Supposons qu’on ait a =i'i, savoir
e = x — m,'e' = x — m',^eT=x — etq.',« .
^ règle ci- dessus se nédûit à S(«) = ô, ou 1' •+• s* + •". • • =*o; . ainsi les' somibes des'errenrs .par excès' et par-défaut' sont égales. Or a'alors ' \
>» étaut le nombre des observations^. On voit que le cas des moyennes arithmétiques çst compris dans celui que nous avons analysé. Si l’on veut que les erreurs soient' indépendantes lés unes des autre^, il faut qüe leur somme soit nulle, S(();^ o;
car sans cela, on aurait . ' .
'«' = »' rHjCf — »)> «"=‘"4-(e — ,0, «*—•*+(«— Or o
Les erreurs compirendraienV toutes une partie constante, qui lès augritenterait d’u^e-même quantité. . ' * . . ‘
Ce que nous avons dit d’une seule inconnue' x, peut sê dire de même de plusieurs, et il est aisé de généraliserais démons- 'tratiop précédente, qui ^st due à' M. Ivory.
Nous ne pouvoQS appliquer nos méthodes à quelque exemple • astronomique)* le grand nombre des équ. de condition , celui des inconnues qui Sj trouvent engagées, rendent 'les calculs si volumineux, qu’ils qe sauraient irouveé place' ibi. Mais .nous pouvons pre^ndre pour èxeniple la longueur du pendule à secondes. ll'est démontré , par la théorie, que cette longueur f a pour ^leur générale dans le lieü dont la latitude ést A,
^ ■ ■ /=x-t- J'sin*A, * ' ■ ' .
x'et pétant- deux constàfttes'lnconnuas qu’il Iqut trouver par
4^0 TWÔrwDRES tJAHRÉS.-.
observation. Sup^sobs qu’on ait mesurée exacteneut tes .ion-
-gufeups /"du pendule ei>des 1ieux)doni ia- latHudé est A • deàx 'expériences suffiront, puisq^’en substituant ,ici les 'nombres correspondans qu’on aura obtenus ,on aura deux éqjgi. en x ‘ qm feront connaître ces quantités. ■ '
Atais comme Tes. observations les plus attentives- sont sujeCtes . .. « de petites erreurs,/ o« multiplie les épreuves', , et au lieu de dpnx'équ'. ,Von çn a une multitude. Pour âbre'ger, noul 'n’en prendrons que six. , * ! . . / ^
< Ainsi sous 6 latitudes -conbues, on'à mesuré la' longueur* dû pendule à secondes: pour chaque station, l èt A. sont connus, sauf les petites erreurs des observations. En les substituant dans l’éq u r O = X -f- J'', sin*A — le 2* membre ne sera paS rîgoureu- ^seinént nul, comme il devrait l’étre ; ainsi il sera =e,ou c',ou e"... On trouvera donc 6 équ. decqndition. En prenant lës nombres . .consignés dans .le IVfémoire de Aj,. Mathieu , Çohn. des Tenu de I i8;2,ceséqu. S(^Dt , ' . « . . ^ •
e'= jr + y.o ,497aiaa — O ,9934.f>ao,
' ^ ' •«»= a- -4- jf.oi5i96n7 -e-'o ,g9S.*^7',
eT>= J + jr,/,,6o466»8 —•'«,994093a.. '
• Pctiir employer la méthode des moindres carrés, il ‘faut multiplier ces $rx. cqu. par le cQeflicicnt de x dans chacune , ajouter et -égaler à aéro; ce coefficient est un, ainsi' il faüt simplement
, faii;e leur somme'j d’oîi '1 " ' t 11
• C.r -t- .y. 3“,o657375 — 5“,()6i47ÿi = 0. ‘ <
D.e rncme'multiplions dbaqué équ. par le coefficient-de y, ajoutons, etc., nou$'nyohs ' • >1 . # -•
• L’élimination de x et de^jy entre ces équ.' oMpinit à •<«’ <.
X = o“, 9908755 , j^ = ii,op5a94a, togj' = 3.*7a385o9.
Ainsi on a en .général pour la. longueur du pendule à, secondes
OBLIQUITÉ PE L’ÉCÉIPTIQUK. 4^1
clans ifi lieu dont la latjtiide est A,
‘■Z==6",99o'8^55.-{->-sin‘A, -
formule qui'fait <x>nnaître cette longueur l clans un pajsqneir <M)nque, sans qu’il soit désormais nécessaire de consulter l’ex^ péritence.
Mous n’a vops pas appliqué ici la méthode Mayer, non-seule- ‘ DVeiat parce qu’elle est très facile'lt employer, mais encore parce que l’exemple he s’en accommoderait pas bien, attqhdu que x.etj- ont mêmes signes dans les équ. de condition , et <{ue les cc^lTiciens de ohacpie inconnue y sont les mêmes ou peu différens. , . '
Déterminallon de V obliquité de l’écliptique et des passages' du Soleil aux solstices et aux équinoxes.
p.46. Nous arons indiqué, , comment le calcul fait
connaître l’obliquité a» de l’écliptique ; maïs les élémens de éêtte opération sont tirés de l’observation. Voyons quels sont les procédés qui conduisent à celte détermination.
Soit AB l’équateur CHg. 43), AS l’écliptique, A le point vernal Y" , l’angle A = «(= l’obliquité apparente qu’on veut trouver par observation. S est le Soleil à un instant quelconque',
AB son asc* 'cîr. — .et SB sa déclin. :ssD. Si câes-detix arcs étaient Connus, lè triangle spbérique reclangle ASB doitneràil (équ, s , p... 5) ^ ' •
tang D = sinÆ tanga», ‘ (i)
d’où l’pn poirrrait tiyer la valeur de ». ' . ‘
Or , en obsèrvant, d’un lieu quelconque , l’h/eure du passage du'^oleil au méridieu èt sa liauteur, 011 sait exprimer celle? heure en temps sidéi-al (n“ log), qui est l’a'sc. dr. !/&. en temps (n® 8). Les cqu. (i) c|ù n° i44 font connaître la déclin, apparente D, d’après la hauteur h, ou la dist. zénith, z, au' méridien : ' . '
— z^l — ;(go* — h).
Ainsi le problème est molu. ‘
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/f^l OBLIQUITÉ DE l’ÉCLIPTJQUK. , . '
■ ag'j. Mais ou voit que ce procédé est affecté do l’errqur sur le temps absolu indiqué par la. pendule. Pour éviter cette erreur, on observe l’instant où'une .étoile’E passe,au m^idien , le même jour ob l’on a oliservé le passage du Soleil S. La durée sidérale a qui ^s’écoule entre ces deux passages est l’arc CB d’équateur, arc qu’on peut regarder comme exactement connu, attendu que la pendule ne doit pas sensiblement varier dans l’intervalle ; on peut d’ailleurs tenir compte par le calcul dé ses petites variations (n® 102). Ajoutant donc l’asc, dr. apparente de l’étoile , ou l’arc 'AC à l’arc CB d’équateur eju’onf vient de trouver, on obtient l’arc AB = ÿfi,. 11 faût au contraire retrancher a de l’asc, dr. de l’étoile, quand, elle, passe au méridien après le Soleil : ain.si A © = A ♦ ± o, -f- quand l’étoile passe la i'*, — dans l’autre cas. '
Quant à la hauteur méridienne du Soleil, on pourra faire des observations réitérées, tant, avant ‘qu’a'près le passa^Jb, et opérer comme il a été expliqué n“ i45.
Par<x. , le 9 fuin 1818, on -a obtenu, au mural de l'Observatoire royal t^e ' . Paris , la dist. ze'rtith. du centre dn Soleil, correction faite de la collimation
et de réfr. — parall. ; on l’a trçuve'e de z '= a5*55' o"77
La latitude de la salle est. / = 48*5o. i3, 10
Déclin, dn Soleil à midi vrai . [Ts 01 .$5 . i a, 33
La pendule ntarqnait lors dn passage SI>7'i7‘'o5^
.'Rc'gnlus a pass^ au méridien ^ 9.58. i6,3a
Intervalle -4.5o.5g,a7 '1
Retard diurne — a",3i J en 4** 5i'. -f- 0,47
Temps sidéral écoulé entre les passages. .... u = — 4-5o.59,74 Asc. dr. app. d^Régulus , ',9.58.43,3»
Ascadr. dn Sbleil an mc’tidicn. . 5. 7.43,57.
La Conn. dfs Temt donne une diff. de — i",3a en déclin., 'et de ^ 3*,i7 en asc. dr. ; ces erreurs viennent de l’observation , etc. Eqsuitc, on a
t^ngD. ..... 9.6^61715 . • = a3°a7' 53*50
sin afi..... — 9.9‘'86o38 ' — Nut. luni sol. — 6,93,*
janga 9.6376677 Obliq; raoy, . . .= à3. 07 40,^3.
Ce qni s’accorde asscr bien avec ce qu’on a d'i p* 95. *
OBLIQUITÉ DE l’ÉCLIPIIQUE. ^33
298. Comme oii peut douter que l’asc, droite apparente de l’étoile soit exactement celle qu’on tite des catalogues, corriges de la prééession et de l’aberration , pour apporter dans cette détermination toute la rigueur dont les observations sont susceptibles , voici comment il f^udra's’y prendre.
Soit AB l’équateur (fig. 44)» l’écliptique, A le point •, vernal T, origine des asc. dr. et des longitudes; l’angle A est ' l’obliquité apparente qu’on veut déterminer; S est le Soleil en un lieu quelconque de l’écliptique, AB son asc. dr. AB. ,
SB 'sa déclin. D apparente. On observe le même jour le Soleil S et une étoile E, lors de leurs passages au méridien, et l’on en conclut, commetil vient d’étre expliqué* la déclin. D, et j’arc CB = a= dilTér. entre les asc. dr. On i;épétera les mêmes observations un autre jour, pour une étoile, E', qui pourra être la même que la première fois, et pour le Soleil S', arrivé en un autre lieu de son cours. On en conclura 'de même . la déclin. D'=S'B',et la dilTér. des asc. dr. C'B'r=a'. Lorsque l’étoile aura été observée après le Soleil , on prendra en — , cette dilTér. a ou a'. ‘ •
Les ‘données tirées de l’observation sont considérées comme „ exactes, savoir a et a', D et D' ; et l’on a cette seconde équation
taug D' = sin ./il^tang ' . (2)
Ordinairement le^ observations se font au mural eu au cercle métidieii, qui donnent à la fois la hauteur de l’astre et l’heure ' de son passage ( v. 11° )-; mais deux personnes peuvent
prendre part à l’opératidn ; l’une trouve cette dernière quantité à l’aide, de la lunette méridienne ; l’autre obtient la première; par le secours du cercle répétiteur. {V. p. 199.)
De ces équ. on tiré, en éliminant ^
sln tang D'
sih Æ tang D ’ -
, sln Æ! -1- sin Æ tang D' -f- tang D
■ ■ siu jit' — sin Æ. tang D' — tang D*
Or, d’une part, le premiçr membre. (équ. 16, p. 2)
= tang i cot ^);
434 OBMQLITÉ DE l’ÉCUPTIQüE.
d’une autre part, te 2' est
sin D' cos D + sia D cos IV sin (D' ~KD)
sin D' cos Ç T- sin P cos D' sin (D' — D)*
D’ailleurs Æ' — A = arc BB' = C'B' + CC‘ — CB ;
et faisant l’arc BB'='^, et CC =/*= différ. des asc. dr. des ‘deux étoilés, on a ..
k S~ ^ ci ^ a. • , , (3)
Cette équ. fera connaître l’arc, A : on prendra a ou a', en signe contraire, si l’étoile passe au méridien après le Soléil \ 'J' = 0 quand le Soleil a été comparé deux fois à la même étoile, et / prend le signe — lorsque l’asc, dr. de la 2* est moindre que celle dfe la première. ’
D’après cola j reprenons l’équ. ci-dessus, et posons......
iil'. -}- A = ; cet arc sera donné par l’équ.
tangir
tang J A. sin (D' -|- D) . sin (D' — D)
Ainsi les arcsAet J" seront déterminés par le calcul des équ. (3) et(4), ^ suite on connaîtra les asc. dr. Æ.'ety4R. par les formules
d’où À' = i(jr + ^), , (5)
Enfin , les équ. (i) et (2) donneront ti ÿ savoir :
tang «
sin,A^
tang D' sin JR.'
• Lorsque l’intervalle des deux observations comparées sera d’un petit nombre de joufS, comme il doit arriver d’après ce qu’on va dire, les arcs A- et D' -^D seront très petits et devront remplacer les tang. et sin. : ici A et ^ sont .exprimés en arcs et . non pàs en temps. '
299. En général, les deux valeurs de • obtenues par cqs calculs ne SC trouveront pas rigoureusement égales : cela tient
OBLIQUITÉ DE l’ÉCLIPtIQUE. ^35
au^ erreurs inévitables de l’obseryation \ mais pn ' prendra la inojénne 4^ résultats, et cette moyenne s^era'considérée comme exacte, surtout si l’on répète, ce procédé un grand nombre de fois.
11 est d’autres causes d’erreurs, très faibles, il est vrdi, mais dont on doit tenir compte. D’une part, le Soleil n’est pas exac- V tement sur l’éeliptique , puisque les perturbations- lui font’ prendre une latitude qui peut aller jusqu’à i" : les tables astru- Boniiques, fondées sur la théorie de l’attraction, donnent cette latitude chaque jour. '
D’une autre part , la nutation et la précession en déplaçant le point équinoxial, et les actions planétaires, en changeantl’o-r bliquité, ne permettent pas, en toute rigueur, de regarder j’éçliptiquc comme conservant la même situation après quelque temps. , • " . • . ■ ^
