XVII. MooTemens moyens des planètes

Errata.

Page 27, ligne 23, II* 262 , lisez n° 25q

56, 14, n* 120, lisez n* i85

57, 6 en remontant, n* $5, lisez n° 94 go, a, n* 3o8 , lisez n* 3i 1

ioa, à la formule (16) , r*, /wez t i3a, ligne i, n» 110, lisez n° 109 i58, 3, cable II, /wes table I

168, 3 et 4 » no* ai 5 et 223 , lisez nM 225 et a3o

177, *4> «n... 9.4*08019» #*« 9.4103648, ce qui altère un

peu le résultat du calcul.

205, 20, avance, /wez retarde

206, 8, retard, /iaeft avance 212, table XFV, lisez table X 388, i3, n°3o8, /we*3a3

3gg, 2, an Heu de sfns, on a employé cosa, ce qni rend les

calcula suivant défectueux 4 1 4 9 llt n° 3o8, lisez 323

RSLATnrB A QUELQUES PROPOSITIONS PBJ-LlMDf AISES.

Formules de Trigonométrie.

Le fréquent usage que nous ferons par la suite des formules trigonométriques- nous détermine à en présenter la récapitulation. Quant aux démonstrations de ces formules , nous renvoyons à cet égard ajix traités spéciaux , et particulièrement a notre Cours de Mathématiques pures , 1. 1 , p. 36 1, etc., 3* édition, où elles sont toutes exposées.

Le rayon étant un, on a les équations suirantes :

(A±: B) = sin AcosBzhsinB cos A, (À hB) = cosÀcosB zp sin ÀsinB, un 2Â ___ a sin A cos A, oos 2A = 2 cos* A— 1 = 1 — a sin* A , a 00**5 A = 1 ■+• cos A , a sin* £ A = 1 — cos A ,

^**«- allai-

sin (A__:BJ = sin A cos B zh sin B cos A, (1)

cos (A h B) = cos A cos B p sin A sin B, (a)

sin 2 A = 2, sin A cos A, (3)

cos 2A = 2 cos* A— 1 = 1 — a sin* A , (4)

tangA tang , . //i — cosA\ 1— cosA sin A ,

sin A ztl fin B :

cosÂ-f-cosB =

cosB — cosA =

sina A — sin*B=s

cos* A — sinaB =

tang A zfc tang B = cot A zh cot B =

2 sin i (A zfcB) cofri (A zp B) ,

2cos{(A +B) cos £ (A — B) ,

2sini(A + B)sini(A — B) ,

sin (A + B) X sin (A — B) ,

cos (A + B) X cos(A — B) ,

sin (A ±: B) cos A cos B J

sin (B zb A)

sin A sin B '

sin A + sin B tang £ (A + B)

sin A — sin B

dr sin A

riz sin A

zp sin A dz sin A

cos A + cos A

— cos A

— sin A

— cos A + sinB

+ cosA

^tangHA-B)' = 2 sin* (45° dz ± A) ,

= tang*(45°zb±A), = tang (45° zh \ A) ,

= cot* i A ,

sin* (45° — j A) sin* £ A '

sin* (45° + { B) cos* { A

Ces dernières éqn. serrent principalement à transformer les expressions, pour les rendre propres au calcul logarithmique, parce qu'elles remplacent des sommes et différences par des produits et qùotiens.

En désignant par w la demi-circonférence dont le rayon est un , ou le rapport de la circonférence au diamètre, on a

tt = 3, i4i5g 26536, log w=so, 497*4 987^7*

Soit M le module ou le log. tabulaire de la base e des log. népériens; ou enfin le facteur constant qui , multipliant ces log. ,

les change en ceux dont la base est 10, on a

M = 0,43429 44819, logM= 7,63778 43 n3,

log(i+z) = M(z — i^+5*3 — i **.... )t (23)

siQA=A-o+r3T5-etc-' (a4)

oosAsi — J- — 5—7 * +etc

Soit pris un arc de longueur a dans le cercle dont le rayon est R j si (a") est le nombre de secondes de cet arc , on a

R(4")=sfia, j* = — = —. — j, (a5)

» sin 1 '

log/a = 5,3i442 5i33, compl. ^=6,68557 4867 = log sin 1*;

en sorte que, rfa/w une formule algébrique ou le rayon est pris =zi9etoà entre un arc exprimé par sa longueur a, pour remplacer cet arc par son nombre de secondes, il suffit d'y substituer a sin 1' pour a, et a désigne alors le nombre de secondes de l'arc dont a était la longueur.

La résolution des triangles rectilignes est renfermée dans les formules suivantes; A, B, C sont les trois angles, a9 A, c% les longueurs des côtés qui leur sont respectivement opposés; le rayon des tables est = 1.

i°. Si le triangle est rectangle , A étant l'angle droit , et a l'hypoténuse ,

b 2= acosC,

c = 6tangC, \ (26)

f as acosC, \ ? ==: b tangC, >

2°. Si les angles sont quelconques , sin A sin B sin C

a*z=b* ■+■ c* — ibccoak, (28)

b — c , 2 «in J A ... . , .

sin

i(C+B)=m, i(C-B) = n, ) iniA^^p-^-^], 2/, = * + * + c. (3.)

Imaginons des rayons visuels dirigés vers trois astres; ces lignes détermineront trois plans , ou un trièdre, dans l'espace, qui coupera en trois arcs la surface d'une sphère de rayon arbitraire, qui aurait son centre à l'œil du spectateur.' Les trois points de rencontre de nos arêtes avec la surface , ou les trois faces du trièdre , déterminent donc un triangle sphérique ABC (jfig. i)', par leurs intersections avec la surface. Or, la plupart des problèmes que nous aurons à résoudre par la suite consistent à trouver certaines parties de ce triangle , lorsqu'on en connaît trois. En effet , trois de ces parties suffisent , comme on sait , pour lier ensemble les trois points de l'espace ou les trois faces du trièdre. Ces problèmes trouvent leurs solutions dans les règles de la Trigonométrie. Voici les formules principales qu'on déduit de cette branche de l'analyse. {V. mon Cours de Math, pures, tome II , page 200.)

Désignons par A, B, C les trois angles d'un triangle sphérique (fig. 1), par a9 b , c les côtés qui leur sont opposés respectivement ; on a

sin A sinB sinC

sin a sin b sin c

ou les sinus des angles , proportionnels aux sinus des côtés opposés. C'est ce qu'on appelle Y équation des quatre sinus. Le rayon étant un , on a cette équ. fondamentale ,

cos c = cos a cos £ + sin a sin £ cos C, (33) = cos (a — * b) — 2 sin a sin b sin* £ C. (34) On a encore les form ules

cos C = sin A sin B cos c — cos A cos B } (35)

sin a cos c = sin c cos a cos B + sin b cos C , (36)

sin a cot c = cos a cos B -{- sin B cot C , (37)

sin a cos B = sin c cos b — sin b cos c cos A. (38)

Il est inutile de dire que chacune de ces équ. eu représente trois , qu'on trouve par un simple changement de lettres; par ex.,

cos a = cos b cos c -f- sin b sin c /cos A ,

et de même pour les autres.

Les équations suivantes servent à résoudre tous les triangles sphériques rectangles ; A désigne l'angle droit, a l'hypoténuse (fig. i).

(m) cos a =' cos b cos of (q) tange = tanga cos B,

(n) sin b = sin a sin B, (r) cos B = cos b sin C,

(/>) cos a = cot B cot C, (s) cot B = cot b sin c

On connaît dans le triangle ABC ( fig. i ) , outre l'angle <v droit A, deux des cinq autres élémens , et il faut choi- * *sir celle de ces équ. qui renferme ces données avec l'in- . connue. Voici l'analyse des divers cas qui peuvent se présenter.

Le* trois élémens (a données et une inconnue) sont :

Îdeux angles B , C j prenez l'équation . . . k (p) in 1 Ie rou: b oppose (n) un angle B et 1 . A . !• \ , {

° i le cote c adjacent {q) les trois cotes a , b , c (m)

Un côté b de l'angle droit et les angles B et C (r)

Deux côtés b , c de l'angle droit et un angle B opposé (s)

On distribuera donc les lettres A, B, G aux sommets du triangle proposé , de manière qu'elles s'accordent avec les conditions énoncées dans ce tableau. Ces équ. suffisent pour résoudre tous les triangles sphériques rectangles; mais elles manqueraient de précision si l'inconnue était fort petite et v donnée par un cos. ou par une cot.; ou bien si cette inconnue était voisine de go°, et donnée ' par un sinus ou une tangente : on recourt alors aux équ. suivantes :

. al cosJB+Ç)

teD6-*a = -cos(B-C)'

O IKTRODUCTIOÏI.

tang8 £ c= tang ± (a + 6) . tang i (a — b) , tang (45» — J *) = i/tang (45° — x) , tang x = «in a tin B,

tang» i * = tang (5=Ç + 45») tang (£±£ tp\

Résolution des triangles sphériques obliquangles.

I. Étant donnés les trois côtés ay b9 c, trouver l'un des angles? On emploie l'une des deux équ. suivantes,

,in-iA = Sin(P~yn(/>"^, (39)

sm b sm c ^'

A=8b^3inj£-a)

sm 0 sin c on a

IL Étant donnés deux côtés a, b et l'angle compris C, i°. trouver le 3e côté c ? L'équation (33) se met sous la forme

cos c = cos a cos b (i + tang a tang 6 cos C)% (4*)

2°. Trouver les deux angles A et 6? On se sert des analogies deNéper,

tang£(A — B) = cot£C.8-Jn j;,(* , %

5 * v ' * sin { (a + £)