LIVRE I. —NOTIONS DE GÉOMÉTRIE
diamètre, ou de 300 millions de mètres sur la circonférence. En continuant ainsi , on verrait qu'une unité d'erreur sur la sixième décimale engendrerait une erreur de un millionième, ou de 300,000 mètres sur la circonférence.
En supposant l'erreur d'une unité sur le neuvième chiffre, l'erreur résultante sur la circonférence serait un billionième, ou de 300 mètres seulement.
Une erreur d'une unité sur le douzième chiffre conduirait sur la circonférence à une erreur égale à un trillionième ou à 3 dixièmes de mètre.
Une erreur d'une unité sur la quinzième décimale, correspondrait sur la circonférence à une erreur de 3 dixièmes de millimètre.
En prenant dix-huit décimales dans le rapport en question, une unité d'erreur produirait sur la circonférence une erreur de 3 dix-millièmes de millimètre ou beaucoup moins que l'épaisseur d'un cheveu.
Nous nous sommes arrêtés dans ces raisonnements à la dix-huitième décimale. On peut concevoir à quelles erreurs inconcevablement petites on serait exposé malgré l'immense contour de la circonférence en question, si l'on voulait déduire l'étendue de cette circonférence des rapports connus.
Ainsi, au point de vue de l'exactitude, on ne gagnerait rien par la connaissance d'un rapport exact entre le diamètre et la circonférence. On voit par là combien se trompent ceux qui s'imaginent que les sciences changeraient d'aspect et que leurs applications gagneraient beaucoup par la découverte d'un tel rapport, s'il existait.
Les personnes peu familiarisées avec les conceptions mathématiques, conçoivent difficilement qu'en multipliant indéfiniment les divisions, on ne doive pas arriver à une quantité qui sera contenue un nombre exact de fois dans le diamètre et dans la circonférence ; c'est dire qu'elles ne croient pointa l'existence de quantités incommensurables, ou de quantités qui n'ont aucune mesure commune, car c'est bien là le sens de l'expression incommensurable.
Mais qu'elles songent à un carré dont le côté soit représenté par l'unité, la diagonale aura alors pour longueur, mathématiquement, le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 2 pour produit. Ce nombre n'est évidemment pas entier, puisque 1 multiplié par 1 donne pour produit 1, et que le nombre entier suivant 2 multiphé par lui-même, donne déjà pour produit k- Or, quelle que soit l'étendue qu'on donne à la fraction qui accompagnera 1, le produit de ce nombre fractionnaire ne sera jamais 2, mais en approchera aussi près qu'on voudra.
Lorsqu'on a un exemple si simple et si vulgaire d'incommensurabililé, quelle raison peut-on produire pour refuser de croire que le diamètre d'un cercle et sa circonférence sont dans le même cas ?
L'existence de cette incommensurabilité a été établie par Lambert, et ensuite par Legendre, à l'aide d'une démonstration mathématique, qui est trop compliquée pour qu'il me soit possible d'en donner ici une idée, môme superficielle.
