Observez que l'équ. (2) revient à la suivante

en prenant pour A* la demi-somme des dificr. secondes , ou ce que nous avons désigné par 2B. Or, A1. — serait la correctiou

de M', si Ton négligeait les diff. 2e* ; le dernier terme est donc la partie de cette correction qui est due à ces diff. M. Mathieu a construit une table des valeurs de ce dernier terme. Ainsi, on suppose la marche lunaire uniforme pendant 12*, et l'on corrige le résultat ainsi obtenu, en prenant à vue la petite quantité qui est donnée dans cette table ; on la trouve à la p. 164 de la Conn. des Tems. En voici l'usage :

La iK colonne contient les temps écoulés /de io' en io'; les

unités de minutes des différ. 2°, et les secondes, de 10 en 10, sont indiquées en tête des autres colonnes , sur la i™ ligne horizontale. On prend, dans l'intérieur du tableau, les nombres correspondau8 à la ligne et à la colonne qui désignent l'heure proposée et la diff. 2e trouvée. La table est à double entrée, et Ton opère comme p. 63. On y lit, par ei. :

etc.

6hn/

etc..

Ainsi, quand la moyenne entre les deux différ. 2" est — 2'5o", et que l'heure proposée est 6* 10', on trouve dans la table, d'une part, i5",o, qui répond à 2' ; d'autre part, 6ff,2, qui provient de 5o* : en tout +2i",2. Cest la correction qu'il faut faire au nombre obtenu , lorsqu'on a supposé la marche lunaire uniforme, et qu'on a réparti la différ. ire proportionnellement au temps écoulé 6* 10'=/. Cette correction se prend d'ailleurs en signe contraire a la diff. 2e.

Quand l'heure proposée tombe entre les nombres de la irc colonne , on interpole à la manière propre aux tables à double entrée. (V. p. 63.)

Ainsi , dans l'ex. du i3 mai i83i, p. 106, on a

« = 9* 1/ iS'', a « = 7? 5*' 46", A = 73o3i' 8"

La marche uniforme donne 4. 6. 5.56,3

tes diff. 3«« ont +y 33" pour moy. La corr. est pour 1'. — 5,3

ponra3*. — 3,0

Asc. dr. demandée = 78.36.07,0.

84* Lorsqu'on demandera les lieux lunaires à une heure Traie évaluée sous un autre méridien que celui de Paris, on cherchera d'abord l'heure contemporaine de cette ville , d'après la différ. des longitudes des lieux, puis on fera le calcul pour

cetfe dernière heure. Ainsi , pour avoir le lien de la Lune à 7* 43' de temps vrai à Berlin , comme cette ville est à 44 ^ à l'orient de Paris, il e$t 6* 58' 52* à Paris, et c'est l'heure pour laquelle il faut faire l'opération.

Et si l'iieure proposée était en temps moyen ou sidéral, il faudrait d'abord chercher l'heure vraie corresponoj&nte. {V. n° m.)

85. Il arrive quelquefois qu'pn contait jrt et M', ainsi que les diff. a1, a*,... et qu'on demande i. Par ex., on cherche à quelle heure t la Lune avait une asc. dr. donnée. Tout est alors connu dans les équ. (3 , 6) , excepté le temps t , et il faut tirer la valeur de cette heurq. On doit donc résoudre une équ.. de degré supérieur. Appliquons ceci au cas où les diff. 2" sont regardées comme constantes , et ou l'on a l'équ. (6) , qui est du 2e degré en /. Comme B est fort petit , on en tire

I2*~A + Bfo0# 9

Négligeant d'abord le petit terme B fat) , on a cette ire ap-

proximation , — j- = -~ , qui revient à supposer la marche

uniforme pendant 12*; mais pn corrige ce résultat, en reprenant l'équ. , et substituant cette valeur pour 7» 1 dans le dénominateur, ce qui conduit à un nombre plus approché , lequel suffit le plus souvent. D'ailleurs , on peut approcher davantage , en recommençant le calcul avec cette nouvelle valeur de ^ t.

A quelle heure vraie de Paris , le 2 sept. i83o , la longit. lunaire est-elle 1 1*9° 53' 21 ",78? Ce problème, inverse de celui de la p. io3, donne lieu à un calcul qui commence de même , et l'on a

Longit. C = 1 1*0/53' 31*78 A = 7»io/4o% Bs-4-iao". M' = 11.3.34.49

io8",37.

D^nom.. 1. 13.38.2n . .

t = ioh 46* 52%4 4.5889704.

On retrouve à fort peu près le nombre t de la page io3 ; et on l'aurait exactement, en recommençant le calcul avec la valeur trouvée.

86. Nous pouvons maintenant calculer les instans des phases lunaires , qu'on trouve indiquées au bas des pages de chaque mois. La néoménie, le premier quartier, la pleine Lune et le dernier quartier arrivent lorsque la longit. de la Lune, moins celle du Soleil, est o°, go°, 1800 ou 2700. Désignons par i celui de ces quatre nombres qui se rapporte à la phase qu'on veut annoncer; par (£ et 0 les longit. des deux astres au midi ou minuit qui précède, instant ou la diff. des longit. est un peu moindre que i ; enfin , par m et rrt les mouTemens horaires en longitude, donnés par la Conn. des Teins.

Dans le temps x, les accroissemens de longit. des deux astres sont mx et rrix\ en sorte que ces longit. sont devenues (£ -f- mx9 © -f m'x. Pour la phase cherchée, la différ. de ces quantités doit égaler i9 savoir,

d'où x^i + °S. (10)

En faisant * = o, x est l'heure de la néoménie; i = 1800 donne celle de la pleine Lune; i' = go°, celle du Ier quartier; enfin , i = 2700, celle du dernier quartier. Cette heure x

Par ex. , le ai mai i83o, on trouve qu'à minuit,

O = a* o°ao' 29" O en »4 h. ... 57' 40" (eoiah.... 7030' 35"

C=i.afi. a. 46 57.40 5 fois 37.3a.55

Mouvement du O en^ heure. . .= i44*'o* m' = a.a4, 17

Pour la neoraénie , £ = o. Dénom. ... =35. 8,75.

1 «* Procédé. a« Procédé.

Nuojer 257' 7 Numér 4.18929

Denom 35,i Denom — 3.334°?

Quotient. . . . 7^80'. 7*333 0.86597.

Ainsi , le aa mai , la neotnénie arrive à 7b ao' dn malin.

87. Ce calcul suffît pour les éphémérides , parce que l'heure n'a pas besoin d'être fort précise, attendu qu'elle ne sert qu'a la détermination des marées; mais comme on y suppose que la marche des deux astres est uniforme, on ne peut considérer le résultat que comme approché , surtout lorsqu'on a pour objet de prédire les éclipses. Voici comment on s'y prend pour corriger ce résultat, qui est pris pour une première approximation.

On calcule , pour le moment trouvé , les longit. de la Lune et du. Soleil; on a égard, pour le premier de ces astres, aux difFér. 2". Si la difier. de ces longit. était exactement = î9 ce moment serait juste celui de la phase; mais comme il n'en est pas ainsi , en comparant cette difier. à * , on voit de combien il s'en faut que la phase n'ait lieu, ou l'erreur 1. Or, on connaît les mouvemens horaires m et m de la Lune et du Soleil, et le mouvement relatif m — m' en ifc. On pose cette proportion : si m — m' est le mouvement en 1 * , quel temps serait nécessaire pour donner r? Après quoi on corrige la ire approximation de la valeur trouvée , ot l'on vérifie ce résultat en recommençant tout le calcul. Il faut que i soit exactement la diff. des longit. vraies.

Par exemple, le a septembre i83o, il y a éclipse de Lune;