III. Étant donnés les trois angles , trouver un côté

. — cos K cos (K — A) .,,.

sm* J a = . p . r , (43)

sin B sin G

„ al cos(K — B)cos(R— C) ff

ou cosaiû= — ^ r-^-T-7; ^ (44)

sm B sin C

IV. Étant donnés deux angles A , B et le côté adjacent c , i°. trouver k 3e angle C?

ces G = cos A cos B (tang A tang B cos c — 1) . (45)

20. Trouver les deux autres côtés? On se sert des analogies de Néper,

cos£(A — B)

tang i (« + *) = tang Je.

cos i (A + B) •

sîn 1 (A — B) sin i (A + B)*

V. De deux côtés et les angles opposés , étant donnés trois élémens, trouver le 4e? Prenez l'équ. (32) des quatre sinus.

VI. Excepté lorsqu'on donne trois côtes, ou bien trois angles, il entre toujours parmi les données un angle A et le côté adjacent b, outre une 3e partie. Ces problèmes se résolvent tous par les équ. suivantes et l'équ. (32) ,

tang <p = tang b cos A ,

cos a cos <p'

cos b cosp '

tang A sin^'

tangB sin tf

cot 8 = tang A cos by

C=r9+Ô', cos A sin ô cos b sinft"

tang a cos ô

tang b cos&'"

On abaisse de l'angle C (fig. 1) une perpendiculaire CD sur le côté opposé c, ce qui décompose le triangle proposé en deux triangles rectangles , qu'on résout séparément. Dans l'un, ACD, on connaît A et b ; rien n'est plus facile que de trouver les autres parties, qui, jointes à la 3e donnée, servent à résoudre le second triangle rectangle BCD, et déterminent l'inconnue demandée. On appelle $ et ç> les deux arcs segmens de la base, ô et 6' les deux parties de Fangle C , et 4 l'arc perpendiculaire CD.

Il faut noter que si la perpendiculaire CD tombait hors du triangle, ç et ç' , B et 6' seraient de signes contraires; c'est ce qui arrive quand les angles A et B à la base sont d'espèces dif-

8 IBTTRODLCTiON.

férentes ( l'un <, l'autre > 90°). Lorsque lou ignore si celle circonstance a lieu , le problème est susceptible de deux solutions.

Observez d'abaisser Parc perpendiculaire de celui des deux sommets B ou C, qui ne divise pas en deux parties le 3" élément donné avec A et b.

Voici le détail des cas ; les données sont A , b et un autre arc.

i°. Étant donnés deux côtés et l'angle compris, b, c, A, l'équ. (1) fait connaître 9, (3) <p'f qui peut être négatif (ce que Je calcul apprend), (5) a, (7) B, et l'équ. (32, p. 4) C, dont l'espèce est d'ailleurs connue.

On peut encore trouver le côté a par les équ.

sin £jt=cos ïAv/sinô sine,

sin* 5 a = sin { (b + c + jr) sin £ {b + c — jr).

20. Etant donnés deux angles et le côté adjacent A, C, b, Péqu* (2) fait connaître 8, (4) &, qui peut être négatif (ce que le calcul apprend) , (6) B , (8) a, enfin , l'équ. (32, p. 4) des 4 sinus donne c, qui est d'espèce connue.

3°. Etant donnés deux côtés et un angle opposé, b, a, A, l'équ. (1) donne <p, (5) <p', (3) c, (7) et (32) B et C ;

ou bien , (2) donne 8 , (8) 8', (4) C , (6) et (32) B et c.

Ce problème reçoit en général deux solutions. En effet, l'arc ç' ou 8' étant donné par son cos., admet le double signe rh ; jl y a donc deux valeurs pour c", et aussi pour C, à moins qu'on ne soit conduit à en rejeter une qui serait négative. <p' et 6' entrent dans (6) et (7) par leurs sinus, d'où résultent deux va- Jours de B ; de même pour G et c.

4°. Etant donnés deux angles et un côté opposé, A, B, bf l'équ. (1) donne ç, (7) ç'} (3) c, (5) a, et l'équ. (32) des 4 sinus fait connaître G ;

ou bien (2) donne 8 , (6) 6', (4) C , (8) et (32) a et c.

11 y a encore ici deux solutions; car ç' ou 8/ est donne par un

COXSTELIJmONS. Q

sin., deux arcs supplémentaires satisfont à la question. Ainsi , c dans (3) , ou a dans (8) , reçoit deux valeurs; de même pour a dans (5) et c dans (4), etc.

On pourra recourir au Cours de Mathématiques pures, n° 607, pour l'analyse de ces cas, appelés douteux, parce qu'ils ont deux solutions; ils ne se rencontrent qu'autant que, parmi les données, il entre un angle et le côté qui lui est opposé, c'est-à-dire B avec b , ou A avec a. Quant à la valeur de Tare perpendiculaire ^ , il est donné par l'équ.

sin 4 — sb A sin b. (9)

Observez que toutes ces équ. sont propres au calcul des log., et que, dans chacun de ces cas , on n'a besoin d'employer que des équ. des n°% soit pairs , soit impairs ; on préfère celui de ces deux systèmes d'équ. qui conduit à des calculs plus simples, selon les circonstances.

Lorsque le triangle est isocèle, B = C, b = c9 il faut abaisser l'arc perpendiculaire du sommet A , et les équ. deviennent très simples; on trouve

sin 5 az=z sin £ A sin#, (10)

tang 5<i = tang âcosB, (11)

cos b = cot B cot 5 A, (12)

cot îA = cos£asinB» (i3)

La connaissance de deux des quatre élémens A , B, a, bf qui forment le triangle isocèle, suffit pour faire trouver les deux autres*

Quelques particularités sur les étoiles.

Les étoiles qui brillent au firmament ont été appelées fixes, parce qu'elles sont en effet immobiles dans l'espace ; elles conservent donc leurs distances mutuelles. Les arcs qui les joignent forment différentes figures géométriques que l'œil saisit aisément, et qui demeurent constamment les mêmes. Lorsqu'on jette les yeux au ciel , on reconnaît bientôt que les étoiles paraissent toutes changer de lieu d'un mouvement corn-

m un ; mais ce ne sont pas ces astres qui se déplacent , c'est la Terre qui , tournant sur son axe d'occident en orient , cause cette illusion, par laquelle le ciel entier nous parait tourner autour de nous de l'est à l'ouest. Nous voyons les étoiles se lever, monter, descendre et se coucher, comme le Soleil , la Lune et les planètes, parce que la rotation diurne de la Terre nous porte à attribuer à ces astres notre propre mouvement, en sens contraire.

L'illusion de la rotation du ciel étoile nous offre les mêmes apparences que si l'on supposait toutes les étoiles attachées, chacune en un lieu fixe, sur une sphère d'un rayon immense, au centre de laquelle nous serions immobiles, tandis que la sphère tournerait en 24 heures autour de nous. Ce mouvement est parfaitement uniforme , et sa durée pour un tour entier est ce qu'on appelle le jour sidéral. {V. ci-après n° 7.) Le Soleil, la Lune et les planètes sont aussi entraînés par ce mouvement universel; mais ces corps ne restent pas fixes, comme les étoiles, sur cette sphère mobile : ils y ont un mouvement propre , dirigé d'occident en orient. Le Soleil décrit sa circonférence entière en un an, la Lune en 27^ 3 , etc.

Puisque les étoiles conservent les configurations géométriques qu'elles forment entre elles , il est bien facile de les reconnaître à ces figures , à leurs alignemens et à leur éclat ; car ces choses restent invariables, à quelque heure qu'on jette la vue sur le firmament , et quelle que soit la position générale de cette sphère étoilée. L'astronome doit être capable d'assigner à chacune des étoiles son nom , lorsqu'il la voit, et même d'en indiquer la place actuelle durant le jour et derrière les nuages.

Cet éclat des étoiles les a fait distinguer les unes des autres par leurs grandeurs : ce n'est pas qu'en effet il y en ait de plus grosses et de plus petites. Vues dans les lunettes à forts grossissemens , ce ne sont que des points étincelans, sans dimensions apparentes ; mais la vivacité de leur lumière s'exprime en di&ant qu'elles sont primaires, secondaires j tertiaires, etc., ou de ire, 2% 3e.... grandeur. Jusqu'à la 6e