DÉTERMINATION DES COORDONNÉES ASTRONOMIQUES

différence de longitude tiennent à la cause qui vient d'être signalée.

Les erreurs instrumentales des lunettes méridiennes peuvent être et sont entièrement éliminées par les méthodes dont nous avons indiqué le principe. De même les ascensions droites absolues des étoiles, qui interviennent dans la deuxième méthode où les étoiles observées ne sont pas les mêmes aux deux stations, peuvent être regardées comme connues avec toute la précision nécessaire. Mais Tobservateur introduit son erreur personnelle (40) dans le résultat de Tobservalion, qui se trouve par suite entaché d'une erreur égale à la différence des deux erreurs personnelles. Pour Ten débarrasser, les deux observateurs opèrent alternativement aux deux stations ; ou bien ils déterminent, avec les mêmes instruments et par la même méthode, la différence de longitude de deux points voisins, dont la distance perpendiculairement au méridien est connue, et ils en concluent la différence cherchée. Toutes les méthodes supposent la constance de Véquation personnelle pendant la durée des opérations.

La troisième coordonnée d'un point à la surface delà Terre, son altitude au-dessus du niveau de la mer ou au-dessus du géoïde s'obtient par une suite de nivellements géométriques, exécutés à Taide du niveau à lunette, depuis le lieu d'observation jusqu'au bord de la mer, où le niveau moyen de l'eau a été déterminé, au moyen du marégraphe, par une longue suite d'observations.

Par ces procédés, le géodésien est en mesure de tracer sur la surface de la Terre les lignes d'égale longitude, ou méridiennes, et de les graduer en colatitude. Il peut de même tracer les lignes d'égale colatitude ou les parallèles. Ces lignes

peuvent être réduites au niveau de la mer, et elles sont alors tracées surle géoïde. Diaprés ce mode de tracé, une méridienne est le lieu des pieds des verticales qui sont toutes parallèles à un môme méridien céleste. Un parallèle est le lieu des pieds des verticales qui font toutes le même angle avec Taxe du monde. C'est la comparaison de ces lignes, et, en particulier, des méridiennes, avec d'autres lignes tracées géométriquement sur le géoïde, qui va permettre de déterminer la forme et les dimensions de cette surface.

186. Lignes géodésiques. — Le cercle méridien, qui sert à déterminer les méridiennes et les parallèles, sert aussi à tracer sur la Terre les lignes géodésiques. On appelle ainsi toute ligne telle que ses plans osculateurs soient tous normaux à la surface du géoïde. C'est aussi la ligne de plus courte distance entre deux points.

Pour tracer une telle ligne à partir d'un point A [fig. 124),

Flg. 122.

dans une direction déterminée Aw, on prend sur cette direction et dans l'horizon de A un point m assez rapproché de A, et l'on regarde le segment km comme un arc de la ligne cherchée. On se transporte en m et Ton détermine le plan qui passe par la verticale en ce point et par l'arc wA. Sa trace sur l'horizon de w, au-delà de ce point, détermine un deuxième arc mm' de la ligne cherchée, et ainsi de suite. La lunette méridienne,

LIGNES GÉODÉSIQUËS 369

transportée successivement en m, m'..., et réglée en chacun de ces points de manière à décrire un plan vertical passant par le point précédent, détermine ainsi une suite d*arcs qui, pris deux à deux de part et d'autre d'un même point m', sont dans le plan osculateur de la ligne en ce point ; et ce plan contient la verticale en w'. La ligne ainsi tracée satisfait donc à la définition de la ligne géodésique.

La direction de la ligne est définie par Tangle que fait avec le méridien du point A le plan vertical qui passe par Aw, ou par Vazimut de m sur Vhorizon du point A .

Or, lorsque partant de Paris, par exemple, on trace ainsi la ligne géodésique dont le premier élément est dans le méridien de Paris, on trouve que cette ligne coïncide très exactement avec la méridienne astronomique de Paris, déterminée comme il a été dit précédemment. 11 résulte de cette coïncidence que la méridienne de Paris est une courbe plane; car, d'après sa définition comme méridienne, toutes les verticales qu'elle contient sont parallèles à un même plan ; et, d'après sa définition comme ligne géodésique, ces verticales se rencontrent deux à deux successivement. Donc, en pre* mier lieu, les méridiens terrestres sont des plans.

137. Tracé et mesure d'une méridienne ou d'une ligne géodésique* — Le tracé d'une ligne géodésique» méridienne ou autre, ne pourrait se faire directement que dans une région peu accidentée et découverte. La mesure directe de sa longueur entre deux points serait généralement impossible. On substitue donc au procédé direct l'emploi d'une chaîne de triangles, dans lesquels on n'a à mesurer

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NOTIONS DE GEODESIE

directement que des angles, et qu'on dirige de manière qu'ils soient traversés par la Jigne qu'on veut tracer et mesurer. La mesure de la longueur d'un des côtés d'un de ces triangles, ou d'une bascj permet ensuite de calculer la longueur de la ligne.

Soit A (fiff, 123) l'extrémité de la ligne qu'il s'agit de tracer et de mesurer sur le géoïde. Deux autres points B et G, visibles du point A, et visibles l'un de l'autre, formeront les deux autres sommets d'un triangle, dont on mesurera les

Fig. 123.

trois angles à l'aide du théodolite. On mesurera en outre les angles mABet mAG, ou les azimuts de B et de G par rapport à la direction du premier élément Aw de la ligne géodésique qu'il s'agit de tracer. Ge seront les azimuts absolus s'il s'agit de la méridienne du poiot A. L'un des côtés, AB par exemple, étant connu en longueur absolue, on pourra déterminer le point m par les longueurs des deux segments Bw et Cm, et aussi calculer la longueur Am. Un deuxième triangle formé de même sur BG et ayant son sommet en D, servira à déterminer le point m' où un plan vertical passant par m rencontrera le côté BD, el à calculer la longueur mm% et ainsi de suite.