LOIS DU MOUVEMENT DES PLANÈTES

2» En mesurant les distances itinéraires des planètes au Soleil, on constate qu'elles sont presque constantes.

Pour calculer ces distances, Copernic supposait uniformes les mouvements de la Terre et de la planète, et leurs orbites circulaires. A partir d'une opposition SO [fig. 109), il observait à des époques déterminées la distance angulaire STP de la planète au Soleil. L*angle TSO et Tangle PSO étant connus d'après son hypothèse et la connaissance des durées de révolution ^'

de la Terre et de la planète, il pouvait construire le triangle STP (ST = i). Il trouva que les distances ne sont pas absolument constantes, ce qui le força à compliquer son système.

Kepler supposait seulement le mouvement de la Terre uniforme. Au bout d'une révolution de la planète, celle-ci est revenue en 0, la Terre est venue en T, el de la mesure de STO à ce moment, il concluait la longueur SO. Les moyens mouvements étant incommensurables, les oppositions donnent toutes les positions possibles de la planète, dont on peut alors tracer l'orbite par points: c'est ainsi que Kepler étudia le mouvement de Mars.

125. Deuxième approximation. —Détermination du mouvement héliocentrique d'une planète par des observations géocentriques, faites à des époques con-

3ie8

▼enablement choisies. — On établit d'abord que la planète se meut dans un plan passant par le centre du Soleil, qui coupe Técliptique suivant une droite ûxe et sous une inclinaison constante.

i^ Pour déterminer le nœud, on remarque que la latitude géocentrique ou héliocentrique de la planète est nulle à ce moment, la planète étant dans l'écliptique. On obtient donc par interpolation le temps du passage au nœud ascendant ou

Plg. 110.

descendant, et la longitude géocentrique de la planète à ce moment, rapportée à un équinoxe fixe. On calcule la longitude du Soleil pour le même moment.

2® La droite menée du Soleil à l'un des nœuds fait un angle constant avec la ligne des équinoxes. Supposons la planète à son nœud en P et soient S et T les positions du Soleil et de la Terre {fig. 110). La figure PST est dans le plan de Técliptique et l'on a :

SP r sin STP sin (L — 0) ST "" r "~ sin SPT "" sin (N — L) *

A une autre époque, où Ja planète sera au même nœud, on

DÉTERMINATION DU MOUV. HÉLIOCENTRIQUE D'UNR PLANÈTE 329

aura de même :

r, 8in(L^ — 00 r; "" 8in(N — lV

On trouve que toutes ces équations sont satisfaites par les mêmes valeurs de r et N et Ton en déduit la longitude héliocentrique N du nœud ascendant. Le nœud descendant est à 180^

3^ La planète se meut dans un plan qui passe par la ligne

Fig. lil.

des nœuds. Ou bien : si par une position quelconque de la planète et la ligne des nœuds on fait passer un plan, ce plan a une inclinaison constante sur l'écliptique.

Pour le démontrer; au moment où la Terre est sur la ligne des nœuds, et où la longitude du Soleil est par conséquent égale à N ou à 180*» -|-N, on détermine, par interpolation, la latitude géocenlrique de la planète p = Pp et sa longitude géocentrique yp = L. Le triangle PNp [fiff, 111) donne :

tgp = tgt sin(L— N)

On en déduit i. Toutes les valeurs coïncident, quelles que soient les positions de la planète.

4^ Il reste à déterminer le mouvement de la planète dans le plan de son orbite. Il faut pour cela connaître le rayon vecteur et la longitude dans l'orbite à un moment quelconque, ou l'angle du rayon vecteur avec la ligne des nœuds. Cet angle u augmenté de Nest égal à la longitude v dans Torbito. On rappelle argument de latitude.

A chaque opposition, on a, par interpolation, la longitude héliocentrique de la planète tout comme si on l'observait du Soleil ; car, à ce moment, le Soleil, la Terre et la planète sont en ligne droite. Au bout de plusieurs révolutions, on a donc un certain nombre de ces longitudes distribuées assez régulièrement sur toute Torbite ; i étant connu, on en conclut la longitude dans Torbite par la relation

tg(t)— N)cost = tg(L — N)

On compare ces longitudes avec leur expression empirique

î? = n^ -}- 6 -|- A sin {nt -f *) + ^ sin 2 {nt -\- ol) -]-,,,

et de ces équations on conclut les valeurs de e, A, B et a, la valeur de n étant déjà connue. On trouve que des valeurs constantes des inconnues satisfont.

On peut alors calculer la longitude héliocentrique pour une époque quelconque à laquelle on a observé la longitude géocentrique de la planète L' = yT|î, ainsi que sa latitude

P'=pp.

Reste à déterminer le rayon vecteur de la planète et sa distance à la Terre. Soient {fig, 112) S le Soleil, T la Terre, P la

DÉTERMINATION DU MOUV. HÉLIOCENTRIQUE d'uNE PLANÈTE 331

planète au moment où Ton a observé la longitude L' = yTp^ de celle-ci et sa latitude p' = p'p^ .

On déduit des Tables du Soleil la longitude © == y TS' et la distance TS = R; on calcule, à Taide de la série empirique précédente, la longitude v de la planète dans son orbite, et,

Fig. 112.

la longitude du nœud N étant connue, ainsi que Tinclinaison t, on en déduit la longitude héliocentrique ySP^ de la planète par la relation

tg (L — N) = tg (t? — N) cos î, et sa latitude héliocentrique P'P^, par la formule :

tgp = tgi8in(L — N).

Le triangle STp, projection de STP sur le plan de Téclip-

tique, donne alors :

ou bien

sin STp Sp sinSpT^ST'

sin (L^ — Q) r, sin(L'— LO "~R'

d'où Ton déduit r|, distance accourcie de la planète au Soleil. On a ensuite le rayon vecteur lui-même SP par la relation :

SP = r = -^•

On calcule de la même manière la distance accourcie à la Terre Tp =rj et la distance vraie TP = r'.

L'équation

8infL'-0) ^* ~ 8in(L-I/)

montre que les meilleures conditions de détermination de r sont celles où

L' — O = 90», ou

la planète est alors en quadrature et passe au méridien 6 heures après ou avant le Soleil.

Ayant ainsi pour des époques ^, t\ t'\.,. les longitudes dans l'orbite v, v\ t?"... et les rayons vecteurs r, /, r"...., on calcule s ^^ "t: et Ton vérifie la loi des aires, z at

DÉTERMINATION DU MOUV. HÉLIOGENTRIQUB D'UNë PLANÈTE 333

Oq trace l'orbite par points et l'on en reconnaît la forme elliptique. On vérifie cette forme en posant :

, a (i — e^) 1 -f- ^ cos {v — zs) ou :

r [i -^ e cos V cos zj -i- e siu v sin cy] = a (1 — e^).

On pose :

e cos d = a?, c sin cj = y, a (1 — e') = p.

On a alors :

r-^-xr cos r -}- y^ sî^^ ^ = Pi r' -|-a?r' cos v -^^ y r' sin w = p\

On déduit de Tensemble des observations les valeurs les plus probables de e, u ei a et Ton constate que les résidus sont de Tordre des erreurs d'observation. Les deux lois de Kepler sont alors démontrées :

1<» Une planète décrit autour du Soleil une orbite plane telle que Taire balayée par le rayon vecteur est proportionnelle au temps.

2^ Cette orbite est une ellipse dont le Soleil occupe un des foyers.

Ayant fait ces déterminations pour toutes les planètes, on a les temps T, TT, T"... des révolutions sidérales et leurs moyennes distances au Soleil exprimées en fonction du rayon moyen de Torbite terrestre. On en conclut la troisième loi de Kepler :

d*" Les carréâ des temps des révolutions sidérales des pla-»

nètes sont proportionnels aux cubes des grands axes de leurs orbites. Cette loi s'exprime par la formule

Ti T'a

ou, en fonction du moyen mouvement :

Pour la Terre :

par suite :

On a aussi :

V étant la vitesse linéaire de la planète. Le moyen mou-

vement n a pour valeur -? et la loi de Kepler peut s'écrire :

ce qui montre que la vitesse linéaire décroît à mesure que a augmente.

On peut encore prendre pour constante la valeur

rpj — "'t

ce qui donne pour la Terre {a = i):

DÉTERMINATION OU MOUV. UÉUOCk^NTRIQUE d'uNE PLANÈTE 335

ou:

Log k = 5,87480

Pour une autre planète, dont on a déterminé la durée de révolution sidérale 1\, on obtient le grand axe de Torbite par la formule :

a! = ^kY^

C'est donc en déterminant comme nousTavons fait la durée de la révolution sidérale des planètes qu'on obtient le rapport de leur moyenne distance au Soleil au demi-grand axe de Torbite terrestre.

Comme nous l'avons vu pour le Soleil (83), les éléments nécessaires pour fîxer la position d*une planète sont au nombre de 7:

10 et 2® La longitude du nœud et l'inclinaison de l'orbite, qui ûxent la position du plan de Torbite.

3** La longitude du périhélie, qui fixe la position du grand axe.

4^ et 5** Le demi-grand axe a et Texcentricité e, qui fixent la forme de l'orbite et ses dimensions.

6** Le moyen mouvement n, qui fixe la durée T de la révolution.

7** La longitude moyenne de l'époque, que l'on peut remplacer par l'époque du passage au périhélie.

La troisième loi de Kepler réduit ces éléments à 6.

126. Détermination de Torbite d'une Planète par des observations faites à des époques quelconques. — La

connaissance des lois du mouvement elliptique des Planètes permet de déterminer les éléments de l'orbite d'un de ces astres par trois observations de ses positions apparentes dans

le ciel, faites à trois époques distinctes peu de temps après sa découverte. Nous ne pouvons qu'indiquer ici la marche à suivre dans la solution de ce problème, que Gauss a traité d'une manière complète dans son bel ouvrage intitulé : Theoria motus corporwn cœlestium in seclionibus conteur soient ambientium (Hambourg, 1809).

On a observé de la Terre la longitude L' et la latitude p' de la planète, à un moment où les coordonnées écliptiques de la Terre sont 180* -f" O ®^ ^^ données par les tables du Soleil (B = o). Les coordonnées héliocentriques L, p et r de la Planète sont liées à ces données par les relations :

I A' cos p' cos a = A cos p cos a — R cos A, {\\ l A' cos p' sin a' = A cos p sin a — R sin A, ( A' sin p' = A sin p,

qui contiennent en outre Tinconnue A, distance de la Terre à

la planète. Il faut les transformer en y introduisant les éléments cherchés de l'orbite. On comptera les longitudes à partir du nœud ascendant ; elles deviennent L — N, L' — N et ISO» + o — N ou 180» — (N — O).

De plus, il faut éliminer p, et pour cela introduire la longitude dans l'orbite v. On a [fig. 113) :

cos p cos^a = cos (i? — N), cos p sin a = sin [v — N) cos t, sin p = sin [v — N) sin i.

DÉTERMINATION DE l'ORBITE d'uNE PLANÈTE 337

Posons :

Les formules deviennent :

j r' cosp'cos(L^— N)=ircos(î?— N)-}-Rcos(N — O), (4) j r'cosp'sin(L' — N)=rsin(i?— N)cose— Rsin(N — O), ( r sin p' = r sin {t? — N) sin i.

Les inconnues sont N, e, r, r' et v.

Il faut joindre à ces relations Téquation :

i -|- ^ cos (v — n)

qui introduit trois nouvelles inconnues a, et ct.

La loi des aires donnera une cinquième relation. On exprimera que le secteur elliptique PSA {fig. 114) est à Taire de l'ellipse comme le temps

écoulé depuis le passage

^ ^ ^ Fig. 114.

au périhélie est au temps

de la révolution entière. On aura ainsi une nouvelle équation:

f (r, r, «, e, cr, ô) =

qui introduit une neuvième inconnue, Tépoque ô du passage au périhélie»

Entre ces cinq équations, on éliminera les inconnues r', v et r; il restera deux équations entre les six éléments N, i, a, e, Ts et 0. Les quantités connues sont L*; p' et ©»