OPÉRATIONS NUMÉRIQUES

Or , supposons que l'on soit en droit lie négliger x au diviseur

fou que le quotient soit le premier terme -j ), lorsqu'on veut

i Dx

le quotient à moins de — près. Il faudra que —^ soit assez

petit pour être de l'ordre des quantités négligeables, dans le cas supposé; ainsi , il faut , pour qu'on puisse négliger x au di • viseur , qu'on ait

-jrK — > ou Dmx<*«f*.

» ■ Soit proposé, par exemple, de faire cette division ,

Voyons si, en se contentant d'approcher à un millième, on peut réduire le diviseur à 4? 5. On a ici m =1000, <f = 4>59 D =. 5,433,... x =■ 0,04 (ce serait x = 0,04298; mais comme on n'a besoin que de faire la vérification d'une inégalité pour reconnaître si elle a lieu, un calcul approché suffit). On trouve Bmx= 5433 X 0,04 = 217,32, résultat qui surpasse visiblement d% ou (4>5)\ Ainsi l'inégalité n'est pas vérifiée. Mais prenons <i — 4>^4> ct nous trouverons qu'elle l'est, puisque Dm* = 5433 X o,oo3 = 16 environ , qui est <(4,54)a. On divisera donc 5,433... par 4>^4> et l'on trouvera 1,196, comme cela est en effet.

Observez que plus le dividende D , la partie négligée x et le dénominateur m de la fraction — sont petits, par rapport

a d, et plus l'inégalité approche d'être satisfaite.

Voici le procédé de calcul qu'on suit, dans les divisions, lorsque le diviseur est composé d'un grand nombre de chiffres. L'exemple suivant, qu'on vient de traiter, nous servira à l'expliquer :

8{)oao ( >»»959

435yi ^705 434 etc . . .

Après avoir trouvé le premier chiffre 1 du quotient, au lieu d'abaisser, près du reste, le 2 du dividende, on supprime le dernier chiffre à droite du diviseur (c'est 3), et opérant à l'ordinaire, on trouve 1 au quotient , et 435gi au reste; on supprime de nouveau le dernier chiffre du diviseur (c'est 9) , et l'on continue l'opération en suivant la même marche, etc. : seulement, dans chaque multiplication du diviseur par chaque chiffre du quotient, on a soin de tenir compte des dixaines qu'il aurait données au produit , pour les retenir et les joindre au produit suivant. Ainsi, lorsqu'après avoir supprimé le 9 du diviseur, on a trouvé le quotient 9, comme 9 fois 9 font 81 , on retient 8, et l'on dit 9 fois 2 font 18 , et 8 font 26, qui , retranchés de 3 1, donne le reste 5 ; on pose 5, etc.

Ce procédé s'explique aisément , lorsqu'on remarque que la suppression du chiffre à droite , tant au dividende partiel qu'au diviseur, rend l'un et l'autre 10 fois moindres, ce qui ne change pas le quotient, ou du moins l'erreur n'est de nature qu'à influer sur les chiffres éloignés qu'on trouvera ; car il faudrait , pour que l'erreur fût nulle , que le chiffre négligé fût zéro des deux parts.

Racine carrée, Lorsqu'on veut avoir plus de 4 à 5 chiffres à fa racine, les calculs se compliquent beaucoup; mais on les abrège en cherchant d'abord, par la méthode ordinaire, plus de la moitié des chiffres dont la racine est composée , puis les autres chiffres se trouvent en divisant le reste de l'opération par le double de la racine trouvée. En effet , soit N le nombre proposé dont on demande la racine , et a la partie à gauche déjà trouvée de cette racine, x le nombre qui la complète; on a

t/N = a + x , d'où N = (a+ xy -... a% + iax + x*',

donc

OPÉRATIONS NUMERIQUES. a3

N — a* = iox 4- x* = aa ( j: -| J ,

Or, N — a* est le reste obtenu , et 2a le double de la partie

trouvée à la racine. Si 2a est formé d'au moins le double du

x% nombre de cbiffres dont x est composé, le dernier terme —

est <i, et négligeable quand on ne cherche que les entiers; et

Pon sait que l'extraction des racines ramène toujours les choses

à cet état. Donc x est le quotient du reste obtenu, divisé par

le double de la racine trouvée.

Il y a une observation à faire sur la nature des unités qui composent N — a\ a et x ; car si la racine a 9 chiffres , dont on ait déjà trouvé 5, il faut concevoir quatre zéros à la droite de ces 5 chiffres, pour que' a soit sous la forme qui lui est propre: de même, N — a* a 8 zéros. On peut donc, dans la division par 2a , omettre les 4 zéros de 2a , et n'en placer que 4 à la droite du reste, c'est-à-dire autant qu'on cherche encore de chiffres pour compléter la racine.

Voici un exemple :

Après avoir trouvé les 4 premiers chiffres ,7 3 79 de la racine , et le reste 1 3474 9 pour obtenir les trois autres chiffres, on divise ce reste, suivi de 3 zéros, par i47$8, double de la racine.

Ainsi la racine cherchée est 7379913.

Au lieu d'ajouter 3 zéros au reste , on aurait dû y adjoindre les trois^chiffres suivans 896 du nombre proposé.

Soit demandé la racine de 2 avec 8 décimales. Il faudrait

placer 16 zéros à la suite de 2 , ou du moins descendre 8 fois des zéros par couples , près de chaque reste. Voici le détail du calcul par le procédé ci- dessus :

ÎO

a8ixi

II 90.0

Dans la dernière division qu'on fait pour trouver la partie qui complète la racine, il ne faut pas oublier qu'on doit trouver au quotient autant de chiffres qu'on a ajouté de zéros au reste pour former le dividende. S'il n'en était pas ainsi, pour donner aux chiffres du quotient la valeur qui leur appartient , il faudrait placer à gauche un nombre de zéros propre à compléter le nombre de chiffres dont il s'agit. Dans l'exemple suivant, où le quotient doit avoir 3 chiffres, parce qu'on a mis 3 zéros à droite du reste , comme on ne trouve que 56 pour quotient, on écrit o56.

Cherchons V'1 968» 747 avcc 5 décimale» :

Ci 57 #0 88^7x7. Pienez o56.

Reite 5o 1