ÉQUATIONS DE CONDITION

proximation , même en supposant l'orbite très excentrique. Voulant l'appliquer au Soleil, nous sommes même en droit de négliger les e*, ainsi nous poserons

L + m/ = y — ae sin (v — p) , (2)

puisque évidemment longit. moy. = L -f- mty et anomalie vraie = longit. vraies — longit./? du périhélie, f==i> — p. Telle est la formule qu'il faut réduire en table pour être en état d'obtenir la longit. vraie \> à chaque instant, lorsque la longit. moy. L + m/ est connue. Mais il faut avant tout déterminer par l'observation les quatre constantes hfmfe et p.

Que l'on observe avec soin quatre passages du Soleil au méridien, afin d'en avoir l'asc. dr. , et par suite la longitude vraie \>. {V. p. 5i). On aura quatre valeurs correspondantes des variables v et t , qui, substituées dans l'équ» (a) ci-dessus, en donneront trois autres , telles que

L + w»*'= v — ae sin («/ — p)9 etc.;

en soustrayant ces équ. deux à deux, L disparait, et il vient trois équ. de la forme

m (*' — t) = v'— v — ae [sin (y — p) — sin (y — p)]. (3)

Faisons, pour abréger, i — * = 0, k' — v=za, comme en chassant f', il vient

ain(«/ — /?)=sin(i>— /7+û) = sin(e— /?)cosa+cos(i' — p)slna,

on a

mô = a + ae [sin (p — /?) (i — cosa) — cos(i> — p) sin «]• Donc on a ces trois équ. pour déterminer m, e et p :

mi — a = 2e[asin(t> — p)sm*ga — cos(y — p)sinà],

mil — d = ae [asin (v—p) sin* i<*' — cos (p— p) sîna'],

m')"— a"==;3e[»sin(f — p) sin' -J a"-- cos (y — p)a\na"].

Enfaisant »' = t* — t, 6S=<"— t, a'=^—t., «,• = ,•,,.

On élimine e en divisant membre à membre. En représentant

\ 4l^ ÉQUATIONS DE CONDITION,

pour abréger par M et N tes premiers quotient, il vient tas équ.

a*i vantes, qui ne renferment plus que les deu* inconnue* m

etp:

n& — a 2 tang (v — p) sin* i a — sin a mô' — a 2 tang (t> — p) sin" £ à — sin a lwr m* — a *tang(i> — p) sin* \ a — sin a mr — a 2 tang (p— />) sin* \cr — sin a*

Réduisant chacun* de oes équ. au même dénominateur 9 on en lire ces valeurs :

M sin «'— • sin a N sin df — sin a /r.

Yoili donc/? élimine , et l'équ. (5) ne contient plus que l'inconnue m , engagée dans les fonctions M et N. Voyons donc à tirer m de cette équ. On réduit au même dénpnv. f et il Tient Mn + Hi -f- AMN = o, en posant pour abréger

n = sin a sin* [ a — sin a sin* £ a, k •= sin a' sin4 ; a" — sin a* fia* j tf*, i ss sin a" sin* £ a — sin a sin* ^a".

On prépare d'abord ces expressions pour le calcul des log. , en remarquant que sm a ='2 sin £ a cos £ a ; et l'on a

n = 2sin£ a sin £ a' sin { (a! — a)> k — 2 sin £ a' sin ^ a" sin £ {a" — a), i =— -2sin£ a sin £ a" sin £ (a" — a).

Remettant pour M et N leurs valeurs (4), l'équ. ci-dessus devient

n (m8 — a) i (m$ — a) k (mfl — a)2

d'où [m (n*" -f sV + **) — (/m" + iV + *a)] (tfi* — a) = o.

Ôr,m9 — a n'est pas nul , puisque e le serait aussi (par l'équ. 3). Cest donc le premier facteur qui est =o e j d'où l'on tire

ÉQl/ATIONS DE COUPÏTION. ^fg

en divisant haut et bas par n. Du reste, on a

i smla"8m'i(alf — a) k __ sipi fl"8ini(«V «0 '

n "^sfn ^ sin± (#' — û)' n sin £ a sin £ (</ — »)' ™

S, è', 6", sont les jours écoulés depuis celui de la inobservation jusqu'aux trois autres j. «,*', «", sont les accroissemens qu'éprouve la longitude vraie depuis le premier jour jusqu'aux snbséquens respectifs.

Ainsi , après avoir trouvé les valeurs de ces fractions , on les substituera dans l'équ, (6) 9 qui donnera le moyen mouvement diurne tropique m. Connaissant m , on calculera les valeurs de M et N, qui sont les premiers membres des équ. (4) : substituant ces nombres dans l'équ. (5) ; on aura deux valeurs de tang (e^-fO, et par suite, de la longitude moyenne/? du périhélie. Recourant à Péqu. (3), on en tirera cette valeur de l'excentricité c,

e== Umt-a)

sin (f — p) *— sîn (/—/>)*

Enfin , l'équ. (2) , qui en représente 4 > & cause des valeurs de y et t, correspondantes aux 4 observations , donnera la longitude moyenne m de l'époque. Telle est l'élégante méthode de M, Bouvard pour ébàueher l'orbite d'une planète.

Appliquons cette théorie au Soleil.

Voici les résultats de quatre observations laites en 181 9 à F Observatoire royal de Paris, vers les apsides et les moyennes ■distance*, rapportées au temps moyen.

' 3 janvier, * tah 4'38"5 v = 9*19090' 57"9

6 avril , a 12. 9. 40, 3 \f^z a.f$-.5o.'5a,*i • •*

28 juin, h 12. 9.40,1 • *>"= 3. *5.52.$9,8

i««;x)cf., à 11.49.52,8 ^==6.7.96.41,8-

8= 99*998639, « = 93099' SfÉi ri» 9^498389

# = 175,998630, a'tz 173.31.41,9 = i>73,5983o6

Baz= 270,989749, a"= 965. 5.43,9 = 265,095598.