FIGURE DE LA TERRE
l'angle M CM' et de son sommet C , on a la proportion
i:<p::gm ou n:mm'=^-=n^.
On a mesuré l'angle M'MO=*, azimuth de MM' compté à partir du sud O, vers Test ou vers l'ouest : PMO, PM'O' sont les méridiens des stations M et M', et l'angle P est la différence de leurs longitudes. Dans le triangle sphérique mpm' semblable à PMM', qui serait tracé sur la sphère concentrique de rayon un, on connaît l'homologue de PM , pm = 900 — la latitude /, celui de M'M , mm'zsz p , et l'angle M= 1800 — « \ il s'agit de trouver l'homologue à PM',/?m'=go° — la latitude /' de la station M', Pahgle P =sp différence des longitudes , et enfin, l'angle PM'M, supplément de l'azimuth,'MM'0 = «'. Comme Tare mm9 est très petit, ç , P et /— ï = d sont de petits arcs. Dâtis ce triangle sphérique , on a (équ. 32 , page 4)
sin P : sin (p M sin M : cos V \\ sin M' : cos l\
on remplace les sinus de P et de 9 par les arcs, et à cause de jr-aeEty, H Vient •
" ' y siil M . .. sin M cos / N cos / cos /
Dans la 1™ de ces équ., *P désigne la lopgueur de l'arc, décrit du rayon un, qui mesure l'angle MPM';. si l'on veut que P exprime le nombre de secondes de cet arc, il faut mettre P sin ?" au lieu de P. (^Vpage 3.) On a donc pour la différence . P des longitudes, en secondes d'arc , et pour Vazimuth.}ÛM'Qf~* du côté MM', vu de M',
jrAnm , sin* cos/
p =» ^ . — • (1) , sin * = «— (2).
« cos /. sin 1 cos F :
Mais ces équ. supposent que la latitude t de la station M'est connue. Pour la trouver , formons dans notre triangle sphériqne mpm' Péqu. (4 , page 33)
cospm! = cos pm cos mm' + smpm sin ntm' cos M, ou sin T = sin / 00s 9 + cos l sin <p cos M.
FIGURE DE LA TERRE. Il5
or, cos M zb — cos «, oos ^=i-**Jf', au 3* ordre près ; ainsi ,
sin f se sin/— if* sin /-*- cas /•$ cos a;
donc sin / — sin f = ?. cos / cos * -+- » «P* sin Z, Or ,. d'après l'équ. (9) , page 2 ,
sin / — sin f= a sin J (/ — f) cos 5 (/ + f) = (/ — T) cos(/ — ï^ = </(cos/coSï<*+ sin/sini<i),
à cause de l—rfzs:d, qui est un très petit arc, Ce dernier membre développé, au 3e ordre près, revient à dçoil+±d%8inl. En substituant cette valeur pour le premier membre de notre équ. , et la divisant par oos /, il viept
d = p cos a + \ tang /(p9— </•).
Pour une première approximation^ 0e néglige d'abord le dernier terme, et l'on a <£«= f oos *i et substituant ensuite pour </ cette valeur dans notre second membre 9. on trouve
. d = 9 cos rf -f- ■; tang / Q* sin* «t.
Le petit arc d est ici exprimé par sa longueur, . le rayon étant 1 ; pour qu'il le soit en secondes ( page 3 } , il faut remplacer d par dsm 1" =5: (l -t- /) sin i\' ) Doue on a, à cause de /ssNf,
y cos a j^ tang / sin1 4 ' Nsini aJSrsin 1
Lorsqu'on exprimé .y et N en mètres, en trouve, peu* l=s.^5°9
compl. log (N sin O = a.5iô5ïo6\
On peart, fe pi u* souvent, prendre- cette valeur comme si elle était eovitt&nté, et négliger le^lermer terme cjui est en yx \ mais lorsqu'on exige une grande précision > il ïawt déterminer la longueur' délai-normale N pour la latitude donnée / (p. 1 12) : les deui'âérnieri: termes de cette équ^ représentent des se* condee d'arcs. *- * * :* ■*-;«*•
De* équations; (i, a et 3), la dernière, fait connaître la latitude de la station M'; les deux autres donnent sa longitude P et faiimuth * du côté MM' =^
Des parallaxes. ' '
90. Deux observateurs, situés en des lieux différéns à fa surface du «lobe, ne. voient; pas l'un et l'autre Je Soleil, ni la ]yu#e ,.a*le& planètes, réponse au même poju^du^iel, parce que les rayons visuels menés à l'astre font entre eux un angle ïïonîraé parallaxe, et que-, prolongés jusqu'à là Toute céleste, ik y marquent des points différéns. Comme les tables astronomiques sont destinées à servir à toute la Terre, on
y suppose que l'observateur est £lacé au centre du ' globe ; c'est de ce point qu'il es^t, censé voir tous^J.^ astres, et en évaluer les longitudes, latitudes, asc. dr., iléclin., telles qu'on les a indiquées1 dans, la Ccnn. des Terni. D'o-it l'<)n'rc©i¥c4ut qtfii fout fàffe sufcW à*es arcs des corrections1 , pour les faire servir à chaque station et leur donner -Iw "valeur -qui leur convient en ce lieu : c'est ce sujet que nous allons traiter.
1/ (fig. i4) est un astre Vu du point Ô, selon la droite OI/, et ^observateur Je rapporte au point du ciel où -cette droite va 'percer cette sphère. Sfil était placé au centre G, il verrait l'astre suivant CL'. Ces deut droites font entre eM& l'angle V , qui est la parallaxe. En effet, comme la voûte céleste est à une distance infinie de nous, la longueur CL' est censée nulle, par rapport à. cette distancé, et le som tiret 1/ coïncide avec C quand on compare CL' au rayon de la sphère étoilée. L'angle L', ou son apposé au sommet, est -mesuré par l'arc céleste intercepté entre le. prolongement des côtés, arc qui. est précisément le déplacement apparent qu'éprouve l'astre quand on le voit de O et de C. Ainsi , la parallaxe d'un astre est V angle \J , sous lequel de cet astre on voit le rcyon ter*, réstre CO mène à l'observateur O.
: £,a parallaxe d'un asjtWfghange avec sa distance à la Terretf car plus L'' s'éloigne , et plus l'angle L' diminue. Les 4toiles\ nont aucune parallaxe, parce qu'elles sont situées à l'infini,, ,
PARALLAXE. I l 7
c'est-à-dire sur la sphère céleste même. Au contraire , comme la Loue est l'astre le plus rapproché de nous , sa parallaxe est plus grande que celles du Soleil et des planètes, et comme elle atteint jusqu'à x°, on ne peut négliger d'avoir égard à un effet aussi considérable.
Toutes les fois qu'on tire de la Conn. des Tems une asc. dr., une déclin., une longitude, ou une latitude, pour la faire en-* trer dans des calculs, l'observateur est censé placé au centre G du globe ; et comme les observations sont faites d'un point O de la surface , il faut , avant tout, corriger les arcs mesurés , afin de les réduire à ce qu'ils seraient si l'observateur était transporté au centre C , avec son horizon et son méridien, parallèlement. Alors on peut combiner les résultats avec les données de la Conn. des Tems, selon les règles prescrites par les formules qui sont propres au problème qu'on veut résoudre.
L'astre 1/ vu du centre G, et vu du lieu O, est rapporté au zénith z , sous les angles L'Cz =Z , L'Oz = Z' ; ce dernier arc Z' est la distance zénithale apparente ; l'autre Z est la distance zénithale vraie, ou corrigée de la parallaxe de hauteur, qui est l'angle L' = ». Il est évident, par la fig. i4> que le plan du triangle GL'O passe par GO et par le zénith z du lieu O ; il est donc vertical. Ainsi la parallaxe s'exerce entièrement dans le sens vertical, et diminue la hauteur de V astre; c'est-à-dire que pour réduire une hauteur observée de O, à ce qu'elle serait vue du centre G, il faut y ajouter la parallaxe p'de hauteur, ou bien , il faut la retrancher de la distance zénithale apparente Z', pour avoir celle Z vue du centre C.
D'après ce qu'on a dit delà réfraction (n° 66), il est clair que cet effet s'exerce toujours en sens inverse de la parallaxe ; ainsi , il faut ajouter réfraction — parallaxe à la distance zénithale observée , ou retrancher cette différence de la hauteur apparente, pour avoir celle qu'on mesurerait ai l'on pouvait l'observer du centre G , et qu'il n'existât pas d'atmosphère.
En général , la parallaxe s'exerce verticalement , et nous fait juger le Soleil , la "Lune et les planètes plus bas .qu'ils ne sont vus du spectateur situé au centre /et transportéaveç.&onihon-
Il8 PARALLAXE.
zoo parallèlement* Ce déplacement change les asc. dr»> déclin.» longitudes et latitudes Traies des astres, et nous rechercherons les variations qui en résultent; mais il ne change ni leur a*imoth ni les passages au méridien , puisqu'il laisse l'astre dam le plan vertical où il se trouve.
91. Dans le triangle L'OC, ou l'angle L' =/?=paraHaae de hauteur , OC = 11= rayon terrestre , et L'C ts A= distance de 1/ au centre C , on a la proportion (éqn. 27, p. 3) ,
%mp : sin(i8o° — E) y. R : A, d'où A sin /; = R sin 71. (1)
On voit d'abord que p devient insensible quand A est très grand par rapport à R , c'est-à-dire lorsque l'astre est fort loin de nous ; et voilà pourquoi les étoiles n'ont pas de parallaxe. En outre , quand la distance zénithale 71 décroit depuis o jusqu'à 900, la parallaxe/? de hauteur diminue, jusqu'à devenir nulle quand l'astre est au zénith. S'il est à l'horizon, la parallaxe est au contraire la plus grande possible pour, une distance constante A de l'astre. On donne le nom de parallaxe horizontale à l'angle L ( fig. 14 ) sous lequel un spectateur voit le rayon OC, lorsqu'il est placé dans l'astre situé à l'horizon de O. Cette râleur maximum étant désignée par H , on a
AsinH=R, et éliminant A , on trouve
sin/; = sin H sin 71. (2)
Comme les arcs/; et H sont en général très petits , on les substitue à leur sinus , savoir :
p = H sin 71. (3)
Cette équ. sert à trouver la parallaxe/; de hauteur, quand on connaît la parallaxe horizontale H : car la parallaxe de hauteur est le produit de la parallaxe horizontale par le cosinus de cette Hauteur, ou par le sinus de la distance au zénith, p et H sont exprimées l'une et l'antre, soit en minutes, soit en se-
PARALLAXE. 1 IÇ)
coudes de degré : U désigne la parallaxe qu'aurait l'astre? si, conservant la même distance au centre de la Terre, il était transporté , par la pensée , à l'horizon de l'observateur. 71 =90° donne p = H, ce qui est évident. On voit aussi comment, de Péqu. AsinH— R, on peut tirer la distance A d'un astre au centre de la Terre , lorsque l'observation a fait connaître sa parallaxe borinontale H et le rayon Rde la Terre. Mais ce sujet est étranger à ceux que nous devons traiter ici. {V. Urunc graphie f n°3«j2.)
L'équ. (3) est celle qu'en général on applique aux observations : cependant , s'il s'agissait de la Lune, et qu'on exigeât une extrême précision , il faudrait préférer l'équ. (2) , parce que la parallaxe horizontale de cet astre est très forte. Cet arc varie avec la distance de la Lune, depuis 53' /£8" jusqu'à 61' 24". il est de 5e]' 36" pour la distance moyenne. Dans les calculs dé* licats , il n'est pas permis de supposer que cet arc est égal à son sinus.
Pour montrer, sur un exemple , l'usage de l'équ. (3) , cherchons la hauteur vraie de la Lune (pour un observateur situé au centre de la Terre) , le 7 août i83o, à 6* 44' temps vDai de Paris , la distance zénithale observée étant 71 =7 7* 45* 36", 5. Nous avons trouvé n° 44 > pour la parallaxe horizontale de l'astreaumême instant R=5c/ 33*,a; voici le calcul (v. p. 122} :
smS7 9.9900140
Distance zénithale vraie Za 760 fa' ^v5j
c'est-à-dire que si l'observateur est transporté au centre de la Terre , avec son horizon parallèle, il verra la Lune plus élevée de 58' i2%o; la distance zénithale apparente 71 devra donc être diminuée d'autant, pour devenir Z, savoir , Z = 71 — p.
92. La parallaxe horizontale d'un astre variant avec la distance , cet arc, pour la Lune, est susceptible de valeurs sans cesse variables, que la Conn. des Tems fait connaître pour tous les instans. Celle du Soleil ne varie que dans d'étroites limites; on peut,. le phis. souvent, la regarder comme constante et
égale à sa valeur moyenne H =8",57 76, ainsi qu'il résulte des observations des passages de Vénus sur le disque du Soleil, calculées par M. Encle. La Conn. des Tenu la suppose de 8" ,8, ce qui paraît an peu trop fort.
Mais dans les recherches où l'on veut de la précision , il faut adopter la valeur de H qui convient à la distance actuelle où se trouve le Soleil , distance qui varie avec les saisons {voyez YUranographie, n° 39), et comme cet astre est le sujet de fréquentes observations, on a construit des tables, dont les marins font souvent usage , d'où l'on tire à vue la parallaxe de hauteur pour chaque date et chaque hauteur. Attendu que l'écliptique est une ellipse très peu excentrique, les changemens de distance du Soleil sont fort petits et la parallaxe horizontale de cet astre varie peu ; cependant on a égard ', dans ces tables; aux changemens qui résultent de ceux du rayon vecteur. Une fois qu'on a la parallaxe horizontale du Soleil, l'équ. (3) fait connaître celle de hauteur, qu'on marque dans la table dont il s'agit.
93. Nous avons trouvé la parallaxe/? de hauteur, étant donnée cette hauteur , ou la distance zénithale apparente Z' = L'OZ; mais si l'on donne la distance zénithale vraie, Z = L'CZ, comme l'angle I/OZ est extérieur au triangle L'CO ,onaZ' = Z-f-/>. L'équ. (2) devient donc, en développant sin (Z-f-/?),
sin p = sin H ( sin Z cos p + cos Z sio p) ,
et divisant par cos/? , puis transposant
tang/?(i — sin H cos Z) = sin H sinZ,
,, . sinHsinZ . ri . „, , . „ n \
d'où tang/>= :— == -=sinflsinZ(i-+-sinJicosZ....),
*** 1 — sm H cos Z
en développant (i — sin H cos Z)-1. Remplaçons tang/> et sin H par/? et H , ou plutôt par p sin 1" et H sin 1% pour réduire ces petits arcs en secondes (page 3j , et il viendra
/> = HsinZ+iHasin2Z.sin i". (4)
Cette équation servira, si l'on veut avoir la batteur de ta Lune à une heure donnée ; car le calcul fait d'après les éqn. dun° i33 ne ferait connaître cette hauteur que pour l'observateur situé au centre du globe; pour avoir celle qui convient au lieu proposé, il faut donc corriger le résultat de la réfraction —parallaxe, mais en sens contraire de celui dont on a parlé cî-dessus (n° 91). Cette parallaxe se trouve par l'équ. (4) f puisqu'on connaît Z.
94. La parallaxe donnée dans la Conn. des Tems, page 5 de chaque mois, se rapporte a Phorizon des lieux situés sous Péquateur terrestre , squs le titre de parallaxe horizontale èquatoriale. Voici Je sens qu'il faut attacher à cette expression.
Du centre de la Lune , imaginons des droites tangentes au sphéroïde terrestre ; ces droites formeront un cane enveloppant celui-ci , et comme notre globe est ellipsoïdal , la base de ce cône sera une ellipse dont le grand axe sera le diamètre de Péquateur et le petit celui des pôles, vus de la Lune; c'est-à-dire que, de cet astre, la Terre parait comme un disque elliptique. Les génératrices de ce cône font avec la ligne qui joint les centres des angles variables, qui ne sont autre chose que la parallaxe horizontale de la Lune pour chaque point; le plus grand répond à Péquateur , le plus petit aux pôles : le premier est la parallaxe, horizontale èquatoriale de la Conn. des Tems.
Il est facile de déduire de cette dernière parallaxe , celle qui convient à une latitude donnée / : car soient H et H' les parai laxes horizontales qui répondent aux latitudes o et /, R et R' les demi-diamètres terrestres de ces deux stations, on a, comme n° 91 , A sin H= R, a sin H'=R', d'où
sin H R ÎL*
sinH'^R" °tt H' *""!?'' ()
maison a trouvé (p. in)R'=R(i — ,* sin'Z-f §<*fliin» 2/. , .), pétant l'aplatissement; donc on à
H' = H(i— psin*l + $fsm*2l) (fy
= H (1— ft sin* /) , à très peu près.
On voit donc qu'i/ faut diminuer la parallaxe horizontale équatoriale H, de H/s sin* l, pour avoir la parallaxe horizon* taie sous la latitude L Les observations ont fait comwtre tjue l'aplatissement f* est ^ \ en adoptant oette valeur > on a
log^=logj^ = 3.5i53oo2.
Les ftraffas négligent ordinairement cette correction due à l'aplatissement du globe terrestre , parce qu'elle est très petite, et qne leurs opérations sont atteintes d'autres causes d^erreurs beaucoup plus considérables. Ce n'est que pour les observations de la Lune qu'il faut en général tenir compte de l'aplatissement, même dans les calculs les plus précis, parce q*e tes autres corps célestes sont trop éloignés , pour qu'il en résulte une correction sensible.
On trouve , à la page ai i de la Conn. des Tems , une petite table dé correction des parallaxes de la Lune , de minute en minute, pour la latitude de Paris, dans la supposition de trsîs aplatissemens différer» : l'interpolation donne les valeurs «intermédiaires. Ainsi , lorsque la parallaxe horizontale est 5g' 33" sous i'équateuf , on trouve qu'elle est a Paris plus faible de 6",t5, pour l'aplatissement 3^.
Supposons que, le 7 août i83o, a 6*44' temps vrai de Paris, on demande la parallaxe horizontale en cette ville , dont la latitude est l -± 48e 5o' 1 4"; on a trouve (n° 49) que H =s &)' 33",2 ; voici le calcul de l'équ. (6) :
[a 3.5i57o -~ 6,64 sinZ'... 9.9900140
■in»/ 9.75341 H'=59.2?M)6T... 3.55qy)&>
6M,64 0.82217 p=58'5"88 3.54a3iM.
Après avoir trouve 6" ,64 de diminution de H, on obtient la parallaxe horizontale H' pour Paris. Cest cette valeur de H' qu'il faut employer dams l'équ. (3) pour H, et l'on trouve, pour la distance zénithale Z' = 770 45' 36", que la paraHaxe de hauteur est 58' S" ,88 , a retrancher de Z'. Ce calcul est analogue à celui du n° 91.
PARALLAXE. iaZ
95. La parallaxe* 60 dounant sur U voûte céleste au Soleil , à la Lune et aux planètes, une place différente de celle que ces corps ont en effet, pour le spectateur qui les voit du centre de la Terre , change, en apparence, les coordonnées qui déterminent leurs position». Ainsi l'asc. dr. et la déclin „ la longitude et la la latitude de ces astres sont influencées par la parallaxe; et il est souvent nécessaire de connaître l'étendue, de ces déplacemens apparens , pour en tenir compte dans les calculs. Nous allons donner les formules qui sont usitées le plus généralement pour ces déterminations.
Commençons par l'asc. dr. et la déclin.
SoitPzm (6g. 45) le méridien, z le zénith* du lieu dont la latitude est l, Pie pôle de Péquateur ma, Pz = 900 — /. Le lieu vrai de l'astre , tu du centre de la Terre , est en u ; u est le lieu apparent, ou tu de la surface, le petit arc uu est le déplacement sur le vertical zu', ou la parallaxe de hauteur p = uu ; cet arc p est donné par les équ. ( 2, 3 et 4)« L'angle horaire vrai zYu = lf est changé en «Pu' stz P' ; la variation est uPu' =t ou la parallaxe d'osé, dr. La distance polaire i/P, complément de la déclin. D, est changée en u'P; la différence de ces arcs est la parallaxe if' de déclin*, ou de distance polaire ; jy est la déclin, apparente , complément de l'arc Vu', et l'on a
Vi/=Pu + w,=zgo° — (D — *'), D' = D — «•'.
Enfin, zu'^zZ! r distance apparente au zénith , zu =Z, distance zénithale Traie.
Dans tout ce qui suivra, nous marquerons d'un accent les valeurs des Variables apparentes Z', Bf, A', vues de la surface terrestre, pftur les distinguer des valeurs vraies Z, D, A.
Les triangles sphériques uVut zPu, donnent ces équations (3a , page 4) ,
* sin ù* ^ sin iiPu' sin Pu sin uu' , ' sin z?u sin u' sin su' sin Yz
1 aÔ PARALLAXE.
de là on tire la déclin, apparente {Y, et par suite , s'il est néeessaire , la parallaxe îr'tfe déclin, t puisqu'on a^ ;== D — «•'.
Le demi-diamètre R de la Lune croît avec la hauteur de l'astre sur l'horizon. Nous avbiis donné?, p/ffi , hVvaîeur de cet accroissement/ «qèand cette ÎMiuteu» est tibnhiféç: mais comme icielle.neJL'est pas ^ il confient d'exprimer )e demi diamètre apparent Jt"èn fonction des tannées D, !/, R, '
Les sinus des angles sous lesquels on voit le demi diamètre de la Lune.<©ntrien raison inverse dés distances,, c'est-à-dire
sin R sin £ ;r>r ~ . .
que . ~ = ■ . ,y » i^. p. oo.) Mais ce dernier rapport est ^ smR smf r ••• ; rr^ .
donné par les valeurs égales de sin t£U qu'on a trouvées cidessus y d'0Ù
sin R/ cos D' sin (P -f m)
sinR coi D sin P
' eo*î)V ' i COsPsin*-\
=i =-(cos*H r^5 — )
cosD \ sinP /
cosD'
= — ^- cos w
(". cosPtâng«-\ ,+-snr->
cosD et 'substituant à tang *• sa valeur (8) ,
sin R' ' cosD'cossr . . cos D* cos *•
sin R cos D r^-rsin H cos / cos P cos JD (i — cos et) '
donc
SitVtt = u r fl"^ — ».
2 cos D sm* j#
En remarquant que les dénominateurs de ^nos équ. sont les mêmes , on voit qu'on a, -en général,
sin H cos / cos P , k .
cos £ = --^ — ^., , . ,(A;
cos D
• >sin .§ œ sin H sin ?,
v o:> v ,3COSpS«laij0
tang «•== (r sin 11 cos /sin P,
tangl*sBarsm£(D — f)cos£ (D+Ç)cosfr,
SÎD R' =* 0- COS IX COS 9T sin R.
Mais le plus souvent, ou peut simplifier ces formules ; car H ne dépasse guère un degré , et peut remplacer «in H. Il faut en dire autant de £ , *• , R , R' et même D', puisque dans les éclipses de Soleil , auxquelles ces équ. s'appliquent principalement , la déclin» est fort petite. Enfin, cos jS =301(90° — y3)= sin2i peut aussi admettre la mâme simplification, car 21 est très petit; ainsi \fl — 45° —i. On a donc'
H cos / cos P
a cos D '
^a cas D sin* (45° — ■)' £ = Hsin7; .
«• =fflcos/sui P, Vf = o-(D — £) cos i (D + |) cos 7T, R' = *R cos D' cos *■ .
Quoique ces équ. soient très simples , les astronomes préfèrent l'emploi des séries. En posant dans l'équ. (8) ,
\. sm ;H cos / * — cos D *
ç sinP
! on trouve tane % z=z - ;
0 i— ÇcosP
développant la puissance — 1 du dénominateur,
tang 7T = ç sin P (1 -f- ç cos P + f* cos* P. . .) ,
remplaçant enfin tang ît par îT.vSin 1*, pour exprimer «r^n secondes, on a
Jjt ?**'f ; gainai? f #:*f».3P, * sin t" ,; : 2 sin 1" "*" 3 sin i*
Cette série est très convergente, parce aue ç est fort petit; I il est rare que l'on* en conserve le 3e terme. Pareillement pour
la parallaxe *•' de déclin., nous rendrons Péqu. (9) propre au calcul logarithmique, par 1- artifice suivant. On tire de cette équ.., . <
sin/sinH A sinFtancD'
ix — = tangD . /p- ■ x »
cos D ° sin (P + «■)
D'ailleurs on a -
* r* * t* sinD siniy
tang D — tang Tf = — ->
° ■ ° ■ oosD coslX
sin D cos D7 — sin Tf cos D stn *
cos D cos Jf r"" ços D cos D' "
Ajoutant membre à membre avec la précédente, on trouve
sin / sin H -y sin n* sin P taugD'
~~*cô7ï) Pg ~cosDcosD' :.sin (P-f-*) '
sin / sin H jy JT sinP ~1 . sin w
"cos D — g L1 :«n (P + *)J"^coaDcos"D7 '»
mais on a - ■ ■■ J<
sin P sin (P + %) — sinP
"~ sin (P + rf sin(P-f *") '
2sin£* cos(P +{*) ,, s
= — iiâp+W— <*•• 9' p- 2)i
à cause de 2 sin { «• cos£ *-=sin ar, cette fraction
sinsTCOSÉP-f-i*') sin 0 cos/ /r% . , v sin (P -+-*) cos £*• cos D cos i* *
en vertu de l'équ. (7). On a donc, en substituant ci-dessus,
sin/sinH t w sinHcos/ rn . . . , sin?/
rx— — tangD . rr ;— cos(P -f i sr) H — — -^;
'cosD ° cosDcoSïir ' * cosDcoslJ
donc sin
. / • , . ri ^Bly sin Dx sin H cos / cos(P -f »
in n = sm 1 sin ri cos J/ — — * — "' — ■ = ** . ■ ■
• • • ■ • . \ f ' *" COSjîT • "
Posons
cot Zcos(P «+• {n) .
cot 1 = \ ,
COS?w ■ 1
PARALLAXE. iag
il vient
sin *•' = gin l sin H (cos D' — - sin D7 cot i )
cos D' sin t — sin D' cos •
= sin / sin H .
sin /sin H .
- sin(i — D).
sin t
On fait u =
sin i sin / sin H
sin g et l'on a
sin*-' = u sin (i — D + *■')
= H sin (i — D) cos**' -f- u sin *■' cos (i— D) ;
et divisant tout par cos w',
tang «•' = u sin (t — D) + u tang «•' cos(i — D) ,
, , m sin (i — D)
tang «• xi 1 — ,
° ,i — u cos(i — D)
et en développant le dénominateur à la puissance — i ,
tang 9/= ii sin (• — D)X [1 + m cos (i — D)+^*cos,(i — D) . . .] ,
série convergente, attendu que u est très petit. Ainsi,*-' est connu, à l'aide des variables auxiliaires 1 et w, et par suite la déclin, app. D' = D — *• .
On peut remplacer la tang «*' par l'arc, puisque, pour la Lune, dont la parallaxe est la plus grande, cet arc n'est pas de plus de ï°. Nous changerons la tang sr en w sin 1", pour exprimer cet arc en secondes de degré. Il vient donc , en réunissant ces formules , les équ. suivantes , dans lesquelles P est l'angle horaire de l'astre , D sa déclin. , / la latitude du lieu, H la parallaxe horizontale, (f. ci-après, p* 139.)
l3o PÀBÀLLÀXE.
Parallaxe * d'osé, dr. A. (Q
^ sin H cos l
On pose 0 = =r — ,
r cos D
fsinP $• sin aP 03 sin 3P sin i a sin i 3 sin i
asc. dr. app. JM = asc dr. vr. j& + *-# Parallaxe * de déclin. D, cos(P + i«-)cot/
COt 1 = . ,
sin H sin l
sin i
' " ''"C* — D) «i m* sin a (t — D) ^K8sin3(t — D) sin i 2 sin iv 3 sin i
Déclin, app. V = déclin, vr. D — *■'.
Il est rare que, pour la Lune même, il soit utile de conserver le 3e ternie; pour le Soleil et les planètes, le iOT terme suffit.
Il faut prendre w et «•' avec les signes que le calcul fait trouver, w est positif lorsque l'astre est a l'ouest du méridien , et négatif lorsqu'il est à l'est, attendu que, dans ce dernier cas, l'angle horaire P prend le signe — . De même, il se peut qu'on soit conduit à une valeur négative pour «•'; alors, dans l'équ. D= D — *•', la parallaxe accroît la déclin, au lieu de la diminuer. Cependant il ne faut pas oublier que D doit prendre le signe — quand la déclin, est australe ; en sorte que , si 7r' est alors négatif, la parallaxe se trouve encore affaiblir la valeur numérique de la déclin. Toutes ces circonstances résultent facilement du jeu des signes algébriques'.
96. Venons-en maintenant à la recherche des parallaxes de longitude et de latitude des planètes, si fréquemment employées dans la théorie des éclipses de Soleil et d'étoiles par la Lune.
Mais avant, remarquons que ces arcs coordonnés se rap-
PARALLAXE. l3l
portent au plan de l'écliptique , dont la position change sans cesse à l'égard de l'horizon, par le fait du mouvement diurne ; il faut donc trouver , pour tout instant donné , quelle est la situation de l'écliptique. C'est ce qu'on obtient par la place qu'occupe le Nonagésime: on nomme ainsi le point de l'écliptique qui est actuellement à go° des points ou ce cercle coupe l'horizon. Ces deux plans déterminent des grands cercles de la sphère y et se coupent suivant un diamètre de chacun ; 1800 de l'écliptique céleste sont donc toujours au-dessus de l'horizon , et le milieu de ce demi-cercle est ce qu'on appelle le Nonagésime.
Soit P (fig. 4°) le pâle de l'écliptique Jk, p celui de l'équateuryà, Pp = * l'obliquité de l'écliptique ( v. n° 77); f est l'équinoxe T, origine des a se. dr. et des longitudes, qui sont comptées, les unes de f vers a , les autres de f vers b, en faisant le tour entier du cercle , et allant de l'ouest à l'est. z est le zénith, pzd le méridien , pz= go° — la latitude /du lieu , xbs l'horizon oriental; b est le point de l'écliptique qui se lève actuellement, et qu'on appelle Y horoscope.
H est clair que si nous déterminons le point du ciel qui se trouve actuellement au zénith z, savoir sa longitude.//! =N, et sa latitude nz = go° — h9 la position de la voûte céleste sera connue pour cet instant. Or, le cercle Pzm> est à la fois perpendiculaire en n à Fécliptiqueyé, et en f à l'horizon bx : c'est un cercle de latitude et un vertical , puisqu'il passe à la fois par le pôle P de l'écliptique et par le zénith z. Le point b est à go° de tous ceux de la circonférence Vnv ; n est donc le nonagésime , puisque bn = go°. Ainsi fn = N = longit. du nonagésime, ou du zénith z. D'ailleurs, m> = A = hauteur du nonagésime = colatitude du zénith, puisque ne est te complément de 112. Cet arc nv mesure l'inclinaison actuelle de l'écliptique sur l'horizon , ou l'angle bf savoir br=:nv=Vz=}i. 11 s'agit, comme on voit, de trouver fn = N , et nv = h , coordonnées actuelles du nonagésime.
Les points met d sont ceux de l'équateur et de l'écliptique qui sont maintenant au méridien; l'arc fmf en temps, est
l32 ' PARALLAXE.
l'heure sidérale s, que nous supposons connue (v. n°* 108 et suiv.); Parc fi est de 90°, puisque le plan Tfpî 9 passant par les deux pôles P et p de l'équateur et de l'écliptique, étant à la fois perpendiculaire à ces deux plans, f est le pôle de Vci.
L'arc mi = fi — fm = 900 — s ; donc l'angle zpV = 1 8o° — zpi = 900 + s .
Cela posé, dans le triangle sphérique p?zt on connaît les côtés Pp = *9ZP —900 — ly e* l'angle compris zpP=go°-f-r, et l'on cherche i°. l'angle pVz = ne =fc — fn = 900 — N ; c'est le complément de la longitude du nonagésinie, ou du zénith;
20, Pz = A hauteur du nonagésime , ou colatitude du zénith , qui est l'inclinaison de l'écliptique sur l'horizon.
En résolvant ce triangle par les formules connues ( V. les équ. VI, p. 7, et q, p. 5 ) , on trouve les relations suivantes :
(1) tang p = cot /sin*,
• sin l.cos (0 -f- 0 )
(2) cos h = v£
v ' cos^ l
(3) sin N = cot h. tang(* + p), * (D). (4)
cot h = sin N. cot ( m + ç)t '[
aPgN = tans'-sin(rJLl->,
(5) tang
La irf de ces équ. fait connaître l'arc auxiliaire $, dont on introduit ensuite la valeur, avec son signe , dans les suivantes, qui donnent h et N. On préfère celles de ces équ. qu'on juge les plus commodes pour le calcul. On prend ( 4 et 5 ) , lorsque s est entre 8o° et ioo°, ou hien entre 2600 et 2800 : dans tout autre cas, il e>t plus facile d'employer (2 et 3).
Bien entendu que l'heure sidérale s doit être convertie en degrés, a raison de i5° par heure (n°7o). Quand s*> 12* ou 1800, p devient négatif, et « + p se change en m — f, sin $ en — sin ^ , etc.
Comme N peut aller jusqu'à 36o°, il existe deux arcs qui
satisfont à l'équ. qui détermine cet arc. Maïs on voit sur la fig. 4° <Iae 1° pôle P île l'écliptiqoe est toujours à l'est du méridien quand le nonagésime est à l'ouest , et réciproquement, ce qui lève tous les doutes sur la valeur absolue de N.
En effet, à 6* et à 18* de temps sidéral, les équinoxcs sont à l'horizon , et le nonagésime est au méridien : on a N = go° dans le Ier cas , et N = 2700 dans le 2*. Dans cet intervalle, le nonagésime est du côté de l'occident , et s, qui va en croissant de 6fc vers i8fc, fait croître N de 900 à 2700. Avant 6*, on a N < 900, et après i8fc de temps sid. N > 2700. Depuis 18* jusqu'à o*, et ensuite jusqu'à 6*, le nonagésime est du côté oriental.
D'après cela, on voit que tant que l'heure sidérale s est < 6ft, on doit prendre pour N Tare ■<. 900 que donne la table de logarithmes. Depuis 6* jusqu'à i8A, N va en croissant de 900 à 270°, et quand sin N est positif, il faut prendre pour N le supplément à 1800 de l'arc qui a même sinus; mais des que sin N a le signe — , on prend N = 1800 + l'arc donné par la table. EnGn, passé sz=z i8fe, N devient > 2700, et il faut prendre N = 36o° — l'arc qui a même sinus, abstraction du signe de ce sinus qui est négatif.
'Quelques astronomes préfèrent l'usage des formules suivantes pour obtenir N et h (équ. 37 et 33, p. 4)»
tu m. 1 sinâftangf tang W = cos m tang s -\ — ,
' cos s
cos h = cos 0 sin / — sin m cos / sin s.
97. Maintenant queN et h sont connus à un instant quelconque désigné, ainsi que les positions actuelles du zénith sur la voûte céleste, du nonagésime et de l'écliptique, occupons -nous de chercher les longitude et latitude apparentes d'un astre quelconque, vu au point u du centre de la Terre, et en v! de sa surface ( fig. 4o ) , c'est-à-dire les parallaxes <m et *î dans les sens de ces deux arcs coordonnés.
L'arc uu est vertical , et égal à la parallaxe p c!e hauteur \
les cercles P«, Pi/', conduits au pôle P de l'écliptique fb, déterminent la longitude yraiefg = lu, et la latitude gw = A, la longitude apparente 1/ =fk =fg + ^,ouL, = L + irJ et la latitude ku = a'. On a #£ = la parallaxe m de longitude qui mesure l'angle u?u\ L'angle zPu est mesuré par. . . ^S—fg— fn, ou
zPu = L — N, zVu = L — N + «r.
Quant à la parallaxe <&' de latitude ou de distance au pôle de l'écliptique , elle est la différence entre les arcs Vu' et Pif, qui étant les com plémens de A et a', donnent a' = A — <&'.
Nous pouvons nous dispenser de tout calcul algébrique pour obtenir les expressions de *sr, a' et <r* , puisqu'en comparant les fig. 45 et 4° 9 H est évident qu'il suffît de remplacer dans nos équ. , la hauteur l du pôle de l'équateur par celle 900 — A du pôle P de l'écliptique ; et la distance P=am de* l'astre au méridien , par la distance rig(ûg. 4o) au vertical du nonagésime , savoir, Venfg — fn = L — N. D'ailleurs O devient A.
Ainsi les équ. (A) deviennent
sin H sin h cos ( L — N )
cos jS = -, (fc)
cos A
sin Ç = sin H cos h,
2 cos A sin* 1 0 lang *& = a- sin H sin h sin ( L — N ) , tang a' = 2 *• sin £ ( A — % ) cos { ( A -+• i ) cos «, sin R' = <r cos a' cos t? sin R.
Par abréviation , permise le plus souvent , on a pour analogues des équ. (B) ,
PAUAI.LAXE. |35
H «in h cos ( L — N )
a cos A
{ = H cos h,
r a cos A sin' ( 45° — • ) '
<w =1 «-H sin ^ sin ( L — N ) ,
A* = o-(A — £)<*>»£ (A + {) COS<W,
R' = •■ R cos a' cos m.
Dans ces dernières formules 1 , f, H, tr, a' etR' sont exprimés en secondes d'arc.
98. Enfin, si l'on veut faire le calcul par les séries , on trouve les équ. suivantes , où les petits arcs tr et <m sont aussi des secondes de degré.
Parallaxe *w de longitude L. (G)
, . sin H sin h
faites x = ,
cos A
*sin(L — N) , x% sin a ( L — N ) ^sinSÇ^-N) sin 1 2 sin r 3 sin 1
longitude appar. V = longit. vraie L + «r.
Parallaxe <*' de latitude A.
^ cos(L— -N+ï*r) tang h Posez cot jr = i ï-i i S- ,
sin H cos A
cos j «ar
8'mjr
, v sin (jr — A) *>* sin a (jr— A) ^ sin 3 (.y— A) sm 1 a sin 1 3 sin 1
latitude appar. a' = latit. vraie A — **' .
Rarement on conserve le 3e terme de cette série, même quand il s'agit de la Lune ; le 1" suffît pour le Soleil et les planètes.
l36 PARALLAXE.
Dans toutes les séries des formules de parallaxe , on peut remplacer 2 sin 1* par sin 2", 3 sin 1* par sin 3#, etc. Les complémens des logarithmes de ces facteurs constans sont :
comp. log. sin 1"= 5. 3 1 44*5 1 33, comp. Iog. fin 3* = 5. 01 3395 14, comp. log. ain 3" = 4.8373o388.
Dans ces équ. x,jr,v sont des variables auxiliaires dont chacune est déterminée par une équation ; N et h sont la longitude et la hauteur du nonagésime , qu'on a trouvée par un calcul antérieur ; L est la longitude et A la latitude vraies de l'astre, <rs et tr' les parallaxes exprimées en secondes de degré, et dont on doit employer les valeurs avec leurs signes propres, tels que le calcul les fournit.
99 II nous reste maintenant à préparer la formule qui donne l'accroissement du demi-diamètre de la Lune n° 47» pour l'approprier aux données des équ. G et G ; car ici on ne connaît pas les distances zénithales vraie et apparente Z et Z'.
Tracez ( fig. ^5 ) Tare PG qui divise par moitiés l'angle i*Pu', savoir kVg = k'Pg = {tf , puisque cet angle i/Pw' est la parallaxe d'asc. dr. Abaissez du zénith z, l'arc zk' perpendiculaire sur PG. 11 est évident que Vkk' est un triangle isocèle, d'où Pk = P^', et angle k-=k'. Or les triangles Vzg, P%, rectangles en g, donnent (équ. q, p. 5)
tang Vg = tang Pz cos zPg = cot /. cos ( P + ï * ) >
tang P* = angyr5 — cot ka,
0 cos k?g
l'équateur étant maa. Faisons cet arc ka = 1 , il viendra
cot /.cos (P 4- { *)
cot i = —. — -.
cosjTr
C'est l'une de nos équ. (C). Ce calcul montre que cet arc auxiliaire 1 est la distance du point a à l'équateur.
PARALLAXE. l^*}
Mais
uk =Pa — PA =(90°— D)- (go°— •) = • — D, *'*' = Pi/ — P*' = t — 1/= , — D+ir\
Dans les triangles sphcriques uzk , i/zk', les sinus des angles sont proportionnels aux sinus des côtés opposés , et Pangle k = k'; ainsi
sin zu sin k s in zu'
sin uk sin z sin u kf '
sin Z sin Z/
oa shi(t— D) ~" sin(i — D + w')'
sinZr sin (, — D + y' ) sin R' . sinZ sin(i — D) sinR "
D'après ce qu'on a vu n° 47 > on peut même remplacer les sinus de R et R' par les arcs, savoir :
B' B »in(«-D + >) R - R sin(.-D) '
Ainsi l'accroissement x = R' — R du demi-diamètre est
p sin ( 1 — D + * ) — sin ( i — D)
sin ( 1 — D )
et d'après l'équ. (g) , p. 2,
2 sin \ * cos ( t — D + \ nr' )
sin ( 1 — D )
= R.2 sin^ir [cot (1 — D ) coSï«r' — sin { ir]t
= R [sin r'cot(i — D) — 2 sin* £«-'].
Enfin, en remplaçant sin % par*', ou plutôt par *•' sin i", pour exprimer w en secondes , comme. x et R le sont déjà , on trouve %
x = R m sin i * cot ( i — D ) — \ R ( «■' sin i* )\ (H)
Quand on calcule les parallaxes de longitude et de latitude, on prépare cette formule pour la rendre propre aux données de la question , en changeant P en L — N, etc. .*. , comme on l'a dit page i34 : ainsi
xssR<v/sini*cot(ar — A) — £R (<r' sin i")\ (1)
Dans ces formules, on conserve aux lettres %,jr, *•', «•',. . . la signification donnée précédemment. Comme le dernier terme ne peut dépasser o",i5 , il est rare qu'on le calcule; on est dans l'usage de n'en pas tenir compte.
ioo. Dans les calculs du nonagésime et des parallaxes, il ne faut pas oublier d'employer, au lieu de l et de H, leurs valeurs corrigées de l'aplatissement du sphéroïde terrestre , ainsi qu'on va le dire.
i°. Ce n'est pas la latitude astronomique l, mais la latitude géocentrique V qui doit être introduite dans nos formules, savoir /' = / — i, i étant l'angle que fait la verticale du lieu avec le rayon terrestre , d'après ce qui a été exposé n° 88. En effet , PMA ( fig. 38 ) étant le méridien terrestre elliptique de la station M, la normale MN est la verticale qui va marquer au ciel le zénith apparent Z , déterminé par la direction du filà-plomb en M. On sait que ZM est différent de la direction de la ligne CM, qui, partant du centre C de la Terre, donne en V le zénith vrai du spectateur placé au centre C du globe. Les longitude et latitude de l'astre , données dans la Conn. des Tems, sont géocentriques , pour servir à toute la Terre. Quand on veut les introduire dans les calculs , avec les résultats tirés d'observations , faites en M , à la surface terrestre , il faut corriger ces données des effets de la parallaxe, en se servant des formules qu'on vient de démontrer. On en doit dire autant des asc. dr. et des déclin. Il faut donc employer , dans les formules précédentes, le zénith Y au lieu de Z, c'est-à-dire remplacer /par t = / — i} en prenant l'angle i = CMN = angle du
PAR AL LAIE. l3()
rayon terrestre CM et de la verticale MN. Ce qui a été dit du zénith et de la verticale doit s'entendre du point V et de la direction CM.
Ainsi , il faut prendre dans les formules du nonagésime et des parallaxes, la latitude corrigée V au lieu de /, pour que les opérations deviennent les mêmes que si la Terre était sphérique.
2°. Dans nos équations , H représente la parallaxe horizontale du lieu M d'observation, et non pas celle que donne la Conn. des Tems, qui suppose l'observateur placé sous l'équateur terrestre. Il faut donc prendre pour H la valeur corrigée H' dun°94, qui se déduit delà première a. l'aide de l'équation (6) , p. 121. Cette formule sert à ramener la valeur de H à ce qu'elle serait si la Terre n'était pas un sphéroïde aplati t
sous les pôles.
Nous ne ferons pas ici d'application des formules A, B, E, F. parce que nous les jugeons plus simples que les suivantes, et que nous en ferons, de préférence, usage par la suite. Nous nous contenterons d'appliquer maintenant les équ. C, D, £, pour montrer comment on doit gouverner le calcul.
ioi . Pour donner nn exemple du calcul des parall. en aac. dr. et déclin., par la méthode des séries , prenons celles de la Loue le 5 oct. i83o , à ioh 3a' 4$" t. yt. On trooTe (v. no ai 7)
A(C =6i°43'59l',a6, D = -f- 15<> 39' *?&, R= iCa4",a ;
on a d'ailleurs t = 48» 38' iffi, H = 6o'i3#,3, H's5&/G*,63, ^
P = — 4h49'a6V=— 7**ai'3i\3.
sinH' 8.a4*653i Parall. d'asc. dr. (équ. C, p. i3o).
ml* g.8aoo536
coiD... — 9.9835776
«nP 9*9790804 — sinaP.. 9.76163 — sin3P.. 9.78023 ■+• "
c-siniv. .. 5. 3 1 44*5 1 c. sin a". 5.oi34o c.sin3". 4-8373o
«• = — 3g . 26, 36 Paraît, de déclin. i&l= 61.43.59,26 c. cos \ ar -f. 71
A = 61. 4*32,90 cotT 9.94^654^
P-f-{ir=— 73041' i4"5.... cos 9-4:361 18
• = 75.1910,0 cot< 9.4182731
•in H' 8.q4?653i
•in/' 9.8753993
fini — 9-9855853
u 2.1334671 u* • 4a3^4f>3 us ne donne rien
•in (i — D). 9*9360409 fin 2 9.94045
c.sini". ... 5.3i44^53 c. sin 2" 5.oi34o
D'= 14. 58. 55,59- Demi-diamètre (équ. H, p. l38).
9/ 3.3858993 *r'»in 1" 3.07147
•in 1" 6.6855749 3.07147
cot (1 — D) 9.7673381 o,5 ï-<>9897 —
M- ff',79. •• 0.8318957 — 0,07 3.83499 —
Cherchons encore, par le» sencs , le» parallaxe» lunaire» en longitude < litude , les donnée» étant
H = 54'35w,57, *= 58<» 34' 37w,3, L = 67 «37' 42^,6, L-N=-59°44/37ir, * = -4°45' 3">a' R=i4'5î",9.
Parallaxe de longitude (ëqu. G, p. i35).
•in H 8.2008435
lin h 9.9303487
cosâ — 9.9985o53
•in;L — N). 9. 9364^28 — fin 2... 1.93975 — sin3. .. 2.12788 —
c. fini"... 5. 3i{4'j5i c.iina*. 5.oi3}o c. sin3". 4*8»73o
Parallaxe de latitude* L— N= — 69. 44»37,o
7<r = — ao,T7,43 C08 — 9. 9999924
— 60. 4'54, 43 cos 9.69^8944
tang h 0.2111 567
y= 50.57.20,0 cot y 9*9090087
x= — 4-45- 3>* y — x= 55.42 23,2 double = m° 25', triple = 167» 7'.
tin H 8.2oo8j35
cosfc SKWOrç
si q jr. . . . — 9.^902296
sin(y — x). 9.gi7<»65o fin 2. .. 9.96893 fin 3... 9.3J824
csini"... 5.3 f 44^5i ctina". 5.oi34" c. sin 3". 4 83;3o
o' =. o°3o'25"i3 -+■ n^oi -f- 0,02
x'tz — 5.15.39,4.
Demi-diamètre lunaire (équ. I, p. i38).
cot(jr— *). 9.8337773 o,5 r. 69897
1/, 3. 26391 o5 carré 5.89897
tin 2 6.6855;49
WH»WWW»*W^W»*»%W»W»<«»»»ftM^W%*ftM»'^W«*»M»VlM
PROBL&MES D'ASTRONOMIE.
De la mesure du temps et de la conversion des diverses durées
les unes en les autres.
ioa.Une pendule qui avance de a chaque jour a indiqué une durée t entre deux observations; on demande le véritable temps écoulé ? Supposons que a soit exprimé en secondes ; représentons par A le nombre 86400" des 24 heures : si l'avance À est donnée en minutes, À sera i44° • On a cette proportion,
A* Si A -f- a équivaut à A , t équivaut à x = •- — ; — .
Gomme a est ordinairement d'un petit nombre de secondes, on peut développer (A-f- à)~l, et se borner à la 1™ puissance de a;
d'où
at
x = t --=*— o ,00001 1 at.
Ainsi , quand la pendule avance de a secondes en 2,/±\ on obtient l'équivalent d'une durée de t secondes indiquée par cette pendule , en retranchant de t le nombre de secondes = 0,00001 1 .at. Quand la pendule retarde, on prend a négatif, et la correction devient additive.
Par exemple, nne montre a i8",5 de retard diurne , la correction est 0, oooao35.fi pour t = 3h5?'48"»5 de temps écoulé, on trouve, par le calcul (noa 17 et 19), qu'il faut ajouter a",6.
!•* Procédé. a« Procédé.
o,ooo2o35 4*3o856
70 3h^48tf5
Correction = 2,0*43 3.5?.5i,4 = temps écouté,
ï 44 MESURE DU TEMS.
io3. Tout ceci est vrai, quelle que soit l'espèce de temps qui sert de règle, yrai, moyen ou sidéral. Si une pendule marque le temps moyen, et qu'on demande de réduire en temps sidéral une durée écoulée t , on regardera la pendule comme retardant sur les étoiles de a = 3' 56" ,555 par jour (n° 7 3) , et la méthode ci-dessus devient applicable.
Réciproquement, si la pendule est réglée sur le temps sidéral, on convertira / en temps moyen, en supposant qu'elle avance de a = 3' ôô^gog.
Mais il est préférable de se servir des tables I et II, comme on Ta fait p. 8g.
V. n° i65 ce qui sera exposé sur la manière de consulter les montres et autres inst rumens d'horlogerie * et d'en tirer des indications exactes.
1 04. Trouver Vase. dr. du Soleil moyen à un instant donné. L'équ. (5) du n° 32 revient à celle-ci ,
Asc, dr. © moyen = ose. dr. © vr. — équ. du temps.
Or, on a vu, n° 25, que la Conn. des Tems donne Pasc. dr. Q vrai, qui est le corn pi. à 24* ^e 'a distance ©T; et quant au dernier terme de l'équation , il est donné sous le titre de temps moyen à midi vrai, en se ressouvenant que lorsque le Soleil vrai avance sur le moyen (alors ce nombre est entre 1 1* et i2fc) , le résultat doit être augmenté de 12*.
Par exemple, le 14 novembre i83o, on a O Y = 8* 4^' io*,6 ; d'où
Asc. dr. O vrai. .. . = i5b\(? fo"$ — Temps moyen à midi = — t i . \ \ . 35, a -f- iab
Asc. dr. moyen O. . =3 i5.3a.i4,a*
Mais il faut observer que l'heure pour laquelle ces nombres sont calculés est le midi vrai ou apparent; et si l'on de* mande l'asc. dr. © moyen pour une autre heure du jour; ainsi que cela arrive ordinairement, il faut corriger le résultat de la marche du Soleil moyen pendant le temps écoulé depuis midi vrai jusqu'à l'heure proposée. Les asc. dr. des
MESURE DU TEMPS. ' ïfô
deux Soleils vont toujours en croissant , et la table II donne la marche moyenne pour les heures écoulées.
On est dans l'usage de calculer l'asc. dr. moyenne pour midi moyen de chaque jour , afin d'en déduire plus commodément celle qui a lieu à une autre heure (n° 106). Reprenons notre exemple. Comme le Soleil yrai avance de i5f2./f}8t le midi moyen arriye d'autant après le midi vrai , et l'asc* dr. moy. s'augmente , dans celte durée, de a",5 (v. table II), quantité qu'il faut ajouter ci - dessus. Le calcul prend donc cette fprme :
Asc. dr. O vrai. . . = i5M(T49"!4 — Éqo. du temps. . . = — 11. 44*35, 2 -4- 12 Modt. pour i5' a5"= -f- 2,5
Âa.Q moy. à midi moy. = i5. 3a. 16,7.
Il faut remarquer que quand le Soleil vrai avance, Vèquation du temps est négative. On aurait donc pu la supposer de — i5'24",8, et, pour la soustraire, il aurait fallu l'ajouter à l'asc. dr. y raie; d'où l'on voit que la correction pour le mouvement entre les midis vrai et moyen prend toujours le signe qu9a reçu l'équation du temps dans le calcul. Voici la forme qu'on donne ordinairement à l'opération :
A«c. dr. O Vrai... = i5hi6'49"4
— Equ. du temps... = -f- i5.a4,8
Corr. ponr i5'a5" -f- a, 5
Comme ci-devant i5. 3a. 16,7.
1 o5. Mais le plus souvent ce n'est pas pour midi vrai ou moyen qu'on demande l'asc. dr. du Soleil moyen ; alors la correction qu'on tire de la table II doit être étendue à toute la durée qui s'écoule depuis midi vrai jusqu'à l'heure proposée.
On demande l'asc. dr. du Soleil moyen le 14 nov. i83o, à 4A l& 37" temps moyen à Paris. Gomme midi moyen arrive^ cette époque, i5' *!ffi après midi vrai, et que l'heure proposée succède à celle-ci 4* l& ll" après, en ajoutant, on trouve que la correction doit être faite pour 4*33'4i",8 (on retrancherait si le Soleil vrai était en retard , parce que la
l4Ô MESIRE Dt TJ
correction dort être faite pour la dorée écovtée depuis midi
\rai , et représenter la marche du Soleil moyen dans cet
in terrai le ).
Asc. dr. Q vrai = 1 5» 1 6*49* 4
— Temps moyen à midi.. = — ii.44-35y* -h tiM Table II, corr. pour 4»» 33' $*'. = -h 45,o
*Asc. dr. O moyen.... = i5.3a.5g,a.
Au reste T lorsqu'on a calculé une table des asc dr, du Soleil moyen pour tous les midis moyens successifs , ainsi qu'on va le dire , la correction est bien facile à faire par la ta&le II, qui donne la ma relie du Soleil moyen , pendant le temps écoulé depuis midi moyen jusqu'à l'heure proposée.
Il est utile de composer une table donnant l'heure sidérale du passage au méridien de Paris du centre du Soleil moyen, ou des asc. dr. (*) du Soleil moyen, pour le midi moyen de chacun des jours de Vannée. Voici comment il convient. de s'y prendre.
Calculez, par la règle du n° io4 , les asc. dr. dn Soleil moyen de dix en dix jours; et pour obtenir celles des jours intermédiaires, ajoutez à la première la quantité 3' 56* ,56 neuf fois successives ; ce nombre est la marche constante du Soleil moyen en un jour ( n° 73 ). On pourrait même pousser ces additions au-delà de dix jours; mais la nutation I uni-solaire changeant quelque peu la position du point vernal T, ori-
(*) Les Epbémérides de M. Enke et de M. Schumacher donnent cette table. Le Bureau des Longitudes de France, en suivant cet exemple, épar* £iicrait aux as tro «ornes les calculs ci-dessus indiques. Il serait bon que les évaluations fussent poussées aux centièmes de seconde , pour la précision des opérations.
Ou trouve , il est vrai , à la cinquième page de la 6*0/1/1. des Tems, Tasc. dr. du Soleil moyen pour le !««• jour de cinq des mois de Tannée, ce qui peut suffire pour composer, par interpolation, la table que nous réclamons ici; mais les petits changeaient dus à la nutation ne permettent pas de supposer la marche dn Soleil moyen absolument constante entre des" limites aussi écartées, du moins si Ton demande la prccÎMou des centièmes de seconde. Il importerait donc d'épargner aux astronomes et aux navigateurs tes embarras de ces. opérations oamériqncs.
