etc. ' etc

On a soin de pousser l'approximation un peu plus loin qu'il n'est nécessaire ; on néglige ensuite la dernière décimale , qu'on n'est pas assuré d'avoir exacte.

On voit que ce procédé réduit d'abord la table à un dixième de son étendue définitive , et qu'on la complète ensuite par une interpolation absolument semblable à celle dont on ferait usage si là table n'était d'abord composée que de 10 en 10 secondes , et qu'on voulût trouver les nombres, correspondans aux secondes intermédiaires.

On trouve une autre application de ce procédé a la formation de la Table des cordes, dans notre Cours de Math, pures, t. II , p. 5 18. Cest sur cette théorie que nous avons composé la table de notre Goniométrie.

287. IL Le second procédé dont on fait usage pour réduire en tablé une formule proposée y =/*(ar) , consiste à calculer d'abord directement une valeur dey, répondant à une quelconque donnée de x\ puis à déduire les nombres suivans y de proche en proche , pendant une certaine étendue, par l'équ. de' la page 97 , après s'être procuré les a', a% . . . par la différenciation de Téqu. y =f(x). On a

djrz=zf.dx,d<y=f".aj£\...

4") TABLES ÀSTIIOHOMIQUÊS,

11 est clair que si dx est très petit, c'est-à-dire si l'on ne met qu'un très court intervalle entre les valeurs de x> on peut prendre djr9d*jr9 . • . pour A1, A". .. , et ensuite appliquer la formule citée; sauf à simplifier les calculs en prenant certaines précautions pour que A*, ou au moins As, puisse être regardé comme constant L'adresse du calculateur consistera ensuite à préparer les expressions djr, d*y... de manière a conduire à des opérations courtes et faciles. Et si les râleurs de x ainsi adoptées sont trop rapprochées pour la table qu'on veut composer , on rejettera après coup les résultats qu'on ne veut pas y conserver, mais qui auront servi à trouver les autres, Cest surtout quand les A* sont si petits qu'on peut les supposer nuls, que ce procédé rend les opérations promptes et faciles*

Ainsi , pour y = log x , on aura

. Mdx ,, Mdx*

M étant un nombre constant, appelé module, dont nous avons donné la valeur page 3.

Or , si l'on fait dx = i , la table des nombres x procédera d'unité en unité; et si x est très grand , d*jr sera si petit , qu'on pourra le supposer nul. Ainsi, on sera en droit de prendre

A1 r= — , et pendant une certaine étendue de la table, A1 sera

censé constant, parce qu'en se bornant au nombre limité de décimales dont on a besoin, ces accroissements de x n'influent sur le quotient A1 qu'à des intervalles éloignés. Cet exemple est développé dans notre Cours de Math., t. II, p. 180. On y voit , par exemple, que pour x = ioooi , on a A1 = o,oooo434^5 » ainsi log.ioooi=4>000°434 :^a même différence existera entre tous les log. même au-delà du nombre 10020, en sorte que, par de simples additions, on trouve de suite 20 log. au moins. Au-delà de 10020 , on prend ce nombre pour x, et l'on calcule de nouveau A1, qui donne 10 autres logarithmes , et ainsi de suite.

Reprenons notre équ. k = m gin* ( 7 £ x ) , d'où

TABLES ASTRONOMIQUES. 4*t

dk=tim $in(*]ïX). coa(7^x).7 *<fr=7f5 w^sin(i5it), d*k = cos(i&x).m . 7,5. rôd^ =£ \&mdx% cos (i5x) j

on fait *£r = i*, ou plutôt = i x sin i", pour exprimer l'arc en secondes, et a cause que mdx = 2 ,

<tt=i5sin(i5x)=iK, <*a* = a25sin 1* cos (15*) = /".

Prenons, par exemple, x = 8/, nous aurons /*' = 0,524 et y = 0,001 1 comme précédemment. On peut donc, en partant de x = 8', calculer d'abord les nombres de la table de seconde en seconde, jusqu'à 8' 10*, comme on l'a fait ci-devant; puis prenant le dernier résultat pour terme de départ , et faisant x = 8' io*, dans les d> et â* ci-dessus , en tirer les valeurs de y et y qui serviront a continuer la série dix rangs plus loin ; et ainsi de suite.

288 Quant aux tables a double entrée, l'interpolajion s'en fait comme il a été expliqué p. 63. On comprend qu'on évite le plus qu'on peut ces sortes de tables, parce que les interpolations en sont difficiles, à moins que les nombres n'y soient si rapprochés, que ce calcul soit presque inutile.

Et quant à la manière de composer ces tables sur la formule jr =f(x,v) , il suit de ce qui a été expliqué qu'on compose chaque colonne qui répond a une valeur particulière de v, ce qui réduit, pour cette partie, la fonction à la seule variable x, et par conséquent ramène la question à ce qui a été expliqué cw devant. Il ne nous reste donc rien à ajouter à ce sujet.

On conçoit de même la formation des tables dans le cas de quatre variables y^=f{XjVyt) : mais on n'y a jamais recours , parce qu'il serait impossible d'en disposer les résultats dans les cases d'un parallélépipède. On doit donc décomposer la table en plusieurs autres, dont chacune se rapporte à une valeur particulière de celle des variables qui se prête le mieux à cette opération.

4l2 ÉQUATIONS DR CONDITION.

De la composition des formules astronomiques, et de la détermination des constantes; Équations de condition; Méthodes de Tobie Majrer et des moindres carrés.

289. Les formules qu'on réduit en tables astronomiques sont données par la théorie de l'attraction ; elles se composent d'élé-

mens les unsconstans À, B, G, * . . , les antres variables ^, ô, {;• . . c'est en. attribuant à ceux-ci les râleurs qui conviennent aux circonstances, qu'on en déduit le lieu des planètes à chaque instant.

Mais cela suppose que les constantes sont connues dans F équation qu'on réduit en table : c'est l'observation qui en fait connaître les valeurs. Expliquons comment on les détermine.

Supposons d'abord qu'il n'y ait qu'une seule constante A inconnue dans l'équ. F (A , <f , 6...) = o , qui représente les circonstances d'un phénomène* On fera une observation d'où l'on tirera les valeurs correspondantes des variables <p , fl... ; substituant ces nombres , Véqu. de condition F = o ne renfermera que la seule inconnue A, et l'on pourra en tirer la valeur.

Il est vrai que l'observation la phis attentive ne donnera pas en toute rigueur les quantités 9 , 6..., et que la valeur de A qui résultera du calcul ne sera pas exacte. Mais en répétant un grand nombre de fois les expériences , tous les nombres A qu'on en tirera devront différer très peu les uns des autres : on rejettera même, comme défectueuses, les observations qui conduiraient à de trop fortes difFér. ; prenant ensuite pour A la moyenne entre tous ces résultats très voisins , cette valeur sera indépendante des erreurs d'observation , parce que ces erreurs se compensent par leur multitude. C'est cette marche que nous avons suivie dans tout ce qui a été dit précédemment.

Supposons que l'équ. renferme plusieurs constantes A, B, G... dans l'équ. F(<p,ô,... A, B...) = o, qui exprime la dépendance des élémens du phénomène. On fera d'abord une observation propre à faire connaître les valeurs simultanées des variables 4>,0,...; en substituant celles-ci, on aura une relation F=o entre les seules constantes inconnues ; c'est ce qu'on appelle

ÉQUATIONS DE CONDITION. 4f3

une équation de condition; En répétait les expériences entant de fois qu'il y a de ees ^Constantes', on aura donc le même nombre d'équ. et d'inconnues, et Von pourra trouver celles-ci par le secours de l'élimination»

Et comme les 'observations sont susceptibles de petites erreurs, on ne pourra regarder comme esacts les nombres A, B, C,... ainsi détermines. Mais nous verrons comment on corrige *3er quantités approchées. ■ ■ -> . 1 Nous avons supposé que; la forme de la fonction F était connue , et c'est en effet ce qui arrive • dans l'état . actuel de l'Astronomie : mais dans le cas ou, elle ne le serait pas, on la trouve d'une manière empirique, c-à-d. qu'on la suppose, et qu'on la soumet ensuite aux épreuves qui peuvent confirmer ou détruire l'njrpothèse. Cest ce qu'on fait pouf certaines inégalité*. Ainsi , les perturbations reprenant les mêmes valeurs quand les astres reviennent dans les mêmes positions relatives, on préjuge que ces variations suivent tous les progrès des distances angulaires- de ces corps. Et comme en désignant. par * tfengle d'où dépend cett* inégalité ,. sin «croit et décrctt avec «* et repasse périodiquement par lés mêmes grandeurs, btl repvér itente par A sin « cette inégalité , A étant une)constantehânconr nue qui en est la plus grande valeur. On s>assuré« ensuite si en effet A sin * peut prenske successivement toutes les valeurs qu'on observe pour~c£ttç. Inégalité , et lîon tfre de ce procédé empirique la forme de la fonction cherchée , et la constante A. Cest, an reste, "ce que la théonè o*ë ratftàctidn* confirme , en prouvant Çu^ la. perturbation, catu^e par X açtiqn, ^une planète sur «s*e autre peut être mesurée par la fonction ,..-.,

;J,,!a'Vî ' "Asinct'+isinaa'+iîsinàa.:.. : «»«':

<Vi.jCfeq«9t. m?p. *M<) .,

Chaque planète produit, il est vrai „sa perturbation particur Itère; et toute» oes action* se combinant, .entre ell^^qur.^roéêâré nu fait unique > qui. est l'effet observé. Mais.il j.a uH principe général, qui vsut qu#> quand plusieurs çays.e* protfyi+ tent .des. variations très pefjfâs ilestperrnjs de calculer sé-r

4>4 XQUATIOMS DB CQftMTlOir.

parement V effet de chaque cause, com&t si ellt existait seule; et la tomme de tous les résultats est V effet de toutes ces causes combinées. Ainsi , chaque planète produit sa perturbation, qui donne sa série propre ; la somme de toutes les séries son* blablesest l'effet général. Il faut donc déterminer à la fois toutes les constantes par l'observation et les équ. de oondttioa qu'elle fournit.

290. Montrons, sur des exemples» l'usage deoea procédé* 1 et commençons par le cas on la formule nArenferme qu'une seule constante à déterminer.

On sait que l'aberration dTune étéile en déolin. ( n* 3o8 ) est exprimée par la valeur

/ 1 1 *\ gos A sin D ..

en posant tangf sa sin « tang D sec A— *cos«rtaDg A.

jA est l'aie, dr. de l'étoile, D sa déclin., 0 la longit. du Soleil, a» une constante à déterminer , -m l'obliquité de l'écliptique; enfin, son excentricité e= o , 0168 ,log {1 + î e*) sa 6 . 0000598. Les catalogue» donnent D et Af qu'on peut d'ailleurs trourer par observation (p. 5o ) ; ainsi, il est facile de calculer l'arc { pour une étoile désignée, et de poser

Aberr. en décL = pm sîn (Q •+■ ç) =/*£.

L'observation de la hauteur méridienne de l'étoile corrigée de la réfraction , dorine sa déclitf. app. ,■ d'où l'on retranche : i°. la nutation, 2P. la précession , 3°. l'aberration. Le* deux premières sont supposées connues , et la troisième est =<*X, p étant inconnue. La diff. est donc la déclin. vraûr, réduite aa 1* janvier de l'année courante.

Que l'on répète cette opération un autre jour , et la déclin. Traie qu'on obtiendra devra être la mêiiie que ta précédente. Égalant donc ces deul expressions , on aura une équ. qui contiendra fi ; d'où l'on tf fera la valeur de eette constante. En réi -

ÉQUATIONS DE COïflHTIOtr. 4*5

térant un grand nombre de fois oe procédé , on obtiendra autant de valeurs de p, qui devront différer trfa peu les unes des autres : on prendra pour p la moyenne entre ces divers résultats.

Il convient défaire ^observation sur des étoiles circom polaires, à leur passage au méridien supérieur, parce: qu'étant alors peu distantes dn sénith, la réfraction n'est pas d6*rtetiSfc:w outre, les observations que ;r\m comparera devront être faites à six mois d'intervalle v pour que les longit. O différent d'à peu près 6 signes, car le nombre X-, qui devient diviseur , est te plus grand possible, et le quotient est plus exact» Voici le calcul pour deux dist zénith, méridiennes de m Cassriopée, observées h Greenvcteh en 1826»

Le 8 mai. . . , . . 4° & 49*59 ke 7 novembre. 4° & ^fl1

Réfraction 4,i33 !.. ;.....! ' 4^8*

Latitude. &T.?$.3g .-. 5t.a8.3p

Déclin, app. . . . 55. 34. 3a,7a3... 35.35. 10,89a •

Prec. notât.... -♦- 6,75i — a,745 ■ ••v *

Abcratioo...** •+* «sGgf.ft* .. .... .' «*D,668r.p

AuijanT...D =55.34-3y,474 + o*6g4/« .= .55.3$. 8,147— o*9668/u, d'où \aM%pz±:&fifi\ ussai^oôa. ;.

Tel est le procédé qu'a suivi M. Richardson, danssln Mémoire inséré parmi ceux de la Société AstK de* Lônère**, d'où il cosekit > ss ao",446, par une moyenne entre 4t*9 àitt. sénith. méridiennes de 12, circom polaires*

O» trouve, parie ntéin^ procédé , la constante dé f à natation , et. toaiDe constante qu'on peut isoler des outrer dans - uni? équation , pour la considérer à part.

29 u %Venons-en maintenant au cas oul'équ. renferme plusieurs constantes ; je prends l'exemple suivant , que je dois à l'obligeance d0 M. B»irvard. <Ce savant astronome y fait vofa* qu'on. .peut, obtenir nnn ébauche attei ei acte du mouvement d'une planète , par un trèp petit nombre 'd'observations ; et noue exposerons dfaulant plus volontiers les détails de èfe procédé* qu'il est trè* propre à faire concevoir la ïormation,

4l6 ÉQUATIONS DE CONDITION.

la disposition et l'usage des tables, bat principal que ocras nous sommes proposé dans cette troisième partie. - La construction des tables dn Soleil et des planètes suppose d'abord que l'astre se meut d'un mouvement uniforme et circulaire; c'est ce qu'on appelle le mouvement moyen; ensuite on corrige la longitude qui en résulte «de ce qu'on appelle V équation du centre, opération qui rétablit le corps dans son orbite elliptique, ou sa ritesse est variée» L'équ. du centre n'est autre cbose que la différence entre le lieu moyen et le lieu vrai , calculé par la formule dont on va parler ci-après.

Ainsi, la longitude vraie du Soleil à un instant donné dépend de quatre élémens :

i°. La longitude moyenne L au minuit qui commence l'année ;

2°. Le moyen mouvement diurne m , c.-à-d. l'arc que l'astre décrit chaque jour dans un cercle, avec une vitesse constante, en sorte qu'après t jours, la longitude moyenne soit devenue L -|- mt\

3°. Uexcentricité e de l'ellipse , quantité qui en détermine les dimensions ;

4°. Enfin, la longitude moyenne p du périgée, qui fixe la position de l'orbite dans l'espace , parce qu'on suppose ici qu'on en confiait l'obliquité.

Une fois ces quatre constantes connues, le lieu de l'astre Test aussi ; car les lois de Kepler ont donné la théorie du mouvement elliptique; d'où résulte que si e est la longitude vraie d'une planète à un instant quelconque, e l'excentricité de sou orbite,^ V anomalie vraie comptée du périhélie, ou a cette relation (*)

longit. moy. s=s v — 2e sin <p -f- * e% sm *Q + etc. (i). Les trois premiers termes de cette série suffisent pour une ap-

(*) Cette formule est démontrée dans tous les traités d'Astronomie. (V. Mécan. céL , t. 1 , p. iSi ; Auron. de DeUisttbre, t. I , p. 39. ) Elle se tire aussi des équ. de VUranograpfiie, p. fyfVtft) éli/iinant Taie auxiliaire *.