ii54i

Cette dernière expression esc l'apportée k la distance moyenne prise pomr unité.

Calcul de la longit. moy. L de V époque (équ. 3}.

t = i/,5o3ii35. . . . o . 3984996 M s= 9» 1 1© ào' £7*9

1 , o.3oio3oo

sin(t>»— p). . .. ..'." 8.6116467

Comparons les valeurs que nous venons de trouver à celles des tables , corrigées par M. Bessel.

L = 9'9*fâ 4r9, m = 5o/8,r33, ^ = 9'9°56'44<'i, c = o.oiè8o4

Tables.. 9.9.47*58,4 69. 8, 33 9*9»49*37>3 0.016784

Erreur.. 4- 6,5 0,00 ,•+- 7. .6,9 -(* Q.ooooip.

On voit queJUe précision on obtient de cescakul*, et que

4*» ÉQVÀTifcfrs de cdtorirttnfr*

qtfâlM expérience* ont suffi pour trouvera fort peu prisée qu'ont dontésWmilKers oTohsm «feras. Itou* sMms supputé le périhélie tastofcile; msis la précession et Partie* sles planètes en augmentent chàqtaé année la longitude cPelrvfrftft 6t*. Il aurait fallu dépouiller les Talenrs de v de oOt effets et aussi dei perturbations, ce qui aurait dû conduire à des résultats plus approchés.

On comprend maintenant comment on peut déterminer à fort frùpft* fa» fetemetl* dé Porbîte* iraè1 pîimëtè, par quatre obsérvat&tis j" car la mime marché de calcul peut être appliquée a tifcfs ces corps. Seulement',' si cette* orbite avait une excentricité un peu forte» il fai^ràit tenir compte du terme en c% dans l'équ. (i) , et des perturbations 'qui affectent chaque observation. Le calcul deviendrait plus compliqué ; mais on pourrait y supposer connu le moilvemetkt moyeto drame m, qu'on trouve aisément par la durée de la révolution ; ce qui ne laisserait que trois constantes inoJmlitse* , et n'exigerait plus que trois équ. et trois observations.

De plus, comme les planètes ne se meurent pas dans le plan ft rëctytfqw ; il faut àvbfr égard à ta réduction sur l'drbfo, afin de rameper Jea observations à ce plan,. et à supposer ces corps tus du centre du Soleil , ainsi qu'il a été expliqué p. 3gg.

La formation des tables du Soleil suit de ce qui vieût d'être exposé; car la valeur de L donne là longitude de l'époque ; le nombre m, ou la marche diurne du Soleil moyen, sert à composer le mouvement des mois, jour*, heures.... On a donc d'abord la longitude moyenne à tout instant. En transformant l'équ. (i) en fonction de l'anomalie moyenne z , au lieu de l'anomalie vraie Ç, on a la formule de l'équ. du centre , p. 386.

Il ne reste {flus, pour avoir une idée exacte de la disposition dès table* .4#S: planètes , que d'indiquer comment oa corrige les coefficiens constans et l'on introduit les perturbations. C'est ce que nous allons expliquer.

>3Q2. On corrige les constantes, dont on a déjà jfrné approximation, par deux procédés diflerens. Commençons par la mé* thode différentielle de Tobie Mayer.

' .Oà*eiittyUieVdta^

EQUATIONS DE CONDITION. éfîZ

par À + Jf, B -+■ jr, C + *,...;*, y% z ,... étant les petites corrections qu'on veut trouver. 11 est clair qu'on est autorisé à en négliger les puissances supérieures) ce qui donne a l'équ. oette forme :

#* + y* + zi + • • • — m* (0

Cette relation est visiblement la différentielle de l'équ proposée par rapport aux constante* À, B, C... En posant xc=(/A, j-^idBy zzzz dC,.„ les inconnues sont ici xf jrf z.,.. Quant à ?> 6 * {*••• ce sont les variables du problème.

Qu'on fasse une observation , pour en tirer des valeurs a, by c,. .de ces variables » et l'équ* deviendra

ax -f b y -f~ cz + • • • — M' W

De mente, une 2% une 3e. * . observations, donneront

dx -}- ^ + <?z ■+•• . . = m, a"x -+- b"y + c"z +. . . = m, etc.

Et d'abord remarquons que si l'on se procure ainsi autant d'équ. que d'inconnues #f j% 2. . . , on pourra en tirer celles-ci par ^élimination, et perfectionner le» valeurs de À, B, C. . . , ce qui a déjà été fait en plusieurs lieux de ce livre. Et s'il arrive que a soit très grand par rapport à by c. . . ; qu'il en Soit de même pour b\ a l'égard de dy c'.. ; et aussi dec*,par rapport à a", *^..., f élimination sera très aisée à faire 1 car ue prenons, par ex. , que deux inconnues ; nous aurons

m br m ctx

Or , - et t? étant supposés fort petits , le dernier ternie de

chaque équ. est négligeante pour une première approximation :

ainsi , faisant x = — , dans Ta valeur de j", on aura celle-ci

presque e&aete; et cette valeur servir» à donfier x avec plus de précision, etc. Ce procédé est celui qu'on a employé ffc ie6.

La méthode de Tobie Mayer consiste à tirer de l'observation un grand nombre d'équ. de la forme (a), et k combiner ces équ. .par addition, soustraction..., à multiplier quelqu'une d'elles par un nombre pris k volonté, enfin à s'arranger de manière que l'une, x, des inconnues ait seule un très grand coefficient dans l'équ. résultante. Une autre combinaison donnera de même une équ. finale, où le coefficient de y sera seul considérable, etc. On aura ainsi des équ. influencées par toutes les observations , et qui , jouissant de la propriété dont on vient de montrer l'usage, donneront les corrections x% y, z. . . , et par suite, les constantes A, B, C. . . Celles-ci une fois connues> l'équ. proposée F (9, 0...)=o servira à donner l'une quelconque des variable* quand les autres seront déterminées, et l'on pourra réduire cette formule en table.

Il se peut que deux inconnues, x, y, aient leurs <coefficiens a, bj proportionnels et de même signedans.touteslesequ.de condition : alors on ne peut combiner ces équ. de manière à accroître a , sans augmenter aussi b. -Mais on égale ax -f- by à une lettre m , et l'on traite cette quantité « ,. comme une inconnue qui remplace ax + by dans les équ» Quand, toutes les inconnues sont trouvées , ainsi que « , on fait deux sommes de toutes les équ. > et l'on a deux équ. qui suffisent pour trouver x et y.

293. Ce procédé est simple et assez expéditif ; les astronomes en font un fréquent usage. Mais quoique la méthode des moindres carrés, imaginée par M Legendre, donne lieu à des calculs beaucoup plus longs, on la préfère à cause de son exactitude. Cette méthode consiste à déterminer les corrections x, y, z,. . . , de manière que la somme des carrés de toutes les erreurs soit la plus petite possible.

Que l'on ait trouvé par l'observation, ainsi qu'on l'a expliqué ci-devant, des valeurs simultanées a, b, c. . . , pour les variables q>, Q , £..., qui entrent dans l'équ. (1) (où nous transposerons m); il s'agira de trouver les corrections xy yy z... de nos constantes, non pas en rendant nulle la somme ax-\~by-\-cz. . . — mj ce qui n'est pas vrai en toute rigueur , mais en faisant

MOINDRES CARRÉS. ^l5

en sorte que la somme des carrés des erreurs soit un minimum. Soit donc e l'erreur commise dans une première observation , e dans une seconde , e' dans une troisième, etc. Nommons a, b, c,... les valeurs numériques des coefficiens dans la première expérience; a, b'} c'r„ ceux de la seconde, etc. Nous aurons

e = ax-\-bjr-±-cz + dt +..•,

é = clx + b'jr + cz + dt -f». . . ,

e"=ûTx+by + c'z + d"t+...9 etc.

On aura autant de ces équations de condition qu'on a fait d'observations. Faisons la somme des carrés- de ces equ., et contentons - nous d'écrire au 2* membre les termes en x , attendu que les autres sont de même forme. Il viendra

ea + e'* + e"^ =

(aft+aa+^\.0xa+a^(aô+a'6/+..)+aa?j8(ac4^cf+..)+etc.

Cette équation est de la forme S = Mar* + aNx + P. Pour que cette quantité soit minimum, il faut que la dérivée soit nulle, savoir, Mx -f- N = o. Ainsi en ne considérant que le facteur inconnu x, il faut que l'on ait

o=,r(aa-fV+- • . )+y(ab +*'&'...)+ z{ac + a'cf +...)+ l(ad...)

ou

o=a{ax +bjr+ cz + dt.. .)-{-a'(ax+b'jr+c'z.. .)+** . > . etc.

Pour former l'équation du minimum relative à Vune des inconnues, multipliez chaque équation de condition par le coefficient de V inconnue dans cette équation, pris avec son signe, et faites la somme de tous ces produits.

Il est bien entendu qu'on en fera autant pour cbaque inconnue, ce qui donnera un égal nombre d'équations et d'inconnues au 1er degré. En effet, d'après la théorie connue des maxima de plusieurs variables, il faut que la condition soit satisfaite par rapport à cbaque variable. ( V. mon Cours de Math, n° 700.)

4*6 MOfHDlES CARRES.

Il ne Mitera plus qu'à éliminer par Ici procédés ordinaires , et on aura pour x 9jrf % . . . des râleurs telles , que lee erreurs qui proviendront des petits définis d'observation eeront atténué* à on tel degré qu'on poisse se servir de l'équ. comme si les coefficteus étaient exacts*

Comme ee procédé ne t'applique qu'autant qu'on a un grand nombre d'observations , l'appareil de calcul est fort étendu. Nous en donnerons plus tard un exemple» Consultez le mémoire de M. Legendre sur la détermination des orbites des comètes.

La méthode des moindres carrés s'applique a une multitude d'expériences de Physique, de Chimie, d'Astronomie... Elle offre un moyen sur de déterminer, avec les moindres erreurs ponv blés, les constantes des équations qui représentent la loi des phénomènes Cest un des plus ingénieux procédée dont la science ait pu s'enrichir pour perfectionner les théories et étendre les recherches.

294* Four bien concevoir la méthode que nous venons d'exposer, ne supposons qu'une seule inconnue dans Féqu. ; on s Qx = è \ x est une constante qu'il s'agit de trouver d'après duc observation '7çetê sont des variables susceptibles de prendre une multitude de valeurs correspondantes. Si l'on connaissait bien exactement, par expérience, deux de ces valeurs a et m cor-

respondantes de <p et è , on aurait ax = m, et x = — serait

connu. On substituerait la valeur de ce coefficient constant dans l'équ. proposée <px = 9 , et l'on aurait l'équ. mç =» a3 , dont on ferait tel usage qu'on voudrait.

Mais lorsqu'on tire a et m de l'observation d'un phénomène > on ne peut regarder ces quantités comme connues que par approximation , et la petite erreur qu'on a commise doit influer sur le nombre x qu'on en déduit. Pour affaiblir cette erreur, en réitère les expériences , parce que les erreurs doivent se compenser dans la série des épreuves ^ à moins qu'il n'existe une cause d'erreur commune à toutes , et qui se reproduise constant -, ment, ce qu'on est supposé avoir évité

Ainsi or —m dans chaque expérience ne sera pas rigoureux

MOINDRES CARRÉS. 4a7

sèment nul , et il y- aura de petites erreurs e, e', e* ? . . en sorte qu'on aura

e z=x ax — *n> (A)

e* =. a'x — m*, etc.

Ces erreurs e, e', e#. . . ne sont pas de grandeurs connues , et même le soin qu'on a mis aux expériences semble faire penser qu'elles sont nulles, ce qu'on sait cependant ne pas avoir lieu en toute rigueurs

Multiplions chacune de ces équ. par le coefficient de x , et ajoutons; il viendra

S(ae) = xS(a*) — S(am),

ven désignant par le signe S une somme de termes, ayant tous même forme , S ( a* ) = à? «+- cl* + a"a •+• . . . On en tire

Et d'abord supposons qu'on ait S ( ae ) = o ; cette valeur de x se réduira à cette quantité constante connue

. ± S(am) # S(«*) ' les équ. (À) deviennent donc

Les erreurs de chaque observation ne sont plus inconnues , et la râleur de chacune est indépendante de celle dos Uutres , lors* qu'on a S [ae ) = o : représentons ces nombres par • , ^ • ", . . -, savoir

et faisops J = «T^r- 00

.Telles sont les valeurs particulières de e , e,e*.. . xy dans le oas supposé de S ( ae) = o , savoir,

i = a{ — m , % =? a { — m , t * = cf\ — m , etc.

Haïs si cette condition n'a pas lieu , on retombe sur les équ. (A) et (B), qui, en y introduisant les valeurs (C) , deviennent

etc.

SÇoe)

Or, il est aisé de voir qife les erreurs dépendent de l'une

d'entre elles, qui, lorsqu'elle est donnée, détermine toutes les

S (ae) e*— i t .

autres ; car on tire r=- — rr = » et substituant

e'=zt' + -(e — •), e"=t"+-(e — •), etc. a a

Ainsi la connaissance d'une seule e de ces erreurs entraînerait celle des autres, et elles ne seraient plus indépendantes, comme cela arrivait dans le cas où l'on faisait S (ae) = o. On voit donc que cette condition est la seule qui convienne, lorsque les erreurs sont indépendantes les unes des autres.

Mais lorsqu'on considère l'équ. (B), qui est entre les constantes S (aw), S (a*), et les variables x et S (ae), sans avoir égard à son origine, elle existe entre deux variables dont l'une est donnée par l'autre, qui peut recevoir toute valeur arbitraire. Si Ton attribue à S (ae) toutes les grandeurs possibles , x prendra des valeur? correspondantes : et parmi ces quantités , il ne faut conserver que celle qui vient de S (ae) = o , parce que c'est la seule qui laisse x indépendante des erreurs d'observation. Et puisque cette condition est celle des moindres carrés, ce qui vient d'être dit démontre la méthode dont il s'agit.

Ainsi dans tout système d'observations destinées à faire con-

naître x9 si les erreurs sont isolées et fortuites, tantôt par excès, tantôt par défaut, sans qu'aucune partie constante les affecte , sans dépendance mutuelle, il faudra nécessairement qu'on ait S (ae) = o , c'est-à-dire que x sera donné par la méthode des moindres carrés, parce qu'elle est la seule qui puisse remplir les conditions imposées.