MOINDRES CARRÉS

il ne restera phis qu’à éliminer pàr les .procédés ordinaires, et on aura pour x ,jr, z, des valéqrs telles , que les erreurs qui proviendront des petits défauts d’ob.servation seront atténuées à un tel degré qu’on puisse se servir de l’équ. comme si les' coefficiens étaient exacts. ■ . ' . •

Comme ce procédé ne s’applique qu’autant qu’on a un grand nombre d’observations, l’appareil de calcul est fort étendu. Nous en donnerons plus tard un exemple. Consultez le mémoire de M. Legendre sur la détermination des orbites des comètes.

La méthode des moindres carrés s’applique à une multitude d’expériences de Physique, de Chimie, d’ Astronomie... Elle offre un moyen sûr de déterminer, avec les moindres erreurs possibles, les constantes des équations qui représentent la loi des 'phénomènes C’est un des plus ingénieiix procédés' dont la* science ait pu s’enrichir pour perfectionner les * théories et étendre les recherches.

294. Pour bien concevoir la méthode que nous venons d’ex poser, ne supposons qu’une seüle inconnue dans l'équ.; on' a ^x = J; X est. une constante qu’il, s’agit de trouver d’après une obserxalipn ; p et sont des variàblès susceptibles de prendre upc multitude de valeurs correspondantes. Si l’on connaissait bien ^ exactement, par expérience, deux dq ces valeurs a et m correspondantes de (^et,l,on aurait or = m, et a:.— — gérait'

connu. On substituerait la valeur de ce coefficient constant dans l’équ. proposée (px = 6 , ei l’on.aurait l’équ. mÿ =saü , dont on ferait tel usage qu’on voudrait. ' ' . /

Mais lor^u’on tire a et m de l’observation d’un phénomène , én -ne peut regarder, ces q^antitéSi comme- cçnnoes qUe par approximation , et la petite erreur qu’on n comi^se doit influer sur le nombre x q'u’on en déduit. Pour affaiblir cette brreur, on réitère les expériences ^ parçe que les erreur» doivent se compenser dans la sérTe des épreuves, à inoin» qu’il .n’existe mue cause d’erreur commune à toutes , et qui sc reproduise oK>stàm-> ■ ment , ce qu on est suppose avqu évité * , ,

Ainsi (Îjc.— m dans cliaque expérience ne sera pas rigoureifc-

' ■ M<kwDRES ;cARIkBS: , ; 4*7

sentent nul, et' il y aura'de petites erreurs e i e\ e*, . . en sortequ’on ikura

e'=s>ax — m , ' • / (A)

e = ax — m , ; .

e* — a“ X m", eiç. \ ■ ‘,.

•. Ces erreurs i,e , e*.'. . ne sont p^<de grandeurs connues , et mëmfe le soin qu’on 'à mis aux expériences semble faire penser qu’elles sont nulles,'ce qu’on sait cependant ne pas avoir lieu en-touterigueur.'

# *,, * '* *.***• »■* ^ Multiplions chacune' de ce» équ. par le coefficient de r , et ^

ajoutons^ il viendra ' ■ ■ ‘ ^ •

. S(ae) = ,r S(n*) — S(am),

• , ; • . . ' ' ■ ■ • ' ■ '■ en • désignant par le'signa S une ^omme de termes ayant tous .

" même forme, S ( a’ ) = a’ + a'’ -f- a''* + • •• • On eb tire

Et d’abord supposons qu’on ait S(.ac) — o; cette valeur de x se réduira à œtte’quantité constaV|te connue •

. * ' • -__S(am)

les éq’u. (A) deviennent' donc ' .

Les. erreurs de chaque observation , ne sont plus inconnues, et la valeur de jchacune est. indépendante de celle de» aUtnes., .lorsqu’on a S (ae ) = o : représentons ces nombres pat- 1 , § , é', . , ^

savoir

S('am) ' ■ , ■ , S(am) , ,

.. ; •.=‘s<7jr"’' : =‘'W

et faisons-

-S(aO- ■ . • •

Diy.:.?e'? by Cooglc

4à8 * MOIWbBES CAHRÊS. '

Telles sont les valeurs particvKèreé iile c-,.'e', eK . . x , d^ns le cas supposé de S (tte) = ô , savoir, ' .•

^ .çS = ûS — OT, i' = ai— m, <' = a*{ — m,etc.

Mais si cette condition n’a ^s lieu , ont retombe sur lès équ< (A) et (9), qui', en j introduisant les radars (C) , devientient

S(ae).

’ ■ ■ . scat) . : : .

• , ; ^ + •- . • ’ “ etc.

Qr , .il est aisé de voir que lés erreurs dépendent de l’une

* d’entre elles, qui, lorsqu’elle' eit donnée, déterminé toutes les

■ ‘ * . . * S (oe) e — I , , . ’

autres ; car on tiré ;g‘, ^ ~ , et substituant

€‘'s=:«"+ ^ (ê — ï). etc.

Ainsi la connaissance d’une seule e de ces erreurs entraînerait celle de» autres, et elles ne seraient plus indépendantes, -casame cela arrivait dans le cas où l’on faisait $(ùe) s o. Qp voit donc que cette condition est la seule quLcon^vienne, lorsque les erreurs sont indépendantes les unes des autres,. ' ,

' Maislorsqu'on considère l’équ. (6),qui estentrelesranstantes S (o/n), S (o‘), et lés variables x .et S (ae), sans avcir égard'à son'. * orjgine , elle existe entre' deux variables dont Tune, est donnée par , l’autre, qui petit recevoir toutq^ valeur arbitraire! Si l’On attribue à S (oe) toutes tes grandeurs possibles , x prendra des valeurs correspondantes r et .parmi ces q^ntitéSj il- ne faut çûn;( server que celle qui vient de S {ae) ^ o , parce ‘que c’^t la seule ' qui laisse x indépendante des. erreurs d’observation. Et puisque . dette condi^on est celle des qioindres caâ^ , ré qtri vient d'ètre dit, démontré la méthode dont il s’agit. ' ' '

,^irisi dans tout système d’observations destinées à faire cud-

DiyiiiicCÎ by CjOOglc

ItfOlNQRES ÇARBËS: ^ 4a9

naître', X, si, les erreurs sont isolées' et fortuites, tantôt par excès ) tantôt' par défaut , SsCns qu’aucune partie constante lés affecte j. tans' dépendauce'.nîùtuelle, il faudra nécessairement*, qu’o'n ait S (ae) =î o , c’est-à-dire que x sera donné par la méthode des moindres carrés, parce qu’elle est la seule qui puf^"' remplir les cooditipns imposées. ' . ' ' „