LIVRE I. — NOTIONS DE GÉOMÉTRIE. 1â

composés chacun de 1,073, 741, 82/i. côtés. Les longueurs de ces deux polygones, évaluées en parties du rayon du cercle, avaient seize décimales communes; dès lors le rapport du diamètre à la circonférence pouvait être donné jusqu'à la précision d'une unité sur la seizième décimale.

Ludolph Van Ceulen, de Cologne, étendit la précision en suivant la même méthode jusqu'à la trente-sixième décimale.

Par des moyens de calcul plus abrégés, plus simples, mais reposant aussi implicitement sur la proposition que la longueur de la circonférence du cercle est toujours intermédiaire entre les longueurs des contours des polygones inscrits et circonscrits, on est arrivé à des degrés d'approximation surpassant beaucoup tout ce qu'on avait obtenu antérieurement. Lagny, par exemple, prenant le diamètre du cercle comme unité, détermina la longueur de la circonférence jusqu'à la cent vingt-huitième décimale.

Véga poussa l'approximation jusqu'à cent quarante et un chiffres.

Dans un manuscrit conservé à la bibliothèque Katchffe, d'Oxford, on trouve, dit-on, le rapport exprimé jusqu'à cent cinquante-cinq décimales.

Ces approximations n'ont aucune utilité pratique. Il n'est pas de cas dans les applications les plus abstruses de la science, où l'on soit obligé, à beaucoup près, d'aller aussi loin que les nombres de Lagny, de Yéga et de la bibliothèque Ratcliffe permettraient de le faire. C'est ce que je vais démontrer, après avoir consigné ici le

H ASTRONOMIE POPULAIRE

rapport en question-, jusqu'à la cinquantième décimale. Le diamètre étant 1, la circonférence sera :

'è.llii 592 653 589 793 238 /i62 643 383 279 582 884 197 169 399 375 105.

Il faut bien comprendre qu'en se contentant pour le rapport d'un certain nombre de décimales, celle à laquelle on s'arrête est trop faible et qu'en l'augmentant d'une unité, elle serait trop forte. En sorte que dans tous les cas, on obtiendra deux limites de longueur entre lesquelles la véritable circonférence sera toujours contenue. Ainsi le diamètre étant 1, le nombre 3.1 donnera une circonférence trop petite; 3.2 donnerait une circonférence trop grande; 3.14 donnerait un résultat trop faible, et 3.15 serait trop grand; 3.141 donnerait une longueur de circonférence trop faible, mais 3.142 serait un résultat trop grand, et ainsi de suite.

Cela posé, voyons avec quel degré d'approximation il serait possible de calculer, en s' aidant de tous ces chiffres, la circonférence d'un cercle ayant pour rayon la distance moyenne de la Terre au Soleil. Cette distance est de 38 millions de lieues, ou 152 billions de mètres; le diamètre du cercle est donc de 304 billions de mètres.

Une unité d'erreur sur la première décimale du rapport de la circonférence au diamètre, produirait sur la circonférence une erreur égale au dixième du diamètre, ou de 30 billions de mètres. Une unité d'erreur sur la seconde décimale, produirait une erreur de ^-^ sur la circonférence, ou de 3 billions de mètres. Une erreur d'une unité sur la troisième décimale, donnerait une erreur de ^-^ du