corps .

Nous allons examiner les principales inégalités auxquelles le mouvement de la Lune est assujetti. Nous examinerons d’abord les altérations que subit l’orbite de cet astre dans son inclinaison sur l’écliptique , et ensuite celles qu’elle éprouve dans sa forme et sa grandeur.

Supposons la Lune en un point quelconque de sa trajectoire et le Soleil exerçant sur cet astre une action selon une droite généralement oblique à l’écliptique. On pourra d’après le théorème

connu du parallélogramme des forces , décomposer cette action en deux autres, dont Tune sera égale et parallèle à celle que subit également la Terre de la part du Soleil, et dont l’autre aura une intensité et une direction déterminée. La première de ces composantes ne peut produire aucun dérangement dans les mouvemens relatifs, puisque la Terre et la Lune y sont également soumis. L’autre, au contraire, tendra continuellement à déranger le dernier astre dans son orbite, et se comportera comme une force perturbatrice .

Il existe donc une force perturbatrice qui passe continuellement par le centre de la Lune, et dont l’intensité dépend de la position de ce dernier astre à l’égard du Soleil ; nous allons chercher à apprécier les effets qu’elle produit. Pour cela , concevons du centre de la Lune , une perpendiculaire abaissée sur l’écliptique. Concevons de plus, par cette perpendiculaire et la direction de la force perturbatrice, un plan qui coupera l’orbe de la Lune selon une troisième droite. On pourra décomposer de nouveau la force perturbatrice selon cette dernière droite, et la perpendiculaire à l’écliptique. On aura ainsi , au lieu d’une seule force perturbatrice deux autres , dont l’une agira pour ramener la Lune vers l’écliptique , et dent l’autre agira pour troubler le meme astre dans son orbite ; c’est la considération de ces deux forces qui va nous donner l’explication des principales inégalités de la Lune.

Considérons d’abord la force perturbatrice qui agit sur l’astre pour le ramener dans le plan de l’écliptique. Pour cela , soit E N l’écliptique et L h le petit arc que décrirait la Lune en un instant donné (fig. 21); soit aussi Lu l’espace que parcourrait l’astre dans le même temps , en vertu de la force perturbatrice du Soleil qui tend à le ramener vers l’écliptique. La Lune , obéissant à deux forces qui devraient la transporter dans le même temps en a et en b , suivra la diagonale L/ du parallélogramme aTubl, comme l’enseigne la composition des forces. L’orbite lunaire devient donc L/, au lieu de L&, et le nœud qui était en N se trouve transporté en N’ ; ainsi le nœud s’est avancé en sens contraire au mouvement de la Lune en longitude. On remarquera, d’une autre part, que le nouvel angle d’inclinaison de l’orbite LN’E est plus grand que l’ancien LNE. Cette inclinaison est croissante tant que la Lune est au-dessus de l’écliptique ; mais elle «e rétablit peu à peu quand F astre est au-dessous de ce même plan. Les nœuds seuls continuent à rétrograder.

Nous déduirons de ce qui précède, que la Lune subit deux altérations 9 l’une dans Y inclinaison de son orbite par suite de laquelle ce plan paraît osciller autour d’un état moyen invariable avec la suite des siècles; l’autre dans la direction de la - ligne des nœuds qui , par son mouvement ré-

frograde, décrit environ ig°,3286 par an, ou bien une circonférence entière dans l’espace de 66g3j3g ou de i8 ans j mois

Les deux mouvemens combinés dont nous venons de parler , en produisent un troisième dans l’axe de rotation de la Lune , qui décrit une petite surface conique autour d’une perpendiculaire à l’orbe de cet astre. ‘Ce mouvement a reçu le nom de nutation de la Lune.

Nous avons décomposé précédemment l’action perturbatrice du Soleil sur la Lune en deux autres , dont l’une perpendiculaire à l’écliptique produit les dérangemens dont nous venons de parler, et dont l’autre agissant dans l’orbite même de la Lune, produit également des perturbations dont nous allons nous occuper.

Soit L m l’orbite lunaire, T le centre de laTerre et L/? la partie de la force perturbatrice dont il s’agit (fig. 22). On pourra décomposer cette force L p en deux autres Le et L^, l’une dirigée dans le sens du rayon vecteur TL , et l’autre tangente à l’orbite. La première agira donc pour changer la pesanteur de la Lune vers la Terre , et la seconde pour altérer la vitesse de translation du même astre. Ces forces perturbatrices , du reste , augmentent et diminuent alternativement la vitesse de la Lune et sa pesanteur vers la Terre. Ces inégalités dépendent des différentes positions que peut prendre l’astre par rapport au Soleil et à la Terre,

Tycho-Brahé observa le premier , qu’en partant , par exemple , du point de la conjonction la vitesse de la Lune se ralentissait jusqu’au premier quartier ; que depuis le premier quartier , elle augmentait jusqu’à l’opposition ; qu’elle diminuait dans la troisième partie de l’orbite, puis s’accélérait dans la quatrième, pour recommencer ensuite les mêmes alternatives. Ces diminutions et augmentations périodiques de mouvemens qui dépendent de la position de la Lune par rapport aux sy zygies ou à la ligne qui j oint les centres du Soleil , de la Terre et de la Lune , lorsque ces astres sont en conjonction ou en opposition, ont pris, en astronomie, le nom de variation.

On doit encore à Tycho-Brahé la connaissance de ce qu’ôn nomme Y équation annuelle , qui est une inégalité dépendante du lieu de la Terre dan?; l’écliptique. Dans le cours d’une année , la Terre, en effet, avec la Lune qui l’accompagne , se rapproche et s’éloigne successivement du Soleil ; il en résulte que lorsque notre globe en hi-* ver vient passer au périhélie, le Soleil plus rapproché de la Lune exerce une action plus forte pour diminuer sa pesanteur et dilater son orbite ; en été , au contraire , l’action solaire est moins forte et l’orbite lunaire se resserre autour de notre globe. Ces dilatations et contractions successives de l’orbite de la Lune constituent l’équatio

annuelle, et leur période s’accomplit dans l’espace d’une année.

Puisque l’orbe lunaire se dilate et se contracte alternativement , et que le temps de la révolution d’un astre dépend de l’étendue de son orbe , on doit en conclure que le temps périodique doit être plus court en été qu’en hiver.

Nous avons vu précédemment que la partie ht de la force perturbatrice produit la variation, en ralentissant et accélérant la vitesse de la Lune (fig. 22) ; et que l’autre partie L c produit l’équation annuelle , en faisant varier la pesanteur de l’astre vers la Terre pendant le cours d’une année. Cette même partie L c de la force perturbatrice donne aussi naissance à Y élection , autre inégalité qui fut indiquée par Ptolémée. Hipparque avait déjà fait connaître aux anciens l’excentricité de l’orbe lunaire , et avait montré par là pourquoi la vitesse de la Lune n’était pas toujours la même, et pourquoi cette vitesse atteignait son maximum et son minimum aux extrémités de la ligne des absides. Ptolémée observa que d’une révolution à l’autre , les quantités absolues de ces vitesses extrêmes variaient, et que plus le Soleil s’éloignait de la ligne des absides de la Lune , plus la différence entre ces deux mêmes vîtesses allait en augmentant. Voici comment on peut se rendre compte de cette inégalité, ainsi que du mouvement de Vaxe des absides. Nous avons déjà vu que l’ac-

lion du Soleil tendait à faire varier la pesanteur de la Lune vers la Terre ; en examinant ce que devient l’intensité Le de cette action , on trouve que la pesanteur augmente dans les quadratures et diminue au contraire aux syzigies ; la diminution de la pesanteur est à-peu-près double de l’augmentation. Or , nous savons que la Lune commence à dépasser son périgée, quand elle a le maximum de vitesse et conséquemment le plus de force pour vaincre l’attraction de la Terre. Ainsi le Soleil , en diminuant la pesanteur et en favorisant la vitesse de la Lune, change l’instant où cet astre passe au périgée , et voit ce dernier point constamment se diriger vers lui. Le contraire a lieu aux époques où le Soleil opère une augmentation dans la pesanteur de la Lune ; le périgée se meut alors en sens opposé. Mais comme la diminution est double de l’augmentation, le mouvement direct du périgée vers le Soleil surpasse le mouvement rétrograde. Il arrive de là que l’axe des absides de l’orbe lunaire se meut dans l’ordre des signes ; l’arc parcouru dans l’espace d’un an est de 4-o°,65, et une circonférence entière est décrite dans l’espace de 3232,5^56 jours ou 9 ans environ. Mais pendant que la Terre exerce ces influences, l’excentricité de l’orbite lunaire doit varier également , et ces variations deviennent sensibles par une altération dans la vitesse de la Lune, qui subit alternativement des

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avances et des retards. C’est ce changement cl’excentricité qui constitue Y élection.

En comparant les observations anciennes aux observations modernes , on avait remarqué que le mouvement de la Lune s’accélérait. On avait fait différéntes conjectures sur la nature de cette accélération, maisM. deLaplace a fait voir, dans sa Mécanique céleste , que Y équation séculaire de la Lune provient de l’action du Soleil sur ce satellite, combinée avec la variation de l’excentricité de Forbe terrestre. Cette accélération pourra être représentée désormais en ajoutant aux longitudes moyennes de l’astre, le nombre 10” multiplié par le carré du nombre des siècles écoulés depuis 1800.

Nous ne reviendrons pas ici sur la libration de de la Lune , dont il a été question dans le livre précédent. Nous avons vu que ce phénomène est purement optique et n’affecte pas le mouvement réel de translation de l’astre.

Il résulte donc de ce qui précède, que la Lune subit plusieurs inégalités, dont les principales concernent Y inclinaison de son orbite, la direction de la ligne des nœuds et de la ligne des absides , la direction de son axe de rotation, ce qui donne lieu à la nutation ; les autres inégalités qui affectent son mouvement et la forme de son orbite, sont désignées ordinairement sous les noms dVçection , de variation , Adéquation annuelle, d’ équation séculaire , etc .

( Soi )