DÉTERMINATION DU MÈTRE

Elle eût été presque nulle si le milieu de Tare français eût répondu à la colatitude de 45*. Dans ce cas en efiet s se réduit à :

et par conséquent

S 11 z 04 ir

Les termes en e^ ont disparu, il ne reste que le très petit terme qui dépend de e*. Or, en fait, les colatitudes des points extrêmes de l'arc sont 38» 58' et 48^» 38', dont la moyenne 43« 48' diffère peu de 45**. Il eût suffi que Tare fût prolongé jusqu'à nie de Formentera (51* 20') pour obtenir tout le bénéfice de cette position particulière de Tare mesuré. La mort de Méchain interrompit les travaux, qui ne furent repris par Biot et Arago que plusieurs années après l'établissement du mètre.

Hais il n'en est pas moins vrai que Terreur sur l'aplatissement de la Terre n'a eu sur la longueur adoptée du mètre qu'une influence très faible. Si en effet on calcule la distance du pôle à l'équateur avec les données actuelles introduites dans la formule de S, on trouve :

S = 10001877 mètres.

L'erreur serait donc de 1877 mètres sur le quart du méridien et, par conséquent, le mètre serait trop court de 0™",1877.

Si Ton s'en tenait à la définition légale du mètre, on voit que sa longueur serait une quantité incessamment variable avec les progrès de la géodésie : condition incompatible avec

Texistence d'unélalon de mesure. Cette définition ne doit être retenue que comme donnant un moyen mnémonique commode et très sulTisamment exact de se rappeler les dimensions du globe terrestre. Le mètre véritable est la longueur à 0* de la barre de platine déposée aux Archives de France à Paris ; c'est cette longueur qui a été adoptée par la Conférence internationale des poids et mesures, et c'est elle que Ton a repro-t duite avec toute l'exactitude possible sur les étalons à traits envoyés aux diverses puissances qui ont pris part à cette Conférence.

résulte des calculs faits sur les arcs de méridien mesurés jus* qu'ici, et en particulier sur les trois grands arcs russe, anglofrançais et indien, qu'à part les anomalies locales de latitude qu'on peut considérer comme des erreurs accidentelles puisqu'elles ne sont soumises à aucune loi, ces arcs peuvent être regardés comme appartenant à une même ellipse, dont les axes sont déterminés de grandeur et de position. Suit-il nécessairement de là que la Terre ait pour surface Tellipsoide de révolution engendré par cette ellipse tournant autour de son petit axe?

Pour que la démonslraii(»n fût complète, il faudrait évidemment que les distances mesurées de deux points situés sur deux de ces méridiens et à une même latitude, à l'équateur par exemple, fussent proportionnelles à la différence de longitude des deux méridiens. C'est ce qui n'est pas démontré aujourd'hui. D'une manière générale, il reste à mesurer sur le géoïde la longueur d'une ligne géodésique menée entre deux points quelconques, non situés sur le même méridien, dont

les coordonnées astronomiques sont connues, et à comparer cette longueur à celle de la ligne géodésique tracée sur Tellipsoïde entre les points correspondants.

Le tracé djune ligne géodésique quelconque à partir d'un point A, dont les coordonnées sont L et X, se fait parle même procédé que nous avons indiqué ; et la direction de cette ligne est définie par son azimut, ou par Tangle que fait le premier élément km avec la méridienne du point A. On prolonge cette ligne autant qu'on le veut, et, par une triangulation, on en détermine la longueur de A en B ; on détermine ausdi Tazimut de la ligne en B.

La détermination de la longueur de la ligne se faisant, nous Tavons vu, avec une précision qui ne laisse rien à désirer, tandis qu'il n'en est pas de même de celle des coordonnées astromiques, la meilleure comparaison de l'observation à la théorie se fera par la résolution du problème suivant.

« On donne la longueur AB = * d'un arc de ligne géodésique d'un ellipsoïde de révolution, la longitude et la colatitude de A, ainsi que Tazimut de la ligne en A. Calculer la longitude et la colatitude du point B, ainsi que Tazimut de la ligne géodésique en ce point. »

La théorie générale de la courbure des surfaces donne la solution rigoureuse de ce problème, que je supposerai par conséquent connue. J'indique seulement les résultats des comparaisons, en trop petit nombre encore, qui ont été effectuées jusqu'ici.

Lorsque, à l'aide de chaînes de triangles tracées suivant des parallèles terrestres, ou suivant des perpendiculaires à la méridienne, ou enfin suivant une direction quelconque, on calcule les coordonnées d'un point situé en dehors de cette

C'JUKS D'.».STRoX0M1E. 20

40â NOTIONS DE GÉODÉSIE

méridienne à une distance connue, on trouve en général des coordonnées géodésiques, longitude, colatilude et azimut, qui ne diffèrent des coordonnées réelles que de quantités du môme ordre de grandeur que les erreurs de latitude et d'azimul que Ton a constatées dans le calcul des points d'une méridienne. On peut donc encore considérer ces erreurs comme provenant en partie des erreurs d'observation, mais comme devant aussi en majeure partie être attribuées à des anomalies localssy c'est-à-dire à des déviations de la verticale en B par rapport à la normale à Tellipsoïde au même point, résultant d'un défaut d'homogénéité des couches terrestres autour de ce point. Ces anomalies ne suivent d'ailleurs aucune loi régulière, et par conséquent peuvent être traitées dans le calcul général de la forme de la Terre comme des erreurs accidentelles, qui devront finir par se compenser les unes les autres, quand le nombre des stations observées sera suffisamment considérable, mais qui ne doivent pas actuellement nous empêcher d'adopter la forme du géoïde telle qu'elle a été déterminée par les arcs de méridiens.

Nous sommes donc arrivés au but vers lequel nous tendions depuis le commencement de cette étude : déterminer une surface, différant assez peu du géoïde pour que la verticale en chaque point de ce géoïde se confonde sensiblement avec la normale à la surface géodésique au point où celle-ci est rencontrée parla verticale. Le travail qui reste à faire consiste alors à déterminer pour chaque point du géoïde la déviation locale qui, reportée au point correspondant de la surface géo-» désique, détermine la direction de l'horizon de ce point ; on obtiendra ainsi une série de plans tangents au géoïde, et il , serait possible d'exécuter en relief la figure vraie de ce géoïde.

La surface d*un ellipsoïde de révolution satisfait bien aux conditions imposées, qu'il n'y ait en chaque point que des anomalies locales fort petites. Celui dont le colonel Clarke a donné les dimensions et la forme est-il le meilleur que l'on puisse choisir ? Evidemment non ; s'il est vrai que la Terre puisse, dans son ensemble, être assimilée à un ellipsoïde, cela ne peut avoir lieu qu'à la condition que les irrégularités de la surface réelle, provenant de l'inégale distribution des continents et des mers, des défauts d'homogénéité des couches géologiques, de l'existence des massifs montagneux, se compensent les unes les autres. Or les arcs de méridiens mesurés ne représentent que des portions relativement petites de ces méridiens, 25"" d'amplitude au maximum ; ils sont peu nombreux, sont presque tous situés dans l'hémisphère boréal et ne s'élèvent pas vers le nord à une latitude supérieure à 70**. Il est donc peu probable que Ja compensation nécessaire puisse résulter de mesures faites dans une si petite étendue de la surface totale. La forme théorique de la Terre, c'est-à-dire la valeur de l'aplatissement, ne peut donc être aujourd'hui exactement déterminée par les mesures géodésiques. Les dimensions de la Terre, c'est-à-dire le rayon moyen du globe, peuvent au contraire être considérées comme très sufBsamment exactes.

Si l'on se reporte à ce qui vient d'être dit de la détermination définitive de la forme du géoïde, on voit qu'en réalité le choix de l'ellipsoïde auquel on rapporte celte forme est assez indifférent, pourvu qu'il soit suffisamment voisin du géoïde pour que les déviations locales restent très petites. 11 n'y aurait donc peut-être pas un intérêt considérable à calculer à nouveau l'aplatissement terrestre, lorsqu'on sera en possession

d'un nombre suffisant d'observations réparties sur tout le globe, si cette quantité n'était pas donnée par d'autres méthodes que la mesure géodésique des arcs, et si la perfection de la science n'exigeait qu*il y ait accord absolu entre les résultats des diverses méthodes.

L'observation du pendule, en donnant Tintensité de la pesanteur aux différents points du globe, permet de déterminer l'aplatissement de rellipsoïde auquel on peut l'assimiler. Cette observation est possible dans les îles au miireu des océans, et dans les régions polaires, c'est-à-dire en des régions où les mesures géodésiques sont impraticables. 11 semble donc que c'est surtout à elles qu'il faut demander la valeur de l'aplatissement, les mesures géodésiques donnant les dimensions. Malheureusement, si les observations du pendule par la méthode du commandant Defforges peuvent être regardées aujourd'hui comme absolument parfaites, parmi les réductions à leur faire subir,il en est une sur laquelle les physiciens et les géodésiens disputent encore. C'est la réduction au niveau de la mer. Suivant qu'on adopte une méthode ou une autre de réduction, on arrive à une valeur de l'aplatissement de 1/292 avec M. Faye, de 1/299 avec M. Helmert (<).

La proximité delà Lune fait que son mouvement autour de la Terre ne s'exécute pas comme si toute la masse de celle-ci était réunie en son centre de gravité, mais dépend de la forme de notre globe et par conséquent de son aplatissement. La théorie a démontré l'existence de plusieurs inégalités lunaires dues à cette cause ; et l'introduction dans les

(*) Voir riDtroducUon historique quo j*ai placée ea této du l. IV de la Golleciiou de mémoires publiés par la Société Trançiiise de physique. Mémoires sur le pendule.

formules de la valeur des coefficients donnés par l'observation conduit à des valeurs de Taplatissement qui varient de i/293 k 1/298. Cette méthode ne permet donc pns encore de résoudre la question du choix à faire entre les deux valeurs. Elle présente cet avantage qu'elle donnera, lorsqu'on sera en possession d'observations suffisantes, Tapiatissement moyen, abstraction faite des inégalités accidentelles du sol, la compensation se produisant d'elle-même à la distance où est la Lune. Enfin nous avons vu que les phénomènes de précession luni-solaire et de nutation dépendent de l'existence du renflement équatorial terrestre. Dans les expressions théoriques de ces inégalités, figurent nécessairement les deux moments d'inertie principaux de rellipsoïde terrestre, de telle sorte qu'en égalant l'expression théorique de la précession k la valeur que lui assigne l'observation, il est possible de déterminer le rapport de ces deux moments. Il serait possible donc d'en conclure la valeur de raplalissement, si la loi de variation de la densit»; à l'intérieur de la Terre était connue. Mais on peut du moins en déterminer une limite supérieure ; avec les données actuelles et dans l'hypothèse de la fluidité du noyau terrestre, la valeur de l'aplatissement ne peut dépasser 1/297,3. Si donc il était démontré que l'aplatissement est 1/292, il faudrait nécessairement modifier les idées que les géologues se sont faites de l'état de l'intérieur du globe, La détermination de la forme exacte de la Terre se trouve ainsi reliée aux questions les plus hautes de l'astronomie et de la géologie.