LIVRE I. — NOTIONS DE GÉOMÉTRIE

que, quelle que soit la direction du plan par lequel on suppose une sphère coupée, pourvu que ce plan passe par le centre, on obtiendra pour sections des cercles de même rayon égaux au cercle générateur.

Soit ABC (fig. 9) le diamètre autour duquel on a fait tourner un cercle pour engendrer une sphère. Considérons sur cette circonférence un point D. Dans son mouvement de rotation autour de AB, le point D restera toujours placé sur la ligne DE, perpendiculairement à AB et à la même

Fig. 9. — Génération d'une sphère. — Grands et [jetits cercles.

distance du point E; il décrira donc une circonférence de cercle dont le rayon sera DE.

Les mêmes raisonnements s'appliquent à tout point d'un cercle générateur quelconque rapporté à son diamètre. 11 s'ensuit que toutes les sections faites dans une sphère par des plans, sont des cercles d'un rayon d'autant plu« grand , que les plans sécants passent plus près du centre.

Les secjtions obtenues à l'aide de plans sécants passant par le centre de la sphère sont toutes égales entre elles et

s'appellent des grands cercles. Les autres sections également circulaires s'appellent des petits cercles.

Si l'on considère tous les petits cercles dont les plans sont perpendiculaires au diamètre du cercle générateur, on verra que la sphère peut être censée composée de l'ensemble de cercles dont les rayons vont sans cesse en diminuant depuis le centre jusqu'à la surface.

Les surfaces des sphères varient proportionnellement aux carrés de leurs rayons ou de leurs diamètres. Ainsi à une sphère d'un rayon double de celui d'une première sphère correspond une surface quadruple de celle de la première. Le rayon étant triple, la surface devient neuf fois plus grande; enfin à une sphère d'un rayon décuple correspond une surface centuple. Nous ferons usage de cette proposition lorsque nous nous proposerons de comparer entre elles les étendues superficielles des divers corps sphériques dont notre monde planétaire se compose.

Passons aux volumes comparatifs de corps sphériques de différentes grandeurs. Ces volumes varient proportionnellement aux cubes des rayons ou des diamètres.

Une sphère de rayon double a un volume 2 X 2 X 2 ou 8 fois le volume d'une sphère dont le rayon est 1. Le volume d'une sphère de rayon triple est 3 X 3 X 3 ou 27 fois le volume d'une sphère dont le rayon est égal à 1. Une sphère de rayon 10 a un volume égal à 10 X 10 X 10 ou 1,000 fois le volume de la sphère d'un rayon 1.

Nous trouverons de nombreuses occasions de faire des applications de ce théorème dans nos recherches astronomiques.