i38a double

l 12.89403 tang h.. 0.08846

o",6o 1. 77619 77\oo... 1.88682.

/ c= 5o. o. o>oo.

a* méthode

tangJ. .. . 8.4550699 coi* 9*9999&9

coip 9-69s97°° »ia * 9-88g*4a4

tango- 8.i54o3g9 coi d — — 9.9998335

DiflP. = 49.59.59,5»/.

i53. Trouver à la fois l'heure et la latitude par deux hauteurs successives d'un même astre en deux lieux de son cours, ou par les hauteurs de deux astres, mesurées à des instans quelconques.

Soient s et s* ( iig. 33 ) les deux positions où Ton a pris les distances zénithales sz = z9 *'z = /, que nous supposons corrigées de la réfraction , etc. On connaît aussi les distances polaires sp = d, s'p = et y en ayant égard aux précession , nutation et aberration , corrections qui , pour le Soleil et la Lune sont toutes faites dans la Conn. des Tems : nous avons enseigné, n° 74» à 'es foire pour les étoiles. Il s'agit de résoudre les trois triangles sphériques sps', szs et zsp , pour tirer du dernier la valeur du côté zp9 qui est la colatitude c = go° — /, et celle de l'angle horaire zps-=p, de l'une des observations.

Voici comment on gouverne ces calculs.

D'abord l'angle sps' = t est connu. En effet,

i°. Si l'on a observé deux fois le même astre en deux lieux différcns de son cours, cet angle t est le temps sid. ou solaire vrai écoulé entre les deux observations, selon que l'astre est une étoile ou le Soleil; ce temps sera traduit en degrés. Si la montre marche comme le temps moy. , on réduira aisément la durée écoulée à exprimer un temps sid. dans le itr cas, et un temps vrai dans le 2e (p. i5o, etc.).

20. Quand on observe deux astres différens, l'angle t est la dûT. de leurs asc. dr. actuelles, si l'on mesure les deux hauteurs au même moment: plus généralement

/ = yft' — J&"±L temps écoulé.

On prend + braque l'astre observé le Ier est le plus oriental (celai dont l'asc dr. A' est la plus grande ; il faut — dans l'autre cas. On exprimera t en degTés. {V. n° 70.)

i54* Résolvons maintenant nos trois triangles successifs sps', szs' et zspy en recourant aux formules usitées dans la Trigonométrie sphérique.

i9. Daos spJ , on connaît les deux côtés s'p = <ï, sp~dy et l'angle compris s'p*=t; il faut en tirer les valeurs du côté ss' =^, et de l'angle s'sp = f On a ( page 8, et page 4» équ. 32)

sin 0 = cosj* V's'md.s'mct y (a)

in9^=sio^-^— + ♦ y m\~l *)>&)

. sinl.sinif

sin y s= : — =- — . (c)

sin ^ w

i°. Dans le triangle szs', les trois côtés sont connus , savoir : szzs:Zj s'z - ^ et ss'ssf qu'on vient de trouver; on en tire l'angle s'sz = x(v. l'équ. 3<),p. 6) par les formules

sin(A— z).sin(* --/)

sina ï x = - : r-^r '. (c)

À sin 2. sin ^ x

En sorte que maintenant on connaît l'angle jr = zsp9 savoir: zsp = s'sp — s*sz , ou

jr = A>±x. (J)

Nous mettons ici dz, parce que x étant donné par une ex trac» tîon de racine, sa valeur comporte ce double signe. Mais il faut observer que si l'arc ss prolongé va couper le méridien en un point m situé hors de l'étendue de l'arc zp qui joint le pôle au zénith , cas qui est le plus ordinaire, il faut prendre le signe — : on prendrait +, si, comme dans la fig. 34, l'arc ss* prolongé coupait le méridien en my entre le pôle et le zénith. Dans le premier cas , l'arc pz ^pm -9 on a dans l'autre, au contraire, pz ^>pm. {V. la fîg. 340

Il est rare que les deux solutions puissent être admises, et qu'on soit embarrassé sur le choix du «+■ on du — ; conmek latitude cherchée est toujours à peu près connue dPavanoi, on peut continuer le calcul dans les deux hypothèses , et wir quelle est celle qui s'accorde avec les circonstances connues.

3°. Enfin dans le triangle zsp, on connaît deux côtés et Ptngk compris, savoir : sz = z9 *p=s d9 et l'angle zsp =jr qu'on vient d'obtenir. On peut calculer le côté zp -=.€-= colatitode = 900-/, et l'angle horaire zps=p de l'observation de l'astre s (v. page 8, et p. 4» équ. 32),

sin v = cos \j V^8*n ^«sin z, • (g)

. /d+z, \ . /d + z \ sm*ïC= sin ( -f-f J.sinf — = p 1, (h)

sin z.sin r ...

sinz? = : z-. (1)

r sm c

i55. Voici la marche des calculs que ces formules exigent On considère les arcs ç, /*, ^, k, xy y et e, comme des auxiliaires y dont on obtient les valeurs successives par les sept premières équ. ; chacune de ces valeurs doit être introduite, avec le signe que le calcul détermine, dans les équ. suivantes, en sorte que chacun de ces arcs sert à trouver celui qui vient après. Une fois que y et 1? sont connus, les équ. (fc et i) font enfin connaître la colatitude c et l'angle p , distance de l'astre s au méridien, lequel traduit en temps, donne l'heure ou il a été observé. C'est l'heure vraie s'il s'agit du Soleil, l'heure sid. pour une étoile (v. n° 124) : on en déduit ensuite l'heure moy. et le retard ou l'avance de la montre sur le temps mojen.

Il est vrai que ces opérations sont compliquées, car elles exigent le secours de 22 log. différées , et il faut avoir une grande attention aux signes des facteurs. Aussi les marins ne recourent-ils à cette méthode que lorsqu'ils ne peuvent s'en dispenser, et souvent ils ne connaissent, ni l'heure, ni la latitude du lieu, avec la précision nécessaire à la sûreté de la navigation.

LATITUDES TRRHEST*ES. 2^5

i56. Les exemples suivans serviront de types de calculs dans tous les cas.. On a soin que l'une des hauteurs soit prise près do méridien, et l'autre près du premier vertical, parce qne alors les erreurs d'observation ne s'influencent pas réciproquement , l'une se portant en entier sur / et l'autre sur p ; et Fou sait (pages 174 et 197) que ce sont les circonstances d'observation ou les erreurs respectives sont moins fortes , lorsqu'on ne veut déterminer, que l'une ou l'autre de ces inconnues.

On désigne par d et z les données qui se rapportent à l'astre le plus éloigné du méridien j d' et z sont relatifs a celui qui en est proche. Mais on peut prendre des désignations réciproques, et c'est même un moyen de vérifier le calcul, en le recommençant dans cette supposition renversée ; c'est-à-dire qu'on change partout d et z en d et*1, et qu'on refait toutes les opérations, conservant à ces quatre arcs les désignations ci-dessus.

Comme on ne doit pas employer de sinus d'arcs voisins dego° quand on exige quelque précision , on peut résoudre nos triangles par les équ. suivantes , auxquelles on adjoindra dy e et f. C'est la solution de Delambre. {Astr. , I , p. 523.) * et { sont des ares auxiliaires que ces équ. déterminent

tang x — **ng d! cos t,

+ eesifcosfr/ — x) taM 1 __ «in X t»«g / 009 /sBB -col^ ' tang4-sîn-(^v);

tang { =s tang z.cosjr,

sin

cosjgcosfriflCl) sin j tang jr

/j-s .. . , — tang/? = ■ i, ° ~ .

oosl ° sin far — i)

157. Le 19 septembre i83o, on mesure des hauteurs d'Arcturus vers l'ouest et d'Ataïr près du méridien; voici, toutes corrections faites, les moyennes entre les observations et entre les heures de temps moyen.

Arctnrus.. a 8W 47*81111. * = 73*>ir/a6*5, d = 690 55 '36' '<

Ataïr à 8.aa. 3,o *'= fo. 53.56,3 <T= 81.34. o»o

Differ = 0.19.15, a c. moy. écoule. Somme =151.29. 36,4

Correct. . . -f- 3, 16 (table H). (ij i = 75.44.48,3

— 19.18,36 t. §id. ccoqlé.

Àk —14. 7*54,67 (Calcul de t.)

Jl' -f-t9.4a.a1, 58

£ ss 5. i5. i8,55 qn art. . t = 78» 49' 38*,3, \ 1 = 39/» *4' 49V.

sin d 9*9737834 (Calcul des équ. a *t b.)

êindf 9.995^785 coijt.. 9.8879449