i5oao67 a3.33,ai ^ 7,M.a0f
a4fc 4 «9365i37 ■
D-f-iy...— 3.i5a4p77
A* 4.4^980 -A* = 7ka3'45"5o
Or, la pendule marquait 7.a3.5o920
donc elle avançait de 4> 7° sur *• *'d.
D'ailleurs, elle avance en a4h •*& de.. a>49*
Ainsi tout est connu sur la position de l'équinoxe au ciel , celle du Soleil , la marche de la pendule , et l'équ. (1 1) déterminera l'obliquité de l'écliptique.
Pour avoir l'équinoxe moyen et l'obliquité moyenne , il faut . corriger ( en signe — ) de la nutation. '
En reproduisant ces calculs après plusieurs années , on peut trouver la précession des équinoxes et la diminution annuelle d'obliquité; ainsi qu'on va l'expliquer ci-après.
Sur la précession des équinoxes.
3 08. La théorie de l'attraction démontre que, par l'effet de l'aplatissement de la Terre , l'équateur prend une position lentement variable par rapport à l'écliptique, et que les points d'intersection de ces deux cercles sur la voûte céleste rétrogradent perpétuellement. Soit aq l'écliptique ,^1'équateur (fig. 46) à une époque quelconque ; le point vernal g se trouve transporté en h après / années: mh est la seconde position de l'équateur; gh est ce qu'on appelle précession hinisolaire ir , effet qu'il fout éviter de confondre avec la nutation , et dont on fait la part séparément.
En outre , l'action des planètes sur le sphéroïde terrestre déplace aussi l'écliptique qa d'une très petite quantité, et la transporte en bq après t ans» L'équateur varié hm , coupe le
44^ PRÉCESSION DES ÉQUIWOXES.
nouvel écliptique bq sous un angle û qui tarte lentement, et l'ancien écliptique aq sous un autre angle #', qui diffère très peu du premier angle g=* , après un temps considérable. Ainsi, le point T devient le nouveau point vernal, et l'angle O la nouvelle obliquité. Jjes longitudes et asc. df. étaient comptées, dans l'origine , de g vers a et vers f\ elles le sont maintenant de V vers b et m. Si l'on prend l'arc qg as qn , Tn est ce qu'on appelle la précession totale 4> qui est un peu moindre que la précédente : n est Je premier point Ternal transporte sur la nouvelle écliptique, et nV la rétrogradation.
309. Je ne m'arrêterai pas à donner ici les formules qui servent à déterminer les longit. , latit. , déclin, et asc. dr. des astres, après un laps de plusieurs siècles; il est rare qu'on ait besoin de les appliquer : on les trouvera doimYUranographie, p. 435. Pour des durées moindres de 1 à a siècles, certaines parties de la fig. varient si peu , qu'il est permis de les regarder comme constantes , et les autres éprouvent des changetnens proportionnels aux temps. Ainsi l'angle m ss m que font les deux équateurs gf, hm9 avec l'écliptique primitive qaf et la latitude A de l'astre , restent sensiblement les mêmes; mais la nouvelle obliquité, après le temps /, est l'angle b Tm = G, qui est différent de 0.
Nous rapporterons ici les formules de M. Bessel (v. Conn. des Tems de 1829, p. 3i4) ; les astronomes les ont adoptées, et les regardent comme les plus exactes. On désigne par t le nombre d'années écoulées depuis 1 750
Obliq. de Pcclipi. en 1750. « = *3° 28' i8",o ,
Obliq. sot cette dernière. . •' =t a -f* o",ooooo 984^33 f t= angle h ,
Obliq. sur Téclipt. varie'. . n = » — o",53ii4.* — o*,ooooo 373395. f*,
Monv. d'asc. dr. T h /* = ( o*,i644 * l — o*,oooa4 394*8 *a) : coi»,
Angle des deux e'clîpt. ... q = (ow,48893 . t — o",ooooo 307 19 *», Arc qh = ô = 171° 3Ô7 10" — 5",ai.*.
3io. Reprenons les équ. (2), (S) et (4)> p. 53i , tirées du triangle spnérique PpL (fig. 12):
sin D se cos » sin A -f- sin « cos A sin / , (2)
00s a cos / = cos D cos A , (3)
cos A sin / = sin « sin D + cos « cos D sin .4L (4)
DRT est Féquatear primitif dont le pôle est en P \ CIY Vécliptiqae dont/? est le pôle; ITR == « angle des deux plans : l'astre est en L , pL et PL sont les complémens de la latitude LI , et de la déclin. LR; Tl est la longitude l1 TR l'ftse. dr. A. Pour avoir égard aux petites Variations simultanées de Dj A et / (A et « étant constans) , prenons les différentielles des équ. (2) et (3) par rapport aux trois premiers arcs seuls. Et d'abord (2) donne
cos DdD = sin * éos A cos l.dl; chassant A à l'aide de l'équ. (3) , et divisant par cos D ,
dD = sin «cos A dl. (5)
De même différencions (3) par rapport à l, D et A,
cos A sin l.dt = sin D cos A dD -f cos D sin Ad A]
mettons pour cos A ait* / sa valeur (4) , et (5) pour dD,
.( sin « sin D -f-> cos « cos D sin A ) dl = sin D cos3 A sin « dl -f- cos D siu A d A ;
réunissons les termes en dl,
(sin » sin D sina yft -f* cos * cos D sin A) dl= cosD sin Ad A)
enfin on a
d A — ( cos * -+- sin « tàng.D sin A) dl.
Il faut faire à cette valeur une petite correction. La différenciation qui vient d'être faite a supposé que le point vernal se transportait (fig. 46) de g en h, et que h est la nouvelle position de ce point: or il doit être transporté en T ; il faut donc, de A, retrancher &T = t*\ ainsi la Variation dA doit être diminuée de dp\ d'où
<fA = (cos# + sin «Ung<fsin ÀL)dl — -4*. (6)
Quant à la valeur de dp , abaissons l'arc hp perpendiculaire
à qb\ comme l'angle q est toujours très petit, même après 12
à i5 siècles, il est permis de supposer le triangle Thp recti-
. Vp
ligne; on a T«=/»= — *— : or,
\^%JB sw
Tp=hg — T»
= précession hinisoL * —précession totale $;
donc A*=
cos
On a d'ailleurs par la théorie , selon M. Bessel ( Cornu des Tenu de 1829, p. 3i5)
* = 5o# 3757a. t — o# 0001 2 1 7945 ** = arc gh , 4 = 5o,2ii29.l-f- 0,0001221483 fs=arcT«)
formules ou t désigne le nombre d'ans à compter de 1 750 (*). Actuellement ( en i83o ) * =x 23°27'40#> et l'on trouve
d^tss o",i 79248 — o%ooo53i85. u
Faisons donc, pour abréger,
m = cos *•<#— dja, n = sin »•<//,
et nous aurons, au lieu des équ. (5) et (6), pour la précessiooen asc. dr. et en déclin.
(*) En différenciant cette valeur de 4» on trouve que la précession totale annuelle pour l'an 1750 -f- t est
= 5o",a 1 1 99 -f- o/,,oooa4429^ • t •
Pour en obtenir la valeur en i83o , il faut faire t = 80 ans ; on troove ainsi que ce mouvement est maintenant
par an, = 5o"a3o83 = o' 8371805 = o<>oi3g5 3oo83, par jour, s 0,1376187 s= 0,00999 364$ = o,oooo3 83374.
• I .lrj
" JJL=rm + nsinifttaûgD, (A) '
dD = n cos A. (B)
En comptant les années depuis 1760, et désignant par t le nombre d'ans écoulés, M* Bessel trouve par dès calculs très précis, que
m = 4®4r°a824+ o*ooo3o 8645o. if '
Ces quantités ne sont pas absolument constantes; mais ëtles va» rient très lentement, et si l'on se con Vente des centièmes îb se* conde , elles restent 4es mêmes pendant plus de 3o «nfc Ainsi dans une durée dé 10 ans,, m et n sont sensiblement constantes* On verra bientôt qu'on peut les trouver par observation, jriine époque quelconque» : j* •
Puisque les relations (a), (3) et (4) lient entre elles les valeurs de * , /, D. . « à tous les moment , les différentielles de ces variables désignent leur mouvement pendant uae même durée, pourvu que le. changement soit, très petit : on prend cette durée d'une année. Ainsi 4A et dD sont les mouvement annuels de précession en asç. dr. et en décjin. On * <#s=5o",i ; m et n resr tent sensiblement constant pendant plusieurs années ( 20 à 3o ans ) après l'époque initiale pour laquelle on a calculé ces nom-* bres. '
M. Bessel trouve pour les valeurs de ces quantités, qui sont les mêmes pour toutes les étoiles ,
en i83o.. m ;= 46*o52q3 , n= 20*0 5666 ^ Iogrt = 1 .30226, en 1840.. 46.o56oi> ao,o556g, 1.30224,
en 1 85b . • 4^>°^9 l ° » 2°> °^7 2 > l • ^0222 .
On peut trouver ces arcs m et n par observation.' On obtient ies asc. dr.et>déclin. d'une étoile ( n° 4° ) à deux époques espacées de 10 ans*, on divise par 10 la différence des arcs, et l'on a leur variation annuelle. Tout est alors connu dans les équ- (A) et (B), excepté ?» et n, et l'on peut en tirer ies valeurs Au ces quantités. En répétant la même opération pour diverses étoile»
4^0 PBÉCESSION BE8 ÉQ1IIROXE&
qui .n'ont pas de mqaveiucnt propre, on obtient autant de valeurs presque égales de m et de nj les moyennes entre tons les résultats sont avec précision les vraies valeurs de ces nombres, ino^pendanUs des erreurs d'observation; et même si l'étoile a un njou\em*nt propre , lorsqu'on aura les constantes m et n , on pourra déterminer ce mouvement.
3t i . Il résulte de cette discussion que metn sont exactement connus dans ]es équ.. (A) et (8). Maintenant il est facile d'assrgner, pour chaque étoile, et en secondes d'arcs, les vatations «juntefleJj puisqu'on^ connaît l'asc dr. et la déclin, ainsi qne l'eUsquité •- Ce sont cet Variations qu'on inscrit près de chaque étoile dans. lès catalogues (v. table Vil ), et qui en donnent les oaoodônnéerf à une .date quelcoocftte, aiuèl qu'on lfa expliqué o°jf74 ■ smîs il ne faut pas que cette date s'éloigne de celle d'origine, au-delà de la limite où les variation* Cessent d'être pro* portfonnelles aux «feinta, ce qui sera bieatél facile à reconnaître. Voilà, pourquoi* il faut refaire leacotaiogttes tous les dix ans. Ohissiit quels sont , au commencement de cette période, les «rcs:*> A et D, pour: chaque étoile; on calcule les turiations annuelles par les équ. (A) et (B), et ces Variations serrent JKnir les. dix années qui suivent , sauf ce qui rît' être dit plu* bas.
3i2* La correction de; déclin. dD n'a le signe— -que quand eos Ai est négatif, c'est-à-dire* pour les étoiles dont l'asc. dr. est enlrc 6Aet i8n (ou de 900 à 2700). Celle d'asc. dr. est positive , excepté pour quelques circora polaires, qui, étant placées depuis 12* jusqu'à 24* d'asc. dr., ont en outre tang. D assez grand pour que le 2" terme de dJH l'emporte sur le ier, m.
Et même il convient d'observer ici que pour les circumpolaires, tang. D croit si rapidement ,.qu'il'n'est plus permis de regarder la variation annuelle -dJBL comme constante durant plusieurs années successives, lorsqu'on exige des résultats précis* Il faut en dire autant de certaines valeurs de dD. Voici donc ce qu'on doit faire en général à cet égard»
3i3. On pourrait calculer les variations d'année en année, en prenant , dans les équ. (A) et (B), chaque fois, pour JELel D te
9HÉCESSIO* DE3 BQUINOXESi <$l
y alfeurs qui' appartiennent au l* jour de Faj)née correspondante» Mai* le procédé suivant est plus commode et aussi sûr.
Prenons la différentielle des équ. (A) et (B) : ^ ■
d1 JtL*=± n cos A tang D dM + ^- — f
° cos3D
*f>D == — n sin iA €/ uA. •
Mettons dD au lieu de n cos j& dans la première de cet. valeurs ♦ et wultlulions par sin t" . pour exprimer en vseçoit'rles d'arc; nous aurons les dîff. Secondes. des variations annuelles en asc. dr. et en déclin. Sous cette forme.:
d> A*= (tang D d AU + ^J^dD si* i% ; , d*D = — n sin A d jR sin 2".
ri
11 est facile.de calculer ces valeurs pour chaque étpfe.Jtfais presque toujours elles sont si petites qu'on doit les négliger : alors les d\ soo,t constans, et les variations croissent proportionnellement au temps pendant 10, 20, . . . ans, et même davantage. Mais lorsqu'il arrive que ces d* ont des grandeurs notables, alors les d1 varient d'une année à l'autre. Ainsi on a au commencement;
de la iTe année 4iff? ipe = d\ ,
7" " delà 3%. =# + 1*,
dela4*. ^<£' + 3</%
et ainsi de suite. C'est-à-dire qu'on compose la progression ~*rithtaéUq«e qui a d1 pour Ier tenue et <# pour différence (,/^ez à ce sujet la note du n° 98, p. 78.) Mais il ne faut pousser cette série» que jusgja'i une «certaine, limite , surtout lorsque d*> est grand . parce que les d2 devraient être pris en-Considération.
Avant de faire des applications de cette théorie, nous de- •votas ajouter qiie1 les asc.'dr. des catalogues sont presque toujours données «11 temps, 0tqi>e dans nos équations, ellesistht
45a pftécESSion des équihoxes.
supposées en arcs. Il faudrait donc convertir le» AU et <f' A en secondes de temps, en les d'irisant par 1 5. On voit qu'il faut ( en i83o et années suivantes ) prendre dans d&
m t= 3^070195 et log nc^ 0.12617;
et dans d*& on introduira pour dJBi sa valeur en secondes de temps, et pourlog n celle qu'on vient d'indiquer ; J1 A sera alors exprimé en secondes de temps,
3i4« Soit prise pour exemple la polaire au cosnmenceneot de i83o, époque où l'on a
Voici d'abord le calcul des d1 parles équ. (A) et (B) :
tin AL. ... 9.40954 n i.3oa*6
taagD.... r. 55456 ~ coc^R. .. 9.98519
