f cosP . Jf
développant la puissance — i du dénominateur,
^ tanga- = ^sînP(i 4-f cosP + p*cos“P.
remplaçant enfin taiig T par ^ sin 1*, pour exprimer v^en -secondes, on a •
<p sin P y*sin2P , ^jn 3P ^ sim* ' O cîn .* 2
2 sin I
3 siii t‘
Cette sérié est très, convergente , ^rcc que p est fort «étit; il est rare que l’on en consérve le 3* terme. PareiHemen^ur
PARA.LLAXE.
la parallaxe t de déclin., nous rendrons l’équ. (9) propre au calcul logarithmique, par rartifice suivant. On tiré de cette
equ.
cos
D’ailleurs on a
sin / sin H . . r. P
sln D,* sin D' tang D - ‘ans P = ^
sin D cos D' — sin D cos D siu *•
■ côs U cos D' cos D cos D''
Ajoutant membre à membre avit la précédente , on trouve
sin sin P tang D'
cos D cos D' sin (P-f- x) ’
- sin P , sin tang j^i ^ sin(P-j"*')J cos D cos D'*
sin l sin H ** sré »
— tang D =
cos D sin l sin 11 co s D
mais on a
sin P
sin (P + *•) — srn P sin (P + V) ~~ sin (F^r^)
2 sin i ST cos (P + î ») / .
=È 7p-^ T - (eqa. 9, p, a) ;
sin(P-l-*-) .. .
à 'cause de 2 sin 5 ir cosi *-=sin *•, cette fraction
sia^cos(P4-jf*)__gigH^^ sin (P + *■) cos 5ÎT cos D cos j»*
en vertu de l’équ. (’j). On a donc, en substUuant ci-dessus.
sin/sinH , sin H cos/ . sin»-
cqsD ’cosDcosii ' * ^"^cosDco^’
donc . •
’ sin D' sin II cos / cos (P 4- ;«r) 8inx'=«n/sinHc08iy : — f ^ •
Posons ■
..... *’ cot / eos(P -1- ; 9r)
'• » , COt i = ; ; f
fC ï*" • • . ■ . .
PARAU-AXE.
îl vient
sin te = sin l sin H (cos D' — sin cbt 1)
cos D' sin t — sin D' cos •
— sin l sin H sin l sin H
sin <
On fait U — et l’on a
sin I
sin l sin H sin t
is
sin(i — ly).
^ sinsr' = U sin (1 — D + ■•') *
= U sin (1 — D) cos»-' + ** cos (1 — D) ;
et divisant tout par cos ^
•rm •
tang ir' = U sin (e — D) + “ tang 00s (• — D) ,
, U sin (1 — D)
tang JT =
I, — U cos(i — D)’
et en développant le dénominateur à la puissance i ,
tangw'rr usin (1 — D)X [i + mcos(i — D)-4-«’cos*(i — D). .
série convergente, attendu que u est très petit: Ainsi, ir' est connu, à l’aide des var^bles auxiliaires 1 et u, et par suitq la déclin, app. D' = D — ir'. i • : * . j :
. Oo ;peut remplacer la tang tr' yiar l’aro, puisque, pour la Lune, dont la parallaxe est la plus grande,* cet arc n’est pas de plus de 1°. Nous cliangerons là tangV en «■' sin i", pour exprimer cet arc en secondes de degré. Il vient donc,, en • s réunissant ces formules , les équ. suivantes , dans lesquelles P est l’angle horaire de (’aslre , D sa déclin . , / la latitude du. lieu , f H la parallaxe^horîMntale. ci-aprè\, p. i3g.) f ■ '
V * tî r.{ • a. •» •
PARAU.AXE.
On pose
Parallaxe w d'asc, dr. A. * îin H C06 i-
co s D
^sinP sinaP sin 3P
^ sin I * a sin i" 3 sin i* ’ asc. dr. app. Æ.' = asc. dr.' vr. Æ + ,r. Parallaxe W de déclin. D.
■ ços (P -f i sr) cot / •
cot I =, p-;: ,
•cos -J 2T
sin H sin l '
stn t «
U sin,( * “ ® ) I n* sin a ( t — J)) sin l" ' 2 sin i'
m’ sin 3 (i — D) 3 sin i"
, Déclin, app = déclin, vr. D — !t'.
Il est rare que; pour la Lune uiéjne, il àôit uUle de conserver le ï* terme; pour le Soleil .et les planètes, le i" terme sulTil. J
Il faut prendre w et *•' avec les signes que le calcul fait trouver. ^ est positif* lorsque l’astre est à l’onjeat du méridien , et ' négatif lorsqu’il est à Pest , attendu que, d.ans ce dernier cas, ^ l’angle Iwraire P prend le signe — . De même, il se pent qu’on sojt conduit à une valeur négative pour alors, dans l’équ. D= D — «■', la p^allaxe acctoît la déclin.^ au lieu de la diminuer'. Cependant il ne faut pas oublier que D doit piendre le signe — - quaitd la décliir. est australe ; en sorte que , si sr’, est alors négatif) la parallan.se trouve encore affaiblir la valeur nnmé- rique de la déclin. Toutes ces circonstances résultent facilement du jeu des signes algébriques. • ' ♦
r. q6. Venon^n maintenant à la recherche des parallaxes de longitude et de latitude des planètes, si fréquemment cm— plo^'ées dans la théorie des éclipses de Soleil et d’étoiles par la ,Lune. , ...
IVfais avant,. remarquons que ces arcs coordonnés se rap-
PARALI.AXK. l3l
portent au plan de l’écliptique , dont la position change sans cesse à l’égard de l’horizon , par le fait mouvement diurne; il faut doBCTtrouver , pour tout instant doai^é, quelle est la situation de l’écliptique. C’est c& qu’on é^pi^t par la^ place qu’occupe Iç Nonagésime : on nomme ainsi fe point de l’écliptique qui est actuellement à go“ des points où ce cercle coupe riiorizon. Ces deux plans déterminent des grands cercles de la sphère , et se coupent suivant ùn diamètre de chacun ;
180° de l’écliptique céleste sont donc toujours au-dessus de l’horizon, et le milieu de ce demi-cercle est ce qu’oa appelle^ le ISonagésime.
Soit P (fig. 4o ) le ^ôle de l’éclipjique fb , p celui de l’équateur Ja, Pp = ai l’ obliquité de l’écliptique {■ v. rx° 77); f est l’équinoxe T, origine des afc. dr. et des longitudes, qui sont comptées, les unes de y, vers a, les autres de /.vers b, en feisant le tdhr entier du cercle , et allant de l’oueSt^ à l’est.
Z est 'zénith , pzd le méridien , pz= 90° — la latftude^î 4*^ lieu l’horizon oriental; 6 est le point de l’écliptique qui SC lève actuellement , et qu’on appelle l’Aj^^gseope. ' .
Il est clair^ue si nous déterminons le "^int du ciel qui sc * trouve actuellement au zénith z, savoir sa longitude yù = N , et sa latitude 712 = 90*’— rù, la position de la voûte céleste sera connue pour cet instant. Or, le cercle Pzm> est à la fois perpendiculaire en n à l’écliptique et en v à l’horizon bx : ,
c’est un .cercle de latitude et un vertical, puisqu’il passe à la . fois^r le pôle P de l’ écliptique et par le zénith z. Le point b est è 90** de tons ceux de la eik^n férence Pnv ; n est donc le nonagésime , puisque bn==g<fi. Ainsi' yh = N = du
nonagésime, ou du zénith z. D’aillenrs, nvm=.hz= hauteur s/u7ioRu^dj7me = coIatit[^e du zénith j puisque nv est le complément, de Rz. Cet arc nv mesure l’incliûai^n. actuelle de l’écliptique sur l’horizon , ou l’angle' ô, savoir bz=nvz=:Vz=zh.>
Il s’agit, comme omvoit, de trouver N , et nv = h, coordonnées aotueHes du nonagésime. '' ■' ' .
Le^po ints met d sont ceux de l’équateur et de Pêcliplique » qui sam maintenant au méridleq; l’arc Jm\ en temps, est^^
by Googk
PARAI.LAXE.
l’heur^ sidérale i, que nous supposons connue {v. n*' 108 et suiv.)^ l’arc yîûest de 90°, puisque le plan Tpi, passant par les deux pôles P et p de l’éq^teur et de l’écliptique, étant à la fois perpendiculaire à. ces deux plans, J" est le pôle de Pcf.
L’arc mi = j i — fm = go® — s j
donc l’angle zpT — i8o“ — zpi = go® 4*
Cela posé, dans le triangle sphérique pTz, on connaît les côtés Tp = zp =90® — l, et l’angle compris 2^P=go® -f-j;
4 et l’on cherche 1®. l’angle pVz-=nc=.fc — fn = go° — N ; c’est le complément de la longltude^du nonagésime, ou du zénith;
2®. Pz = A hauteur du nonagésime , ou colatitiide du zénith , qui est l’inclinajson tlè l’écliptique sur l’horizon.
En résolvant ce triangle par les formules connues ( p'. 1^ * équ.^ VI,^p. 7, et 5^, p.5 ) , on trouve les relations suivantes :
> * tang f = cot l sin s ,
' ' , sin f. cos ( 4
cos n = —
cos ç
sin N = cot h . tang (0 -f-f), cot h = sin N bot ( • 4- p), tang 5 , sin ( v -f- Ç )
tang N s=
siu ç
La i'* de ces équ. fait connaître l’arc auxiliaire ^ ,dont on introduit ensuite la valeur , at>ec son signe , dans les suivantes, qui donnent h et N. On préfère celles de ces équ. qu’on juge les plus commqdes |K)ur le caléul. On prend ( 4 et 5 ) , lorsque s est entre 80® et 100®, ou hieif entre 260® et 280® ; dans tout autre cas,- il est plus facile d’employer ( 2 et 3 ).
bien entendu que l’heure sidérale a doit être convertie en degrés, à raison dé i5° par heure ( n® 70). Quand 12* ou 180®, 9 devient négatif, et «4~? setchaltge en • — sin ^ en sin ^ , etc. V' 4- ^ -,
Comme M peut aller jusc|u’à 36o®, il existe deux arcs qui
PARALLAXE^ l33
satisfont' il l’équ. qui détermine cet arc. Mais on voit sur la fig. 4® q**® pôle P 'le l’écliptique est toujours à l’est du' lÀéridieu quand le nooiigésiine est à l’ouest, et réciproque- ' ment , ce qui lève tous les doutes sur la valeur absolue de N.
En effet, à 6* et à i8^ de temps sidéral , les équinoxes sont à l’horizon , et le nonagésime est au méridien : on a N = 90" dans le i*' cas, et N = 270° dans le a*. Dans cet intervalle, le nonagésime est du côté de l’occident, et s, qui va en croissant de 6*^ vers i8\ fait croître N de go® à 270°. Avant 6*, *011 a N 90°, et après i8* de temps sid. N > 270°. Depuis i8'‘ jusqu’à o'^, et ensuite jusqu’à 6\ le nonagésime est du côté oriental.
D'après cela , on voit que tant que l’heure sidérale s est
6*, on doit prendre pour N l’arc < go® que donne la table de logarithmes. Depuis 6^ jusqu’à 18^, N va en croissant de go® .à 270°; et quand sin N est positif, il faut prendre pour N, le supplément à 180® de l’arc qui a même sinus; mais, dès que sinJNf ale signe — , on prend N = iBo® -f- ^’arc donné par la table. Enfin, passé s= 18'", N devient > 270°, et il faut prendre N = 36o® — l’arc qui a même sinus, abstraction du signe de ce sinus qui est négatif.
Quelques astronomes préfèrent l’usage des formules suivantes pour obtenir N et A (équ. 87 et 33, p.,4)> • " i'
, . , sin a tang / .
tang iN = cos « tang s -J ^
cos s ,
cos
h =± cos a sin l — sin a cos ^sin s.
97. Maintenant que N et A sont connus a un instant quelconque désigné, ainsi que les positions actuelles du zénith siv la voûte' céleste, du nonagésime pt de l’écliptique, occupons-nous de chercher les longitude et, latitude apparentes d’un astre, quelconque , vu au pomt u du centre de la Terre^ et cA u' de sa surface ( bg. 4<> ) > c’est-à-dire les parallaxes <9 et dariÿ les sens ^e ces deux arcs coordonnés. *
L’arc uu 4st vertical, et égal à la paFallaxe p d« hauteur •.
PARALI.AXE.
le* cercles Pu, Pu, coaduits au pôle P de l’ccliplique //>', dé— termioenl la longitude yra'ie /g •=: h , et In latitude g'u = A,, la longitude apparente L' ='//: =fg -4- g'A , ou L' ü L ^ et la latitude ku — a'. Qn a = la parallaxe <9 de longitude qui mesure l’angle uP«’. L’angle zP« est mesuré par... ”g-fg—fn, ou
zPu = L ' — N, zPu' =t L — N + <9.
' Quant à la parallaxe de latitude ou de distance au pôle de l’ccliptique , elle est la différence entre les arcs Pm' et Pu, qui étant les coraplémens de A et a', donnent a' = A — w'.
Nous pouvons nous dispenser de tout calcul algébrique pour obtenir les expressions de ■œ-, a' et , puisqu’cn compa-^ rant les fig. 4^ 4® > évident qu’il suffit de rem-
placer dans nos équ. , la hauteur l du pôle de l’équateur par celle go®' — h du pôle P de l’écliplîque ; et la distance P=am de l’astre au méridien par la distance ng'(fig. 4®) au* rertical du nonagesime, qavoir, P eu^^ — yh = L — N- D’ailleurs D devient A.*
' Ainsi les équ. (A) deviennent
co s iS =
sln H sin h. cos ( L — N )
sin ^ = sin H cos h.
2 cos A sin* { g
tang 9 = r sin H sin A sin ( L — N ) ,
• * éang a' = 2 ir sln î ( A — 4 )C0S;(A4-i)®«S'9,
sin R' s: »■ COS a' cos'®- sin R. .
. Par abréyiation , permise le plus souvent, on a pour ana> logqes des équ. (b) , . . .
j-^’akai.laxe.
H sin A cos ( L -
