OPÉRATIONS NUMÉRIQUES

-+• 43,a57 3r8,G$5 -+. tif3584

-f. ai5,34 — 157,3g — i54,a35

i83*9gTiS*5 21* 10' 28*4 3.17054

■+■ 127.14.55,7 — 7'54''9»7 — i.4ano

Cest surtout dans les calculs logarithmiques que la pratique dont nous parlons présente des avantages. H ne faut 'recourir aux complémens arithmétiques pour changer les soustractions en additions, que dans certains cas particuliers. ( V. n° 128.)

Multiplication, Lorsque les facteurs sont accompagnés de fractions décimales, ou ne sont que des nombres approchés, la règle prescrite pour faire la multiplication doit subir quelque modification. Soient deux facteurs approchés a et b, ayant x et y pour erreurs; le vrai produit est

(a+.x) (b+y)=ab + bx + ay-\-xy.

Négligeons le dernier terme xy9 qu'on peut regarder comme une fort petite quantité. L'erreur du produit ab est donc bx -f- ay. On affaiblit cette erreur en prenant l'un des facteurs approché par excès, et l'autre facteur approché par défaut; car alors x et y sont de signes contraires, et l'erreur bx -+- ay devient une différence. Il convient donc , autant que faire se peut , de choisir pour a et b des facteurs qui se trouvent clans ce cas.

Mais, le plus souvent, on n'est pas maître de satisfaire à cette condition, et même on ignore si elle est remplie, parce que les nombres donnés a et b proviennent d'opérations qui ne laissent aucune instruction à ce sujet. Soit a > b\ le terme ay, qui est le plus influent de l'erreur , s'affaiblit à mesure que y diminue , c'est-à-dire quand b est très approché. Ainsi l'erreur que Von commet en prenant ab pour produit est d'autant

l8 INTRODUCTION.

moindre que le plus petit facteur b est plus approché. Par exemple , pour

si l'on néglige 0,71 au multiplicande, le produit sera 53 X 1 ,02 = 54,o6; il est en erreur de 0,724». Mais en négligeant seulement 0,02 au multiplicateur , le produit 53 ,71 est en erreur de 1,0742. Ainsi l'erreur est ici presque le double de celle du premier cas, quoique la partie négligée 0,02 soit beaucoup moindre dans le second.

En général, lorsqu'on veut multiplier deux nombres a et b qui sont affectés de fractions décimales , la règle prescrit d'y supprimer la virgule, ce qui donne les entiers A et B, et le produit AB. Ce produit est en erreur , comme ci-dessus , de Bx + kjTj quand a et b sont des valeurs approchées. Mais x et jr «ont toujours < J, car si la première décimale négligée est 5 au moins, on doit ajouter 1 au dernier chiffre du facteur. Faisons donc x =jr = ± ; Terreur a pour limite £ ( A + B ). Ainsi, pour multiplier a par b, supprimez la virgule, ce qui donne les facteurs entiers A et B , et le produit AB. Cette quantité peut être en erreur d'au plus £ ( A + B ). Il est donc facile de distinguer les chiffres du produit qui sont certains , de ceux qui peuvent être inexacts.

Dans le produit 53,71 X 1,02 = 54,7842, si les facteurs sont approchés, comme leur demi-somme, suppression faite de la virgule, est composée de quatre chiffres, les quatre décimales peuvent être fautives. Cest ce qu'on reconnaît bientôt en supposant que les vrais facteurs sont

D'après cela , on voit qu'il est bien inutile de chercher au produit de deux facteurs approchés , les chiffres dont on n'est pas certain , puisqu'on serait obligé de les supprimer ensuite ; toi ci comment on doit alors opérer.

Pour chercher le produit 53 , 7 14 X 1 , 0245 , où l'on ne peut compter sur l'exactitude des cinq chiffres placés à droite , il n'y a que deux chiffres décimaux dont on soit certain. On en cher-

OPÉRATIONS NUMERIQUES. ig

chera trois , sauf à négliger ensuite le troisième ; mais il faut prendre le plus petit facteur plus approché que l'autre. Ou multipliera donc 53, 71 par 1 ,024s, ainsi qu'il suit: on commence l'opération par le chiffre de la gauche du multiplicateur.

io,:*45 5,371

01,335, produit par 5; on conserve la place de U virgule.

3,074 paro,3; on néglige le 5 a droite.

717 pur 0,07; on néglige 45.

10 par 0,001 ; en négligeant a45.

55,020*, produit demandé = 55, o3.

Avant de négliger quelque partie à la droite du multiplicande , on cherche quelles sont les dizaines qu'on devrait reporter au produit suivant, si rien n'était négligé, afin de conserver cette retenue. Ainsi , dans la troisième multiplication partielle , où 7 est le facteur , avant de négliger 45 au multiplicateur, comme 4 fois 7 font 28, on doit retenir 2 ( et même 3 , attendu que 28 est plus voisin de 3o que de 20 ). On dira donc, 2 fois 7 font i4 > plus 3 de retenue font 17, et l'on posera 7 , etc.

Remarquez que nous avons déplacé la virgule dans las deux facteurs proposés : l'un a été rendu 10 fois plus grand, et l'autre 10 fois moindre, ce qui ne change pas le produit. Cela nous a permis de reconnaître aisément la place de la virgule dans le premier produit partiel , et par suite sa place dans les autres.

Dans les exemples que voici, on n'a pas pris ce soin , dont il est facile de se dispenser , puisqu'on peut trouver Ja place de la virgule en séparant dans l'un des produits partiels autant de décimales qu'il y en a dans le multiplicande et dans le multiplicateur. Dans l'exemple .suivant , le produit complet aurait 16 chiffres décimaux; mais les 9 derniers pouvant être fautifs, on se contente d'en chercher 8. Or, le premier chiffre du multiplicateur est 7, qui vaut 0,007; il faut donc

commencer l'opération par la 5e décimale du multiplicande , et négliger ce qui se trouve à droite.

0,30117025, produit par 0,007, on supprime 12

3441946 par 8, 312

172097 par 4i 3212

12907 par 3, fil 12

860 par 2, 243212

344 par 8, 0243212

3o psr 7, 3o2432f2

0,33745209, produit cherche.

Autres exemples.

Division. La recherche du quotient d'un nombre divisé par un autre conduit à des conséquences analogues aux précédentes. Pour bien comprendre cette théorie , observons que ce n'est jamais la multitude des chiffres du dividende, qui est gênante, puisque chacun est descendu à son tour près du reste d'une division partielle: c'est donc la complication du diviseur qu'il faut éviter. Voyons dans quel cas on peut négliger une petite partie x du. diviseur , sans altérer le quotient , dans l'ordre d'approximation que le problème exige. Soit D le dividende , et J+ x le diviseur : en divisant l'un et l'autre par d, on a